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第四章 指数函数与对数函数
4.5.1函数的零点与方程的解
1. 能够利用函数零点的定义，判断零点的存在性和确定零点范围，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
2. 掌握二次函数的图象，经历由特殊到一般的思维过程，了解函数零点存在定理，借助图象判断零点个数，发展数学直观想象和数学抽象核心素养；
3. 会利用函数判断方程是否有解，了解函数再解决数学问题方面的应用，发展数学建模核心素养；
4. 通过对函数的零点与方程的解学习，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，体会数学的奥妙，提高学习数学的兴趣.
重点：方程的根与函数零点的关系的理解；函数零点存在定理的探究，构建与应用．
难点：函数零点存在定理应用；数形结合思想方法的渗透．
（一）创设情境
回顾：通过提问的方式依次让学生回答问题上节课学习的内容.
师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答表格中的数据：
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？
答：观察图象和数值得到一元二次方程的根的个数和对应二次函数与轴交点个数相同，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与轴交点的横坐标.
像 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？我们一起探究吧.
设计意图：回顾新知，对求二次函数的零点与一元二次方程的实数根之间的关系探究的方式，对其使用条件的熟悉，初步了解解决问题的思路和方向， 为接下来的探究作铺垫.
（二）探究新知
任务1：探究函数的零点.
思考：函数 是否有零点？方程 有实数解？
师生活动：教师给与提示：类比二次函数的零点，也可以考虑此函数的零点，通过判断函数的图象与轴是否有公共点，来判断方程是否有实数解.并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
分析：借助计算工具画出函数的图象或列出的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.
答：如下表（图）所示：
函数有零点即相应方程只有实数解.
思考：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？
师生活动：学生思考后，由学生积极举手发言或者教师点学生发言，发表自己观点，教师总结：可以将这种方法推广到研究一般方程的解.并且给出函数的零点定义：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
思考： 函数的零点、方程根、图象之间的关系？
师生活动：学生思考后，由学生积极举手发言或者教师点学生发言，发表自己观点，教师总结.
答：函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点.
思考：函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
师生活动：学生先合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.教师给与帮助并总结.
总结：1.函数的零点不是点，零点指的是实数；2.由定义可知，求函数的零点可通过解方程得到；3.一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.
设计意图：体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了一般函数零点存在性的运用，通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握零点的定义，结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：函数零点存在定理.
思考：对于二次函数，观察它的图象，发现它在区间上有零点. 这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值规律来刻画这种关系？
师生活动：教师可以给以提示：相应的函数的取值在零点左右两侧与0的大小关系；并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结
答：函数在区间内有零点，它是方程的一个根:在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴;函数在端点和的取值异号，即.
函数在区间内有零点，它是方程的另一个根：在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴；函数在端点和取值异号，即.
思考：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，以及的取值情况．阅读教科书“函数零点存在定理”相关内容，你能总结出函数零点存在的判定条件吗？
师生活动：教师可以给以提示：基本二次函数图象，指数函数和对数函数的图象；并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结
答：
1.这几个函数都至少有一个零点；2.在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴；3.函数在零点两端的取值为异号.
1.这几个函数都是没有零点；2.函数的图象都在轴的同一侧，没有“穿过轴.
总结：函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
定理有两个判定条件：
①函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线；
②.
二者缺一不可.
思考：你们能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？
师生活动：学生思考后，由学生积极举手发言或者教师点学生发言，发表自己观点，教师总结.
答：如：，虽满足，但在内没有零点，因为的图象在上是不连续的.
如：的图象满足在上是连续的，但在内没有零点，因为不满足
思考：若函数满足在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内的零点一定是唯一的吗？
答：不一定.如图上图，虽然都有，但图（1）中函数在区间内有3个零点，图（2）中函数在区间内仅有1个零点.
总结：函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点的个数.
思考：函数在区间内有零点，是不是一定有？
答：不一定.如在区间上有零点，但是.
总结：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，是在区间内存在零点的充分不必要条件.
思考：函数在区间内有零点，如何判断零点的个数呢？
师生活动：教师可以给以提示：可以利用函数的单调性确定零点的个数；并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
答：
总结：若函数 在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且具有单调性，
在区间内有且只有一个零点；
在区间内没有零点.
设计意图：借助图象判断零点个数培养学生逻辑推理能力，求函数零点以及零点所在区间数学运算能力进一步得以巩固，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.在思考和分析中，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想．并将能将问题转化为所掌握的函数图象模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
（三）应用举例
例1 求方程的实数解的个数.
分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.
解：由上表和图象可知，，，则. 由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.
总结：方程的实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点.
追问：如何说明零点的唯一性？
答：函数是增函数，那么函数就只有一个零点. 所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
总结：可以利用函数的单调性确定零点的个数.
追问：还有其他方法求方程的实数解的个数吗？
由，得 .令， .在同一个坐标系中作出，的图象.由图可知与的图象只有一个交点，则函数仅有一个零点，相应方程只有一个实数解.
总结：由，得，在同一坐标系中作出和的图象，利用图象的交点个数判定方程根的个数.
设计意图：考察了学生利用函数零点的定义和函数存在定理独立完成相关数学问题，检验学生的学习情况， 引导学生用定义和定理理解和识别问题中的关系，时刻留意函数零点的定义和函数存在定理的使用条件和注意事项，控制难度，逐步培养学生用数学模型解决问题的能力．
（四）课堂练习
1.在下列区间中，方程的解所在的区间为( )
A. B. C. D.
解：令 ，则方程 的解就是函数的零点．
易得在上是增函数，
所以
所以函数的零点在区间．
故答案为：．
2.已知函数在上有且仅有个零点，则实数( )
A. B. C. D.
解：因为，
所以为偶函数，
又因为在上有且仅有个零点，
则，即．
故选A．
3.设、分别是方程与的根，则 ．
解：由可得，
由可得，
所以是与的交点横坐标，
是与的交点横坐标，
由于函数与互为反函数，图象关于对称，
联立与可得，
故．
故答案为：．
4.定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 ．
解：因为，
所以，可得函数是周期为的奇函数，
因为，可得的图象关于直线对称，
当时，，又易知，所以时，，
由对称性可先画出函数在区间上的图象，
根据函数为奇函数且周期为，可以画出函数在上的图象，
由，得，
分别画出函数和的图象，如图，

由，又，，，
，而，
可以得到函数和的图象有个交点，
所以函数零点的个数为．
故答案为：．
5.已知函数的图象的对称中心为．
求的值；
用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减；
若方程在上有解，求实数的取值范围．
解：易知的定义域为，
因为函数的图象的对称中心为，
所以的定义域也关于点对称，所以，
所以，
检验：当时，，
所以，
则，
所以的图象的对称中心为，故
证明：任取，，且，
所以，
因为，，，所以，，，
则，，
因为，
所以，则，
所以，所以，
故在其定义域上单调递减
解：由方程在上有解可知，在上有解．
设，令，则，
所以在上单调递减，
故在上单调递减．
由可知，在上单调递减，
所以在上单调递减，
则，
所以，故实数的取值范围为
6.已知函数．
当时：
求的值；
求的图象与直线的交点坐标；
若的值域为，求实数的取值范围．
解：当时，，所以，
当时，，所以，
所以；
当时，，得，解得；
当时，，即，解得或舍去，
所以函数的图象与直线的交点坐标为；
当时，，所以，
即当时，；
当时，，
由，得，
即当时，
所以，得，解得，
即实数的取值范围为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固函数的零点与方程的解相关知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课所学内容，回答下列问题：
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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