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第四章 指数函数与对数函数
4.2.1指数函数的概念
1.通过具体的实例，经历数学建模过程，了解指数增长模型和指数衰减模型，体会指数函数的变化规律，培养数学建模的核心素养；
2.通过指数增长模型和指数衰减模型，经历指数函数概念的归纳，并了解指数函数的实际意义，提升抽象概括能力和数学抽象的核心素养；
3.理解指数函数的概念和底数的取值范围，并能应用指数函数的概念解决具体的问题.
重点：了解指数函数的实际意义，理解和掌握指数函数的概念，并能运用指数函数的概念解决具体问题．
难点：指数函数模型的应用．
（一）创设情景
一尺之锤，日取其半.意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半.那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？
某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第次分裂得到个细胞，那么某细胞个数与次数的函数关系是什么？
设计意图：举生活中的实际例子，让学生感受指数变化，培养学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究什么指数函数增长模型和指数衰减模型.
问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.如下表给出了A，B两地景区年至年的游客人次以及逐年增加量．
时间年 A地景区 B地景区
人次万次 年增加量万次 人次万次 年增加量万次
思考：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究16年，17年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一下，而B地则更快.
可以才采用作图的方式继续研究16年，17年乃至后面的游客人次.
根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的年游客人次的图象图和图．
思考：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大．且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
值不变，所以，B地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数.
结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.
问题 当生物死亡后，它机体内原有的碳含量会按确定的比率衰减称为衰减率，大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”
思考：按照上述变化规律，生物体内碳含量呈什么形式衰减？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
解：设死亡生物体内碳含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳含量看成个单位，那么
死亡年后，生物体内碳含量为；
死亡年后，生物体内碳含量为；
死亡年后，生物体内碳含量为；
死亡年后，生物体内碳含量为．
根据已知条件，，从而，所以．
所以，死亡生物体内碳含量每年都以的衰减率衰减.
结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.因此，死亡生物体内碳含量呈指数衰减.
设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣.
任务2：探究指数函数的概念.
探究：(1)问题1中，年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？
解：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的倍；
2年后，游客人次是2001年的倍；
3年后，游客人次是2001年的倍；
年后，游客人次是2001年的倍；
如果设经过年后游客人次为2001年的倍，那么
这是一个函数关系，其中指数是自变量.
(2)问题2中，生物体内碳含量和死亡年数之间有怎样的关系？
解：设生物死亡年数为，死亡生物体内碳含量为，那么，即

所以，生物体内碳含量与死亡年数之间存在着函数关系，指数是自变量.
如果用字母代替上述两式中的底数和，那么函数和就可以表示为
的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
由此，我们得出
指数函数的定义：一般地，函数，且叫做指数函数，其中是自变量，定义域为.
设计意图：通过指数增长和指数衰减模型抽象出指数函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养.
（三）应用举例
例1 已知指数函数，且，且，求，，的值．
提示：要求，，的值，应先求的解析式，即先求的值.
解：因为，且，则，解得，于是
所以，，．
例2 在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来元门票之外的收入，地景区的门票价格为元，比较这年间，两地旅游收入变化情况．
在问题中，某生物死亡年后，它体内碳的含量衰减为原来的百分之几？
解：设经过年，游客给，两地带来的收入分别为和，则
，
．
利用计算工具可得，
当时，．
当时，．
结合图可知：
当时，，
当时，
当时，．
这说明，在年，游客给地带来的收入比地多万元；随后年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在年月某个时刻就有，这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，，游客给地带来的收入超过了地；由于增长得越来越快，在年，地的收入已经比地多万元了．
设生物死亡年后，它体内碳含量为
如果把刚死亡的生物体内碳含量看成个单位，那么
．
当时，利用计算工具求得
．
所以，生物死亡年后，它体内碳含量衰减为原来的约．
例3 下列函数是指数函数的是 填序号．
；；；．
解：根据指数函数是，其中且，
判断是指数函数，
不是指数函数，
不是指数函数，
不是指数函数．
故答案为：．
总结：判断一个函数是指数函数的方法
形如，且的函数为指数函数，其中是自变量，定义域为.
1.底数的值要符合且；
2.前的系数要为1；
3.指数要为.
例4 函数是指数函数，则实数( )
A. B. C. D. 或
提示：根据指数函数的定义，前的系数要为1，且底数的值要符合，且进行解决.
解：由指数函数的定义，得，解得或，
又因为底数的值要符合，且，
所以，
故选A．
设计意图：通过例题，熟悉指数函数的概念，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.函数是指数函数，则( )
A. 或 B.
C. D. 且
解：因为函数是指数函数
所以，且，
解得．
故选：．
2.已知指数函数的图象过点，则的值为( )
A. B. C. D.
解：因为指数函数的解析式为，所以，
将点，代入可得，
因为且，
解得，
故选．
3.下列函数：；；；且其中，指数函数的个数是( )
A. B. C. D.
解：函数是二次函数；
函数底数小于，故不是指数函数；
函数指数部分为，故不是指数函数；
且，
可得出且，则是指数函数．
故指数函数的个数为，
故选：．
4.若函数是指数函数，则等于( )
A. 或 B. C. D.
解：函数是指数函数，
解得，
故选C．
5.某商品的价格单位：元因上架时间单位：天的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即且，当商品上架第天的价格为元，上架第天的价格为元时，该商品上架第天的价格为 元．
解：由题意可得方程组： ，结合且，
可得： ，即： ，
则该商品上架第天的价格为，
即该商品上架第天的价格为元．
6.截止到年年底，我国某市人口数量约为万若今后能将人口数量的年平均增长率控制在，经过年后，此市人口数量为单位：万．
求与的函数关系式，并写出定义域
若按此增长率，则年年底的人口数量约是多少
哪一年年底的人口数量将达到万
参考数据：，，
解：年年底的人口数量约为万
经过年，即年年底的人口数量约为万
经过年，即年年底的人口数量约为万
经过年，即年年底的人口数量约为万
所以经过年后的人口数量约为万，即．
年年底的人口数量约为万
由可知，年年底的人口数量约为万，，年年底的人口数量约为万，，年年底的人口数量约为万，，所以年年底的人口数量将达到万．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指数函数的概念，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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