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第四章 指数函数与对数函数
4.4.3不同函数增长的差异
1.能够利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长方式进行比较，体会它们的增长差异；
2.理解“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”的含义；
3.体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识基本初等函数与现实世界的密切联系，及其在刻画现实问题中的作用.
重点：一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
难点：函数增长快慢的因素.
（一）导入新课
师生活动：教师提出问题，引导学生结合初中学习的函数知识进行回顾与思考.
思考：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一:每天回报元；
方案二:第一天回报元,以后每天比前一天多回报元；
方案三:第一天回报元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
教师说明：这个问题涉及了不同函数增长的比较，我们今天就来研究三种不同函数-----一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
设计意图：通过实际问题引入课题，激发学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究指数函数与一次函数增长方式的差异.
探究1：画出函数与在区间上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异.
师生活动：教师提出问题，学生自主探究.作出图象后，师生合作观察、研究函数与在区间，和上的增长差异.
答：列表，画图如下：
通过图象可以看到，函数与有两个交点，.在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，.这表明，虽然这两个函数在上都是增函数，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.
探究2：为了突出增长的差异，在更大的范围内观察这两个函数的增长情况.
师生活动：教师指导学生列表，画图，师生再次合作观察、研究函数与的增长情况.
答：列表，画图如下：
通过图象可以看到，虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有.
设计意图：通过数形结合，让学生直观感受一次函数和指数函数的增长差异.
总结：一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似，即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
注意：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
师生活动：教师再出示几个函数实例来说明.
设计意图：通过实例，推导出结论，培养学生分析、推理的能力.
任务2：探究对数函数与一次函数增长方式的差异.
探究：画出函数，在区间上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异.
师生活动：教师提出问题，学生自主探究，教师引导学生进行分析.师生合作观察、研究函数，的增长差异.
答：列表，画图如下：
观察图象可知，虽然函数，在区间上都单调递增，但增长速度存在明显的差异：函数的增长速度保持不变，而的增长速度在变化.随着的增大，函数的图象离轴越来越远，函数 的图象越来越平缓，趋向于与轴平行.
思考：如果将放大1 000倍，再对函数和的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？
答：仍保持上述规律，如下图所示：
设计意图：类比前面的探究过程继续学习，学生易于接受，并能够较快得出正确的结论，提高学生类比学习的能力.
师生活动：师生共同总结一次函数和对数函数增长方式的差异.
总结：一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.即使的值很小，在一定范围内，可能会大于,但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.
注意：对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.
设计意图：培养学生归纳总结的能力.
任务3：探究一次函数、对数函数、指数函数的增长差异
师生活动：教师出示问题，学生自主探究.
探究1：画出一次函数，对数函数，指数函数的图象，并比较它们增长的差异.
答：作图如下：
随着x的增大，
①在上保持固定的增长速度；
②在上增长速度越来越快；
③在上增长速度越来越慢.
探究2：试概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异.
答：在区间上，随着x的增大，
①保持固定的增长速度；
②增长得越来越慢；
③增长得越来越快.
探究3：讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
答：直线上升→匀速增长；
对数增长→缓慢增长；
指数爆炸→增长越来越快.
应用说明：1.当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
2.当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型；
3.当变化趋势稳定、平稳，选用一次函数模型.
设计意图：通过对本节课进行总结性探究，加深学生对一次函数、对数函数、指数函数增长差异的认识.
（三）应用举例
例1：在同一坐标系内画出下列函数的大致图象，并比较它们的增长情况.
，；
；
.
师生活动：教师出示例题，让学生自主解答，并比较它们的增长情况.
解：三个函数的大致图象如下图所示.
由图象可以看到，函数以“爆炸”式的速度增长；函数增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数以固定的速度增长.
设计意图：通过例题让学生进一步熟悉不同函数的增长情况.
例2：函数和的图象如图所示设两个函数的图象交于点，，且．
请指出图中曲线，分别对应的函数
结合函数图象，判断，，，的大小．
分析：（1）随着自变量的增大，图象位于上方对应的函数是指数函数，另一个图象对应的函数就是幂函数；（2）结合图象易得出答案.
解：（1）当充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数，另一个函数就是幂函数， 曲线对应的函数为，曲线对应的函数为．
（2），，，，
，．
．
从图象上可以看出，当 时，，
当时，，
又，
．
例3：某公司年上半年五个月的收入情况如下表所示：
月份
月收入万元
根据上述数据，在建立该公司年月收入万元与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择．
你认为哪个函数模型较好？并说明理由．
试用你认为较好的函数模型，分析大约从几月份开始，该公司的月收入会超过万元？参考数据：，
分析： 确定自变量与函数值之间的关系，将这些点描到坐标系中，发现这些点更与哪一个函数吻合是解决本题的关键．
选择出好的模型之后利用方程思想求出相应的自变量，注意指数式与对数式的互相转化．
解：画出散点图，如图：
由图可知点基本上是落在函数的图像的附近，
因此用函数这一模型较好．
当时， ，，即，
，
故大约从第月份开始，该公司的月收入会超过万元．
设计意图：通过例题，帮助学生进一步理解不同函数模型的增长差异，并发展学生的数学建模、解模及数学运算等核心素养.
（四）课堂练习
1.下列函数中随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
解：当时，随着的增大，指数函数增长最快，幂函教其次，对数函数最慢，
故函数的增长速度最快．
故选D．
2.如图给出了红豆生长时间月与枝数枝的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )
A. 指数函数： B. 对数函数：
C. 幂函数： D. 二次函数：
解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过点，图象由指数函数来模拟比较好，
故选：．
3.当时，有下列结论：指数函数，当越大时，其函数值的增长越快
指数函数，当越小时，其函数值的增长越快
对数函数，当越大时，其函数值的增长越快
对数函数，当越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
解：当时，
结合指数函数及对数函数的图象可知，
指数函数，当越大时，其函数值的增长越快，
对数函数，当越小时，其函数值的增长越快，
故正确．
故选：
4.下表为年年的中国数字经济规模单位：万亿元
年份
年份代码
中国数字经济规模
则下列所给函数模型中比较适合这一数据关系的是( )
A. B.
C. D.
解：对于，当时，，与相差较大
对于，当时，，与相差较大
对于，当时，，与相差较大
根据数据可得中国数字经济规模每年比上一年增长左右，所以比较合适．
故选C．
5.函数，的图象如图所示．
指出曲线，分别对应哪一个函数
比较两函数增长速度的差异以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较．
解：由函数图象特征及变化趋势，
知曲线对应的函数为，
曲线对应的函数为
当时，当 时，当时，．
呈直线增长，其增长速度不变，
随着的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢，
时，增长速度慢于
当 时，开始增长速度比慢，后来超过了增长速度
当时，增长速度比快
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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