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第四章 指数函数与对数函数
4.2.2指数函数的图象与性质
1.掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
2.通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3.在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
重点：指数函数的图象和性质.
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳出指数函数的性质．
（一）创设情境
回顾：指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
特征：①，且；
②的系数为1；
③自变量的系数为1.
设计意图：通过复习前一节《指数函数》的定义，不仅唤醒学生对指数函数的记忆，能够快速进入状态，同时检测学生对前面知识的掌握情况。而且通过指数函数底的范围在不同的区间，让学生有一个对底的范围的初步认识，为后面根据底的范围讨论函数的性质做好铺垫。
情境：播放“折纸”动画短视频
师生活动：教师播放“折纸”动画短视频，引导学生思考指数函数的图象和性质到底是怎样的？
设计意图：学习了指数函数，通过生活中指数函数的例子，体会指数函数其实就在身边，需要留心观察就可以发现。同时，通过小视频的展示形式，激发学生的学习兴趣。并成功的将“指数爆炸”现象与指数函数图象结合起来，引出本节课的教学。
（二）探究新知
任务1：指数函数的图象
思考：
问题1.们具体如何探究指数函数的图象与性质呢？
提示：类比幂函数的研究方法，“先形后数，数形结合”
问题2.如何作出指数函数且）的图象呢？
提示：列表——描点——连线
探究：
1.你能利用描点法作出和的图象吗？
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
设计意图：通过画两个函数的图象，学生通过观察画出的函数图像，初步感知指数函数图象的位置和变化趋势，体会从特殊着手研究问题的重要性。
2.观察两个函数图象，它们有什么关系呢？你能得到什么样的结论？
要求：
1.学生独立思考1分钟；
2.选派学生代表进行展示汇报.
结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
3.再取底数在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？
要求：
1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳.
总结：
共同特征：
①图象都在第一象限和第二象限
②都过点
③定义域为；值域为
④当底数时图象上升；当底数时图象下降．
设计意图：通过再次作图，体会利用指数函数底数互为倒数，图像关于y轴对称这一性质作图给解决问题带来的简便性；通过几何画板演示底数变化时，对应的指数函数图象，感受数学研究问题从特殊到一般的思维过程。
任务2：指数函数的性质
探究：继续观察刚刚作出的指数函数图象，完成下列探究任务：
（1）指数函数图象位于第几象限呢？
指数函数图象位于第一象限、第二象限
（2）指数函数具有怎样的单调性？
a>1时，指数函数在R上单调递增；
0（3）指数函数图象必过哪个点呢？
指数函数图象必过点(0,1).
（4）指数函数具有怎样的奇偶性？
指数函数不具有奇偶性
（5）底数不同时，指数函数与坐标轴的位置的关系有怎样的变化？
a>1时，底数越大，图象在y=1上方的部分越靠近y轴；
0要求：
1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳.
师生活动：小组交流讨论，合作学习，观察图象，归纳指数函数的性质。
总结：指数函数的图象和性质
设计意图：以问题做引导，通过观察一般现象总结出规律，为后续应用做好准备.
（三）应用举例
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）； （3）.
分析：(1)(2)底数相同，指数不同，所以可将要比较的两个值看作一个指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性进行比较.
解：(1)和可看作函数当分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数1.7>1，所以指数函数是增函数.
因为2.5<3，所以 <
(2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数是减函数.
因为，所以.
分析：对于（3），两个值的底数不同，指数也不同，所以不能采用刚才的方法进行比较.可以利用函数和的单调性，以及“时，” 这条性质把它们联系起来.
(3)由指数函数的性质知
>
<
所以，
【总结】指数幂的大小比较问题的两种类型及解法：
1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性判断大小；
2.底数不同，指数不同：一般借助中间值判断大小.
设计意图：通过例1，学生应用指数函数的单调性比较大小，进一步理解指数函数的单调性.
例2 求函数且)恒过的定点.
分析: 指数函数恒过点(0，1),那么求指数型函数，我们就可类比指数函数，从而求解得到恒过定点的坐标。
解：令，则
即恒过的定点为.
【总结】求指数型函数恒过定点的解法：
令指数部分整体为0得到横坐标 ，代入求纵坐标
例3 求不等式.
解：
∵指数函数在上单调递增
∴+2≤1,即≤0
∴,或
∴不等式的解集为.
【总结】求指数不等式的解法
化为同底，根据单调性得到指数大小关系，求出解集.
例4 如图，某城市人口呈指数增长．
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间 (倍增期)；
(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：
(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解： (1) 观察由图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
设计意图：通过例4，应用函数图象解决问题，进一步认识指数函数的图象，并由图象理解指数函数的概念和性质。
例题设计意图：通过例题，熟悉指数函数的图象和性质，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.指数函数；且满足，则它们可能的图像为 ．
A. B.
C. D.
解：根据指数函数图像性质，时选A；
时选D；
时图像为下图：
故选AD．
2.若函数在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为 ．
A. B. C. D.
解：当时，在上单调递增，
则，解得；
当时，在上单调递减，
则，解得；
综上，或．
故选CD．
3.若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是．
A. B. C. D.
解：根据题意，函数在上为单调递增函数，
则，解可得，即的取值范围为．
故选BCD．
4.已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
求时的解析式
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
解： 当时，，则，
又因为为偶函数，所以当时
由可知，当时，，
若存在，使得成立，即成立，
即成立，
令，因为，所以，所以．
令，则其开口方向向下，对称轴为，
所以函数在上单调递减．
所以当，即时．
于是，所以实数的取值范围是．
5.已知函数．
若，求在区间上的最大值和最小值；
若在上恒成立，求的取值范围．
解：当 时， ， ，
令 ，则 ， ，开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 ，即 时，函数 也就是 取得最小值， ，
当 ，即 时，函数 取得最大值， ．
在 上恒成立，即 ，令 ，
原不等式可化为 ，对任意的 成立，
可转化为 ，对任意的 成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指数函数的图象和性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
指数函数的图象和性质
解题方法
题型一：比较大小
底数相同，指数不同：利用单调性判断大小
底数不同，指数不同：一般借助中间值判断大小
题型二：求指数型函数恒过定点
令指数部分整体为0得到横坐标 ，代入函数解析式求纵坐标
题型三：解指数不等式
化为同底，根据单调性得到指数大小关系，解不等式，并求出解集.

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