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第四章 指数函数与对数函数
4.5.2用二分法求方程的近似解
1.了解利用二分法求函数零点近似解的原理，能借助计算工具用二分法求函数零点的近似值；
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
3.了解数学在人类文明发展过程中的作用，形成正确的数学观，激发学习兴趣.
重点：二分法的原理，用二分法求方程的近似解的一般步骤.
难点：对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解.
（一）创设情境
情境一：复习回顾
师生活动：教师引导学生复习上节课学习内容，并引出本节课要学习的内容，学生在教师的引导下回顾旧知.
思考1：函数零点的概念是什么？函数零点是不是一个点？
答：把使函数的实数叫做函数的零点.函数的零点不是一个点，而是实数的值.
思考2：函数的零点与方程的解的关系是什么？怎样求函数的零点？
答：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.
函数的零点即函数图象与轴交点的横坐标，求函数的零点即求函数值为时对应的自变量的值，也就是说，求函数的零点可转化为求对应方程的解.
思考3：函数零点存在定理的内容是什么？
答：函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在,使得，这个也就是方程的解.
思考4：求函数零点的常用数学思想方法有哪些？
答：转化思想、数形结合思想等.
情境二：问题引入
问题1：函数的零点是否存在？如何判断？
答：利用函数零点存在定理进行判断.由定理可知，，，且函数在上连续，所以函数在区间内存在一个零点.
问题2：你能求方程的精确解吗？为什么？
师生活动：学生经过简单判断，思考，教师补充.
答：不能.因为大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解即可.比如当精确度为时，只需近似值与精确值差的绝对值小于即可.
联系函数的零点与方程的解的关系，能否利用函数的有关知识来求它的近似解？
设计意图：通过从学生熟悉的求方程的解入手，复习巩固旧知，并引出如何求不易求解的方程的近似解的话题，激发学生进一步探究的欲望.
（二）探究新知
任务1：探究二分法求方程近似解的原理.
根据函数的零点与方程的解的关系，方程有实数解函数的图象与轴有公共点函数有零点.从而，求方程的解求函数的零点.
探究：根据已知精确度求方程的近似解.
思考1：误差与精确度的含义是什么？
答：一般地，误差是指近似值（或测量值）与准确值之间的差异.近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设为准确值，为的一个近似值，若，则是精确度为的的一个近似值.
思考2：当精确度为时，你能得到函数的一个符合要求的零点的近似值吗？
师生活动：学生自主探究，教师评价.
答：零点在区间内，数轴上和之间的距离为，它们的中点与零点的距离一定小于，因此精确度为时，可以取作为一个零点的近似值.
教师给出区间的中点的定义：一般地，称为区间的中点.
思考3：当精确度为时，可以看做零点的一个近似值吗？为什么？
答：零点是在内，还是在内？这时要考虑，的符号.由计算工具得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为可知，零点和之间的距离小于，因此，可以看做零点的一个近似值.
思考4：当精确度缩小到时，为了得到函数零点的近似解，至少需要将零点所在的区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法逐步缩小零点所在的区间？
师生活动：学生思考，教师点评.
答：当精确度缩小到时，长度小于的零点在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于.与上述问题类似的方法，通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.
具体过程如下：
取区间的中点，用计算工具算得.
因为，所以零点在区间内.
再取区间的中点，用计算工具算得.
因为，所以零点在区间内.
由于，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小，直到区间长度小于0.01为止(如下表和下图).
思考5：根据表格，请给出函数在精确度为时零点的近似值.
答：通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
如，当精确度为时，因为，所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似解.
设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程.
任务2：二分法的定义
探究1：在“任务一”中，用怎样的方法求函数零点近似值？这种方法适用于哪些函数？
师生活动：教师引导学生对二分法进行辨析、理解，然后在学生回答的基础上进行点评，并归纳总结出二分法的定义.
答：通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点的近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.
概念的形成：
二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二分法是求方程近似解的常用方法.
设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义.
任务3：探究用二分法求函数零点近似值的一般步骤
师生活动：教师出示问题，学生自主探究.
探究：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？
答：回顾求函数零点的近似值的过程，主要经历了以下环节：
1.确定初始区间：由，得到函数的零点所在区间；
2.不断缩小区间：通过重复计算区间中点和端点函数值乘积的符号，将零点所在的区间逐次减半地缩小，具体可分解为如下步骤：
（1）计算区间中点；
（2）计算中点函数值；
（3）计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；
（4）确定零点所在区间.
3.重复操作，得到近似值：当零点所在区间的长度小于精确度的范围，把区间的一个端点作为零点的近似值.
思考1：用二分法求函数零点的近似值，实质上就是通过“取中点”的方法，运用逼近思想逐步缩小零点所在的区间，周而复始怎么办？你能给出一个停下来的标准吗？
答：为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度，由可知，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值.
思考2：根据上面求函数的零点近似值的过程，你能总结用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？
总结：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤.
说明：教师着重要讲解零点所在区间的归属条件，避免学生出现区间选择上的错误，明确精确度的概念和判断方法，即“算法”结束的条件.
设计意图：通过由特殊到一般，归纳总结利用二分法求函数零点近似值的一般步骤，培养学生的数学抽象核心素养.
（三）应用举例
例1：借助信息技术，用二分法求方程的近似解精确度为．
师生活动：教师出示例题，学生按用二分法求方程的近似解的一般步骤进行求解，并借助信息技术画出函数图象进行检验.教师提醒学生注意精确度的要求.
解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象，并列出它的对应值表．
观察图象或表格，可知，说明该函数在区间内存在零点取区间的中点，用信息技术算得因为，所以．
再取区间的中点，用信息技术算得因为，所以．
同理可得，，由于，
所以，原方程的近似解可取为（也可以）．
设计意图：通过例题让学生进一步熟悉利用二分法求函数零点近似值的步骤.
说明：用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图，有兴趣的同学，可以在此基础上用相关的算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.
例2：求方程的近似解．精确到
分析：作出 ，的图象，可以发现，方程有唯一解，记为，并且解在区间内，利用二分法结合函数零点存在定理，即可得出．
解：作出，的图象，
可以发现，方程 有唯一解，记为，并且解在区间内．
设 ，用计算器计算得
，；
，；
，；
，；
，；
，
且与精确到的近似值都为，所以原方程的近似解为.
总结：用二分法求方程的近似解应明确两点：
根据函数的零点与相应方程的解得关系，求函数的零点与求相应的解是等价的.求方程的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解；
求形如的方程的近似解，可以通过移项转化成形如的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
例3：已知图象连续不断的函数在区间内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值精确度为，求应将区间至少等分的次数．
解：设等分的次数为，则
由，得，故的最小值为．
总结：一般地，若连续函数在区间内存在唯一的零点，则利用二分法求零点的近似解，至少需要等分的次数与精确度的关系满足：.
设计意图：通过例题，帮助学生进一步加深对精确度的理解，明确二分次数与精确度的关系，培养学生抽象概括思维的核心素养.
（四）课堂练习
1.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
A. B. C. D.
解：由图象可知，中图象的零点是不变号零点，
其它图象中零点都是变号零点，
故B不能用二分法求零点近似值．
故选B．
2.已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如表所示：
要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
解：由表格数据，零点区间变化如下：
，
此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了次，近似解取．
故选：．
3.若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第三次取区间的中点为 ．
解：令，
由，，，
由知方程的根所在区间为，则，
又，
由知方程的根所在区间为，
故，
故答案为：．
4.借助信息技术，用二分法求方程在区间内的近似解精确度为．
解：原方程可转化为，令，用计算器算得，，于是，所以这个方程在区间内有解。
易知在区间上单调递增，所以在区间内有且只有一个零点。
下面用二分法求方程在区间内的近似解。
取区间的中点，用计算器算得。因为，所以.
再取区间的中点，用计算器算得．
因为，所以。
同理可得，．
由于，
所以原方程在区间内精确度为的近似解可取为．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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