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函数的概念与性质
3.4函数的应用（一）
1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，培养学生的逻辑推理的核心素养；
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；
3.会应用一次函数、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题体会函数与现实世界的密切联系，理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
重点：建立函数模型解决实际问题．
难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题．
（一）创设情境
一次函数、二次函数、幂函数的解析式分别是什么
一次函数：为常数，；
二次函数：为常数，；
幂函数：为常数）；
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．那么经理的决定正确吗？用函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
一起来探究吧！
师生活动：师生共同复习其那面学习的内容，并分析教师给出的实际问题，让学生体会函数模型的应用.
设计意图：带领学生复习前面学过的几种函数，以及函数的模型应用,并通过商场购物问题，引出接下来要研究的内容.
（二）探究新知
任务1：探究应用二次函数模型解决实际问题
探究：“情境”中经理的决定正确吗？
设每件衬衫应降价x元，则销售量为(20+2x)件，每件利润为(40 x)元，依题意，得
y= (20 + 2x) (40 x)= 2x +60x+800= 2(x 15) +1250
x =15时，y最大为1250元，即经理的决定正确.
总结：用函数模型解决实际问题的步骤：
①审题；②建模；③求模；④还原.
师生活动：小组内交流，并汇报展示，师生共同归纳.
设计意图：带领学生总结得出函数模型在解决实际问题中的方法步骤，让学生体会如何将实际问题转化为数学问题.
（三）应用举例
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与例相同，全年综合所得收入额为（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为（单位：元）．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由元增加到元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
师生活动：
（1）思考1：本题中涉及了哪些变量？学生口述题中的变量有：全年综合所得收入额，应纳税所得额，应缴纳个税。
（2）思考2：如何通过上述两个关系确定应缴纳个税税额与综合所得收入额之间的关系？举例说明。
答：将③中代换为对应的的关系式，并将的范围换成自变量的范围．
解：由个人应纳税所得额计算公式，
可得
令，得；令，得．
所以个人应纳税所得额.
由例的解析式③可知：
当时，，所以：;
当时，，所以：
；
当时，，所以：
当时，，所以：
；
当时，，所以：
;
当时，，所以：
；
当时，，所以：
；
当时，，所以：
.
所以，函数解析式为
（1）根据④，当时，
（2）元．
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为元.
设计意图：通过解决实际问题，让学生充分体验建立数学模型的过程，体会数学模型在解决实际问题中的作用，提升数学建模思想，培养学生的数学应用意识。
探究：函数模型在实际问题中的应用是将实际问题转化为数学问题,它的一般步骤是什么
总结：函数模型与实际问题之间的转化
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数（单位：）与时间的函数解析式，并画出相应的图象．
思考1：（1）能写出平均速率与时间的关系式吗？
　　　 （2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗？
师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示如下：
（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即个长方形面积的和，并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能回答面积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题．得到阴影部分的面积为：
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360．
因此阴影部分的面积表示汽车在这内行驶的路程为．
思考2：寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象．
师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决．教师引导学生动态地观察图中直线左侧的阴影部分的面积．如：当时，直线左侧的阴影部分是一个长方形，长是，宽是；当时，直线左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是，宽是，另一个长是(-1)，宽是；当时，直线左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是，宽是，一个长是，宽是，另一个长是(-2)，宽是；……
如图
得到结论路程
思考3：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？如不是该如何调整呢？
师生活动：学生思考回答，得到
这个函数的图象如图所示
总结：如果实际问题对应的函数模型是分段函数，一定要注意每一段函数的自变量的取值范围，从而可以写出正确的分段函数的解析式.
例3某家庭进行理财投资,根据长期受益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时两类产品的收益分别为万元和万元.(如图)
（1）分别写出两类产品的收益（万元）与投资额（万元）的函数关系;
（2）若该家庭有万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
解：（1）设两类产品的收益与投资的函数分别为
由已知得所以.
（2）设投资债券产品为万元，则投资股票类产品为万元
依题意得
令,则
所以当,即时，收益最大，万元.
总结：幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．
设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．
例4.为宣传二十大，校宣传部计划设计一块面积为的矩形海报海报中间区域图中空白处，记为矩形讲述党史故事中间区域四周用宽为的创意花纹进行装饰，设矩形海报与平行的边长度为．
1若要求中间区域的一边至少为，且比至多长，求的取值范围
2将中间区域的面积表示为长度的函数，在满足Ⅰ的条件下，求的最大值，并给出此时的值．
解：矩形海报与平行的边长度为，面积为，所以另一边长度为，
由至少为，且比至多长，可得
解得，所以的取值范围是
中间区域的面积，
所以
由基本不等式得：，
当且仅当即时取等号，
，
当时，最大为．
（四）课堂练习
1.“双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
如果购物总额不超过元，那么不给予优惠
如果购物总额超过元但不超过元，那么可以使用一张元优惠券
如果购物总额超过元但不超过元，那么按标价给予折优惠
如果购物总额超过元，那么其中元内的部分按第条给予优惠，超过元的部分给予折优惠某人购买了部分商品，则下列说法正确的是 ( )
A. 如果购物总额为元，那么应付款元
B. 如果购物总额为元，那么应付款元
C. 如果购物总额为元，那么应付款元
D. 如果购物时一次付款元，那么购物总额为元
解：对于项，购物总额为元，属于情况，可以使用一张元优惠劵，
则应付款为元，故A项正确
对于项，购物总额为元，属于情况，则按标价给予折优惠，
则应付款为元，故B项正确
对于项，购物总额为元，属于情况，则其中元内的按第条给予优惠，超过元的部分给予折优惠，故应付款为元，故C项错误
对于项，若购物时一次性全部付款元，属于情况，
设超过元的部分为元，
则，解得元，则购物总额为元，故D项正确．
故选ABD．
2.某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ．
解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，
由题意，
所以．
故答案为：．
3.疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内以天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足为常数，且，日销售量单位：件与时间单位：天的部分数据如下表：
天
给出以下三个函数模型：；；请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式；
已知第天该工艺品的日销售收入为元，求在过去的天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于元．
解：由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，
函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择模型，
由二次函数图象对称性可知，，
又由表格可知，
代入，解得，
所以日销售量与时间的变化的关系式为
因为第天的日销售收入为元，
则，解得，
则，
该工艺品的日销售收入为
，
要日销售收入不低于元，则解，解得，
所以在过去的天中，第天至第天该工艺品的日销售收入不低于元．
4.近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象，电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具，据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量千辆小时与电动自行车的平均速度千米小时注：国家规定电动自行车最大设计时速为千米小时具有以下函数关系：
．
欲使电动自行车流量不少于千辆小时，求的取值范围；
当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量精确到．
解：电动自行车流量不少于千辆小时，
即，
化简可得，解得，
又因为最高设计时速为千米小时，故，
所以欲使电动自行车流量不少于千辆小时，则的取值范围为；
，
由基本不等式可得，
当且仅当“”即“”时取到最小值．
此时电动车流量有最大值，最大值为，
故平均速度为千米小时时，电动车流量最大，最大值约为千辆小时．
5.如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接平行四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，，且，设，绿地面积为．

写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
当为何值时，绿地面积最大？
解：，
，
，
由，得，
，定义域为；
由知，函数的对称轴为，
因为，所以，
则当时，取最大值，
即时，绿地面积取最大值
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固幂函数的定义、图象与性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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