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第四章 指数函数与对数函数
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
1．了解无理数指数幂的意义；
2．掌握实数指数幂的运算性质并能应用；
3．通过有理数指数幂逐步过渡到无理数指数幂的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象思维；
4．引导学生运用类比、归纳等方法探索新知识，培养学生的自主学习能力和创新意识
重点：无理数指数幂的概念及其运算性质．
难点：无理数指数幂的运算．
（一）创设情境
情境：网络上盛极一时的数学恒等式“”，形象地向我们展示了通过努力每天进步，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”.
上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.
那么，当指数是无理数时的意义是什么？它是一个确定的数吗？
如果是，那么它有什么运算性质？
设计意图: 通过励志警句激起学生的学习兴趣,为新概念的生成作铺垫.
（二）探究新知
任务1：无理数指数幂
探究：根据的不足近似值和过剩近似值（表4.1-1），利用计算工具计算相应的,的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：（1）学生们结合对教材的阅读，应该会有以下共同认识：一是是一个确定的数；二是可以通过求的不足近似值和过剩近似值来确定它的大小.
教师适时用课件呈现以下表格：
的不足近似值 的近似值 的过剩近似值 的近似值
1.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143
1.41421 1.41422
1.414213 1.414214
1.4142135 1.4142136
1.41421356 1.41421357
1.414213562 1.414213563
…… …… …… ……
追问：和这一类的有理指数幂怎么算出来？
教师引导学生明确，和是前面已经学习过的有理指数幂的计算问题，它们分别都是一些可以确定的数.具体计算时，可以借助工具，包括计算机或计算器完成.
（4）有条件的情况下，让学生用计算器完成上述计算.教师可以使用电子表格软件系统“一键”完成以上计算：
的不足近似值x 的近似值 的过剩近似值y 的近似值
1.4 9.518269694 1.5 11.18033989
1.41 9.672669729 1.42 9.829635328
1.414 9.735171039 1.415 9.750851808
1.4142 9.738305174 1.4143 9.73987262
1.41421 9.738461907 1.41422 9.738618643
1.414213 9.738508928 1.414214 9.738524602
1.4142135 9.738516765 1.4142136 9.738518332
1.41421356 9.738517705 1.41421357 9.738517862
1.414213562 9.738517736 1.414213563 9.738517752
…… …… …… ……
（5）由上表不难发现：
当的不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近；当的过剩近似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近．所以，就是一串有理指数幂……和另一串有理数指数幂……按上述变化规律变化的结果．
（6）教师再利用课件展示在数轴上确定的位置.
（7）师生共同明确：是一个确定的数，它约等于9.7事实上，从上面的计算中可以得出它是介于9.738517736到9.738517752之间地的一个确定的数，而如果需要，我们还可经断续下去，将其确定到一个更小的范围.
（8）请学生回答：如何确认是一个确定的数.
设计意图：类比对的具体数值的确定，理解是一个确定的数这么一个事实.在具体教学中，要让学生亲自完成、……之类的计算.教师用软件“一键”完成的计算也应该在学生有所体验之后再进行展示.
教材在外理数据的“不足”和“过剩”，采用的是对数值大小变化的简单而直接的观察，如果有学生问到凭什么认定那些被省略的部分也一定会按这个趋势变化时，教师可以给学生们说一说后面的课时会学习到的指数函数的单调性问题.这也算是为后面的学生埋下一个伏笔.
总结：
（1）无理数可以作为指数；
（2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到.
无理数指数幂的概念：
一般地，无理数指数幂(为常数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂数()中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
任务2：实数指数幂的运算性质
探究：无理数指数幂(是无理数)是一个确定的实数，即实数指数幂()是一个确实的实数.那么，整数（有理数）指数幂的运算法则是否同样适用于无理数（实数）指数幂？
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳总结.
师生活动：学生自行讨论明确以下结论：对任意的实数，整数（有理数）指数幂的运算法则同样适用于无理数（实数）指数幂：
设计意图： 从整数指数幂到实数指数幂，其运算法则是不变的.但是，指数幂的底数的取值范围发生了变化，要求底数.
（三）应用举例
例1 化简下列各式:
(1); (2); (3).
解：(1);
(2)
(3).
总结：关于无理数指数幂的运算技巧
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同;
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
例2 计算下列各式：
解：
总结：一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
例3 已知,求的值.
解：令,则
.
总结：
1. 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件、整体代入等，可以简化解题过程.
2. 解决此类问题的一般步骤：
例4 已知且求的值．
解法一：，又
=
.
解法二: ∴,
.
总结：指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的．
设计意图：完成课本例题的过程中，进一步理解无理数指数幂及其运算性质，巩固所学知识.
（四）课堂练习
1.计算：( )
A. B. C. D.
解： ．
2.网络上流行一些与数学相关的语言，用来励志人生，比如“”，形象地向我们展示了通过努力每天进步，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但也让我们直观地感受到“小小的改变和时间累积的力量”，其实在你的身边就有很多这样其勤奋努力的同学，比如小刚同学，假设他每天进步，那么天后小刚取得的进步约为原来的 倍参考数据：
A. B. C. D.
解：因为每天进步即，
则第一天是前一天的倍，
第二天是第一天的倍，
第天后小明的学习成果约为原来的倍，
因为，
，
．
故选B．
3.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得类比上述过程，则 ．
解：令，
则两边平方得，则，
即，
解得，或舍去．
故答案为：．
4.如果，，且，那么的值为 ．
解：，
当时，，即；
同理当时，，即；
当，时，
，
，
，
，
式式得，
，
综上所述，或．
故答案为或．
5.化简求值：．
已知，求的值．
已知，，求的值．
解：原式，
．
因为，所以，所以，
所以．

设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固无理数指数幂及其运算性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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