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第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
1．了解根式的概念以及分数指数幂的意义；
2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，以及分数指数幂的运算性质，了解指数幂的意义；
3．通过具体情境，引发思考，增强求知欲，感受探索未知世界的乐趣，从而培养对数学的热爱情感．
重点：n次方根及根式的概念和性质，能利用根式的性质对根式进行运算；理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.
难点：能利用根式的性质对根式进行运算; 理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
（一）创设情境
情境：公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯
的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生. 初中已经学过整数
指数幂，为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实
数，上面的情景描述的，正是我们本节课要学习的知识之一根式.
师生活动：教师讲述情景并提出问题，让学生思考.学生思考后，继续讲述情景问题的答案，引出的和本节相关的知识点.
设计意图：通过经典历史数学问题，集中学生注意，回顾历史知识点，引出本节课知识点之一根式.
（二）探究新知
任务1：n次方根的概念
思考：你还记得初中时平方根、立方根是如何定义的吗？
如果，那么 叫做 的平方根. 例如，就是4的平(2次)方根.
如果，那么 叫做 的立方根. 例如，就是8的立(3次)方根.
师生活动：教师根据创设情景中提到根式，以及板书内容.引导学生观察板书内容的描述，总结规律.
类似地，由于，我们把叫做16的4次方根.
由于，我们把叫做32的5次方根.
思考：能否类比上方的描述，归纳总结.
答：一般地，如果，那么叫做的n次方根. 其中，且.
设计意图：通过创设情景中提到根式，以及板书内容的引入，引导学生通过归纳总结出n次方根的概念.
任务2：n次方根的性质
思考：观察下面表述，并尝试总结规律.
4的平方根（2次方根）：±2； -4没有偶次方根
8的立方根（3次方根）：2； -8的立方根（3次方根）：-2
16的4次方根：±2； -16没有偶次方根
32的5次方根：2； -32的5次方根：-2
师生活动：教师提出问题，引导学生从以下4点寻找规律，然后分组发言：
1.根的次数（n）的奇偶性；2.根数量；3.被开放数（a）正负；4.特殊情况
总结：一般地，如果，其中，且.
1.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示.
例：
2.当n是偶数时，正数的n次方根有两个且互为相反数.正的n次方根用表示，负的用表示可合并成(a>0).
例：
3.负数没有偶次方根.（因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数.）
4.0的任何次方根都是0.记作：
设计意图：通过实例引入，让学生思考，归纳总结出n次方根的性质.
任务3：根式的概念
【概念形成】式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根据n次方根的定义
比如：
注意：1一般读作“n次根号a”
2、当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
3、当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a.
思考：（1）表示的n次方根，一定成立吗？
（有什么区别？
要求：先独立思考，再分组讨论并发言.
答：（1）当n为奇数时：；
当n为偶数时：
（2）是实数的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于，参照思考（1）答案；是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于.
师生活动：引导学生结合根式的概念独立思考后，教师引导学生从根指数奇偶，被开发数符号思考，小组内交流讨论形成结论，最后师生共同归纳总结出答案.教师提出根据概念和性质，进入实例演练.
任务4：分数指数幂概念
探究：根据n次方根的定义和运算，观察下面等式，能否总结出规律.
(a>0)
(a>0)
总结：当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
师生活动：教师根据板书内容，引导学生推导过程，再进行总结.完成后根据总结内容抛出问题，当指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
例如： .
对比：.
整数指数幂的运算性质如：为我们熟知.
【概念形成】数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容.基如此，我们希望这规则同样适用分数指数幂运算,不妨进行下面的规定：
1.规定正数的正分数指数幂的意义是：；
2.规定正数的负分数指数幂意义的意义是：
3.规定0的分数指数指数幂的意义是：规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
任务5：有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,对于任意有理数r，s 均有下面的运算性质：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
思考： 中法则逆向使用是否成立.例如：
要求：先独立思考，再分组讨论并发言.
答：当时运算法则不一定成立. 只有当时运算法则才一定成立.
（三）应用举例
例1 求解求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
例2 求值：（1） ；（2）
解：（1）方法； 方法2；
（2）方法.
方法2：.
方法3：.
例3 求用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
（1）；（2）.
答：（1）；
（2）.
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原式
（2）原式=
（3）原式=
（四）随堂练习
1.已知，，则下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
解：，，则A正确
，则B正确
，则C错误
，则D正确．
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：当是奇数时，对于任意实数总有，也就是说由推不出，而由总能得出，所以“”是“”成立的必要不充分条件．
3.已知，，则 ．
解：
故答案为：．
4.求值： ．
解：
，
故答案为： ．
5.已知，，则 ．
解：因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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