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函数的概念与性质
3.3幂函数
1.理解并掌握幂函数的概念，即形如，(其中是自变量，是常数)的函数称为幂函数.
2.能够绘制并理解常见幂函数（如等）的图象，以及它们的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性等
3.利用幂函数的性质解决相关的数学问题
重点：幂函数的概念、图象及其性质．
难点：利用幂函数的概念、图象与性质来解决简单问题．
（一）创设情境
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付的费用与之间的函数关系式为；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积与边长的函数关系式为；
（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积与棱长之间的函数关系式为;
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长与面积之间的函数关系式为；
（5）如果某人s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度(单位：km/h)与时间的函数关系式为.
上述5个函数形式都是怎样的？如果将上述解析式左边的因变量改成，右边的自变量改成，将得到怎样的函数解析式？
答：(1); (2); (3); (4); (5) .
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过情境问题的创设，让学生列出函数关系，从中归纳出幂函数的概念.
（二）探究新知
任务1：幂函数的定义
观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过情境问题的创设，让学生通过自主探究、小组讨论的形式得出幂函数的具体数学模型，充分体现学生的学习主体性，同时也为幂函数的概念引入提供理论依据.
幂函数的定义
一般地，形如的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
幂函数满足
① 的系数为1； ②幂函数的底数为自变量;
③幂函数的指数为常数； ④形如“”的形式；
设计意图：以填空题的形式呈现幂函数的概念，同时归纳总结幂函数的特征，可让学生深刻掌握幂函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：幂函数的图象
对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.
请各位同学在同一平面分别用描点法画出下列幂函数的图象
；（2）；（3）；（4）；（5）；
自变量 幂函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
9 4 1 0 1 4 9 16 25
-27 -8 -1 0 1 8 27 64 125
0 1 2
-1 1
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
①列表②描点；③连线，于是可得幂函数的图象如下图所示：
任务3：幂函数的性质
由上图可得幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与公共点如下表所列：
要求：先独立思考3钟；2.学生代表进行展示汇报.
幂函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增. 在R上单调递增 在上单调递增 在和上都单调递减
公共点 都经过点
设计意图：带领学生通过观察图象总结得出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、公共点等性质，让学生体会数形结合思想在数学学习中的作用.
思考1：通过对上述5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象 哪个象限一定没有幂函数的图象
答：第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
思考2：设函数,若的大小关系是怎样的 体现在函数图象上具有怎样的特征
答：当时,0,即,体现在图象上,即在区间上的图象在图象的上方.
（三）应用举例
例1 现有下列函数:,
其中幂函数的个数为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解：由于幂函数的一般表达式为.
逐一对比可知幂函数有共两个.
例2 函数是幂函数,且在区间上单调递增,试确定的值.
解：根据幂函数的定义,得,
解得或.
当时,在区间上单调递增;
当时,在区间上单调递减,不符合要求.
故.
总结：幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式,
即:(1)系数为1;
(2)底数是自变量;
(3)指数为常数
反之,若一个函数为幂函数,则该函数必是这种形式.
例3.比较下列各组中两个数的大小：
（1）；（2）
解：(1)幂函数在上单调递增，
又,∴.
(2)幂函数在上单调递减，
又,∴.
例4 已知幂函数的图象关于轴对称,且在区间上是减函数,求满足的的取值范围.
解：函数在上递减，，解得.
又函数的图象关于轴对称，是偶数，
在上是减函数，
且当时，，当时，，
或或
或.
总结：1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
例5 证明：幂函数在上是增函数.
证明：任取且，则
,
,即幂函数在上是增函数.
师生活动：教师提出问题，学生独立完成，并请一位学生板书证明过程，教师对学生的证明过程进行纠错和评价．
设计意图：引导学生对观察得到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进行严格证明，提高学生思维的严谨性．同时巩固利用定义证明单调性的方法，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例题设计意图：进一步巩固幂函数的单调性的应用，渗透数形结合思想，为后续学习指数式、对数式比较大小做铺垫．
（四）课堂练习
1.已知幂函数在上为减函数，则 ．
解：由已知，有，即，所以或，
又在上为减函数，所以，
故，所以，
故答案为：．
2.若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为( )
A. B.
C. D.
解：作直线，如图所示，
由图象可知，在上是增函数，在上为减函数，
则，，
当时，的图象在的下方，的图象在的上方，
则，，
综上可知，．
故选：．
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
解：，，，函数单调递增，，
故选B.
4.下列命题为真命题的是( )
A. 函数为实数的图象不经过第四象限
B. 若幂函数是偶函数，且在上单调递增，则.
C. 若幂函数是偶函数，则不等式的解集是
D. 若函数是幂函数，则在上单调递减
解：对于，时，，函数为实数的图象不经过第四象限，故A正确
对于，是幂函数，，解得或，
当时，，当时，，均不符合条件，
当时，，符合条件，故，故B错误
对于，取，则的图象关于轴对称，
此时函数在上单调递减，
当时，，，故C错误
对于，由，得或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，故D正确．
故选AD．
5.已知幂函数，且在上单调递增．
求实数的值；
若正实数满足，求的最小值．
解：由题意，幂函数，可得，
即，解得或，
当时，函数，可得函数在上单调递减，不符合题意；
当时，函数，可得函数在上单调递增，符合题意．
故．
由可知，所以
当，即时取得最小值．
6.已知幂函数在上单调递减．
求函数的解析式；
若，求的取值范围；
若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：由幂函数在上单调递减，
可得，解得或，
当时，，函数在上单调递减，符合题意；
当时，，函数在上单调递增，不符合题意．
所以；
由知，
函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，
平方得，
化简得，解得，
所以的取值范围是；
由知，
因为对 ，使得成立，
所以，其中，
由可得函数在上的最大值为，
所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
即，解得或，
所以实数的取值范围为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固幂函数的定义、图象与性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会

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