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第四章 指数函数与对数函数
4.4.1对数函数的概念
1.通过具体实例，感受对数函数的实际背景，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数增长的特点和对数函数是一类重要的函数模型；
2.掌握对数函数的概念，并会判断一些函数是否是对数函数；
3.了解对数函数与指数函数之间的联系，培养观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力,渗透类比等基本数学思想方法。
重点：理解对数函数的概念和意义，明确对数函数的定义域．
难点：理解对数函数的概念．
（一）创设情境
复习回顾：
1.对数的概念
一般地，如果，(a>0且a≠1)，则数x叫以a为底N的对数记作，其中a叫底数，N叫真数.
2.指数函数的概念
一般地，函数且a≠1)叫做指数函数.
其中指数x是自变量，定义域是R.
特征：①a>0，且a≠1；
②的系数为1；
③自变量x的系数为1.
设计意图：回顾旧知，为本节课的学习打好基础.
探究新知
任务1：对数函数的概念
思考：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
设计意图：通过生活实例引出问题激发学生学习的热情.
问题1 已知死亡生物体内碳14含量，能否确定它的死亡时间？
师生活动 学生独立思考，作答，全班交流.教师引导学生回顾碳14指数衰减函数，使学生明确：可以利用碳14含量去判断该生物体死亡的时长.
思考 已测得碳14含量为，则死亡时间为多少
师生活动 学生独立思考，并进行求解，得出相应的答案.
思考 已测得碳14含量为，则死亡时间为多少
师生活动 学生再进行求解，得出相应的答案.
思考 每一个碳14含量都能推出应的死亡时间吗？是否唯一？
师生活动 学生独立思考、作答，教师根据学生的回答情况适时点评，并通过动画让学生直观感受给定一个碳14的含量y都的唯一的死亡时间与之对应，为下一步判断是的函数做铺垫，对教学难点进行分解.
思考 死亡时间是碳14含量的函数吗 如果是，请用函数的语言准确表达
师生活动 学生独立思考、作答，教师引导学生从函数的概念出发进行分析，并根据学生的回答情况适时点评及完善.
设计意图：通过一个问题四个追问，培养学生分析问题、解决问题的能力.在此基础上联系指数与对数的关系，借助指数函数解决对数的问题，为下面从特殊推广到一般，由指数函数引出对数函数做铺垫.
探究 根据指数式与对数式的互化，由一般的指数函数得,是的函数吗 如果是，请说明理由.
思考1你能指出它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
思考2函数中底数的取值范围是什么？请说明理由.
概念：一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量是，定义域为.
师生活动 学生独立思考、作答，再进行交流，教师引导学生从函数概念出进行分析，与学生互动交流，完善学生的认识.
设计意图: 从特殊到一般，抽象出对数函数的概念.
任务2：对数函数的特征
探究：类比指数函数的特征，你能概括出对数函数的特征吗？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
总结：对数函数的特征
特征：①a>0，且a≠1；
②的系数为1；
③真数为自变量x，且x>0.
师生活动： 学生思考并分组讨论，以小组为单位进行展示汇报.
设计意图： 根据指数函数的特征，类比得到对数函数的特征，培养学生的归纳、概括理解能力。
（三）应用举例
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)(a>0，且a≠1)；(2)；
(3)； (4).
解：(1)真数的位置不是自变量x，不是对数函数；
(2)对数式后又减1，不是对数函数；
(3)对数式的系数不是1，不是对数函数；
(4)符合对数函数的定义，是对数函数.
例2 已知函数f(x)为对数函数，且点A(8, 3)和点B(n,2)在函数f(x)的图象上，则n=______.
解：设对数函数为(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)= 3,即,所以,
则.
所以对数函数
由,则.
总结：判断一个函数是对数函数的方法
①a>0，且a≠1；
②的系数为1；
③真数为自变量x，且x>0.
三个条件同时成立时为对数函数.
例3 求下列函数的定义域.
解: (1)∵,即x≠0,
∴函数的定义域是{x|x≠0}.
(2)∵4 x>0,即x<4,
∴的定义域是{x|x<4}.
总结：与对数函数有关的定义域问题
若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；
若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
师生活动：在教师引导下，师生共同完成.
设计意图：本题取自教科书，难度不大，通过求函数的定义域进一步理解对数函数定义域的转殊性，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养.
例4.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番
(2)填写下表，并根据表中的数据，说命该地物价的变化规律.
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年份t 0
解：(1)由题意可知，经过t年后物价w为
，即(t∈[0,+∞)).
由对数与指数间的关系，可得
由计算工具可得，当w=2时，t≈14.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
(2)根据函数，利用计算工具，可得下表：
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年份t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.
师生活动：教师引导学生，理清思路，师生共同借助计算工具进行解答.
设计意图：在充分理解了引入概念的实例基础上，利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题.从而巩固概念，进一步理解概念，并在此基础上，通过列表的方式，初步体会对数函数的性质，为下一节内容作铺垫.
（四）课堂练习
1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A. B. C. D.
解：根据对数函数的定义，形如，且的函数，叫做对数函数，
中是对数函数
中是对数函数
中不是对数函数
中不是对数函数．
故选AB．
2.已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是( )
A. B. C. D.
解：由函数的定义可得中的每个元素在中都有唯一的一个元素与之对应．
按照对应关系：，中的在中没有元素与之对应，故不满足题意．
而按照对应关系：，，，中的每个元素在中都有唯一的一个元素与之对应，满足函数的定义．
故选：．
3.某数学小组以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究结果如下：
函数的定义域为；
函数是偶函数；
对于任意的，都有；
对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足．
其中所有正确研究结果的序号是 ．
解：在中，因为，所以，得函数的定义域为，所以是正确的；
在中，，所以函数为奇函数，所以是错误的；
在中，对于任意，有，
又，所以是正确的；
对于函数的定义域中任意的两个不同实数，，总满足，
即说明是单调递增函数，但是减函数，故是错误的．
故答案为．
4.已知．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并加以说明；
求的值．
解：由得即．
所以函数的定义域为．
函数为偶函数，证明如下：
函数的定义域为，
，
由得：函数为偶函数．
．
5.已知函数．
求的定义域；
若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
解：令 ，即 ，
解得 ，
故 的定义域为 ；
由 ，得 ，即 ，
方程 有两个不相等的实数根，
即方程 在 上有两个不相等的实数根，
则 ，
解得 ，即的取值范围为 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固对数函数的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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