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第四章 指数函数与对数函数
4.4.2对数函数的图象和性质
1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象.
2.类比指数函数图象与性质的研究路径和方法，结合指数函数与对数函数的关系，在信息技术支撑下结合指数函数的图象与性质，能说出对数函数的主要性质，体会特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、逻辑推理等数学素养.
3.能利用对数函数的性质解决一些简单的数学问题，体会对数函数的性质在具体数学情境中的应用价值.
4.知道对数函数与指数函数互为反函数.
重点：对数函数的图象和性质.
难点：对数函数性质的探究和归纳
（一）创设情境
回顾：
1.对数函数的定义
一般地，函数且叫做对数函数.其中真数x是自变量，定义域是(0,+∞).
2.研究函数的一般思路
概念 图象 性质 应用
设计意图：通过已经讲述过的指数函数图象与性质的研究方法，让学生联系、类比已学知识，结合对数函数的概念，推导整理出对数函数的图象与性质，对一个函数的图象与性质研究过程有更深层次的理解，并能从其中观察到对数和指数函数的关系。
（二）探究新知
任务1：探究对数函数的图象和性质.
探究： 1.你能利用描点法作出和的图象吗？
首先利用“列表——描点——连线”的方法画出函数的图象
师生活动：学生动手作图，教师巡视，观察学生作图情况.
设计意图：通过问题引导，建立新旧知识联系，培养学生的直观想象数学核心素养.
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．
思考：对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？
请画出函数的图象进行验证.
设计意图：让学生熟练掌握函数图象绘制的一般方法，也可以根据函数运算的特点找到函数图象之间的关系，鼓励学生在掌握一般方法后，能积极开拓思维，寻找新方法。
利用换底公式，可以得到：
因为点与点关于x轴对称，所以图象上任意一点P (x，y)关于x轴的对称点都在图象上，反之亦然.
由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
为了得到对数函数 (a＞0,且a≠ 1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.
师生活动：学生通过观察这几个函数图象的位置和变化趋势，尝试总结对数函数的性质.
设计意图：通过引导学生从特殊情况到一般情况的探究活动，培养学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。
（1）图象位置：全在y轴右侧，与y轴无限接近；
（2）与坐标轴的关系：与y轴无交点，过定点（1,0）；
（3）变化趋势：a>1时，自左向右看图象逐渐上升，
0（4）对称性：当对数函数的底数互为倒数时，图象关于x轴对称。
将以上性质归纳总结形成下列表格：
设计意图：通过比较不同对数函数的图象，发现性质，归纳它们的共同特征，提高学生自学能力和概括归纳能力，提升学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养。
任务2：探索反函数的定义.
探究：指数函数和对数函数有什么关系呢？
1.观察指数函数和对数函数的定义域和值域有怎样的关系？
指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞);
对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是R.
指数函数的定义域是对数函数的值域；而指数函数的值域是对数函数的定义域.
2.如何由指数函数得到对数函数的表达式呢？
总结：反函数的定义
一般地，指数函数，(a>0且a≠1)与对数函数，(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y=x对称.
（三）应用举例
例1 比较下列各题中两个值的大小：
(1) ; (2) ;
(3) (a>0 , 且a≠1) .
解：(1) 可看作函数的两个函数值.
因为底数2>1 ,对数函数是增函数，且3.4<8.5，所以
.
(2)可看作函数的两个函数值.
因为底数0<0.3<1 ,对数函数是减函数, 且1.8<2.7, 所以
(3)可看作函数的两个函数值.
对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
①当a>1时,对数函数是增函数,且5.1<5.9,所以
.
②当0.
总结：比较对数大小问题的求解方法:
(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.
(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.
(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引入第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
例2 (1)满足不等式的x的取值集合为 .
(2)若(a>0,且a≠1),则a的取值范围为 .
解：(1)因为真数大于0,所以，解得.
又函数在(0,+∞)上是增函数,所以2x 1< x+5,解得x<2.
综上可得,满足要求的x的取值集合为.
(2),即,
当a>1时,函数在定义域内是增函数,所以总成立,则,故a>1;
当0综上可知,a的取值范围为.
总结：对数不等式的三种考查类型及求解方法
(1)形如(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函数的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数的单调性求解.
(3)形如的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
例3 已知函数为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A. a>1 B. 01 D. 0解:由函数的单调性知，
该图象可以看作是向左平移个单位得到的，因此，
故选：．
总结：与对数函数有关的图象问题的求解方法
求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数(a>0,且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.
一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
例4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= - lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数的性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+] =10-7摩尔/升,计算纯净水的pH值.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
解：(1)根据对数的运算性质，有
在(0，+∞)上，随着[H+]的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小.
所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性越强.
(2)当[H+]=10-7时，pH= -lg10-7=7
所以，纯净水的pH是7.
设计意图： 通过例题，熟悉对数函数的图象和性质，并强化数学运算的核心素养．。
课堂练习
1.设，则，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
解：，，
，
，
，
故选：．
2.函数的单调递增区间是 ．
解：由，解得，
所以函数的定义域为，
设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知的单调递增区间为写成也正确．
故答案为．
3.若，则的取值范围是 ．
解：化为，
因为是减函数，可得，
解得，
故答案为．
4.已知函数，且在区间上的最大值是．
求的值
若函数的定义域为，求使得不等式成立的实数的取值范围．
解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值，即，因此．
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值，即，因此．
故或．
因为的定义域为，
所以不等式的解集为，
故，
解得，又由知或，
所以，代入不等式，得，
在上是减函数，
，
解得，
因此的取值范围是
5.已知指数函数，且过点，在；函数的顶点坐标为；函数，且过定点这三个条件中任选一个，回答下列问题．
求的解析式，判断并证明的奇偶性；
解不等式：．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解： 由可知，，即解得：.
由可知函数的顶点坐标为，则
由可知，函数，且过定点则
综上，三个条件中任选一个，均有即过，即，．
，，
为偶函数，
即，
可化为：，
．
即不等式：的解集为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固对数函数的图象和性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法？

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