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第四章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
理解对数的运算性质，并能运用这些性质进行一些简单的化简和证明.
能熟练应用换底公式进行化简和计算.
能理解、应用对数的运算性质，对实际问题进行分析，提升数学逻辑推理素养.
重点：准确运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值.
难点：能根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式.
（一）创设情境
回顾：前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？（学生讨论）接着我们研究了指数幂的运算性质.
答：指数式与对数式的互化： (，且)
指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）
想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾引发学生思考，从指数与对数之间的关系、指数的运算性质中，激发学生主动学习、沿着同样的学习路径研究对数的运算性质，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究对数的运算性质.
思考：计算下面两组式子，判断他们有什么关系？
（1）（2）
师生活动：1.先独立计算；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
提示：尝试从计算结果出发，能否发现他们之间的关系呢？
总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数.
各抒已见：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
提示：从指数幂运算的角度进行推导.
答：设，，因为，所以.
根据对数与指数间的关系可得，，
故.
思考：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？
提示：从对数运算的角度进行推导.
答：设，，即，，所以，
所以，故.
思考：仿照上述过程，根据指数的性质 ，尝试推导出对数的其它运算性质吗？
师生活动:1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：1.已知，设，，
因为，所以根据对数与指数间的关系可得
， ，故.
2.已知，设，
因为，所以，所以.
因为故.
总结：对数的运算性质：如果，且，，那么（1）；（2）；（3）.
任务2：探究对数的换底公式.
思考：解决下列问题，尝试理解对数的换底公式.
(1)利用计算工具求的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？
(3)根据对数的定义，你能用表示(，且； ; ，且) 吗？
师生活动：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.答：（1），.
（2）设 ，则 ，.所以，所以，即.
（3）设 ，则 ，于是，根据性质（3）得 ，，即.
总结：对数换底公式: ， 自然语言描述：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数.
公式意义：在于改变对数式的底数，把不同的底数问题转化为同底数问题后求解.
任务3：探究对数在实际问题中的应用.
思考：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍.
师生活动:1.先独立思考; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：因为 ，即
所以
利用计算工具，可得
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
设计意图：通过三个任务，加深对对数的运算性质的理解与应用，探究任务设计层层递进，由浅入深.在思考和启发中渗透知识的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工.以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1 利用对数的运算性质，解决下列问题.
（1）求值：、
（2）用、表示
解：（1）
（2）
例2 利用换底公式化简下列各式.
（
（
解：（1）原式
（2）原式
总结：一般思路：1.先用对数的运算法则、性质进行部分运算，再化成同底对数运算化简.2.一次性统一换成常用对数（或自然对数），再化简、计算.
例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
答：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.由 可得
于是，
利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
思考：为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？
答：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上. 以10为底的指数幂运算中，；在以10为底的对数运算中，，所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际应用中，更好的理解和应用对数的运算性质.
（四）课堂练习
1. 已知，，则( )
A. B. C. D.
答：因为，所以，因为，
所以．故选：．
2.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，，设，则所在的区间为 ( )
A. B. C. D.
答：．所以故选：．
3.科学记数法是一种记数的方法把一个数表示成与的次幂相乘的形式，其中，表示整数当时，若一个正整数的次方是位数，则是参考数据：，
A. B. C. D.
答：由题意可设，因为正整数的次方是位数，所以，所以，因为，所以，所以，则，又，，，所以．
4.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
答：．，所以该选项错误；
B.，所以该选项正确；
C. 如：，，所以，所以该选项错误；
D.，所以该选项正确．
故选：．
5. 已知，，，则的最大值为 ．
答：，
，
，
上式
当且仅当时，即取等号，故答案为．
6. 化简求值需要写出计算过程
若，，求的值；
．
若，求的值．
答：，，得；
原式；
由题意可得，解得，则，
，则，
，整理得，解得或舍去，
故的值为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固对数的运算性质，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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