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第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
第1课时 函数模型的应用
1.能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解其中的数学关系；
2.在已知函数模型时，能够确定参数，计算求解，验证结果；
3.发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养.
重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体会数学建模的基本步骤；
难点：选择合适的函数模型分析和解决实际问题.
（一）创设情境
情境：某企业由于引进新的技术，产值逐年增长，如果从年起，每年的产值比上一年平均增加，那么至少经过多少年产值能翻两番？参考数据：，
师生活动：教师给出问题，引导学生思考，教师评价.
思考1：问题中的关键词有哪些？它们的含义分别是什么？
答：年平均增长率、翻两番.
前者指的是每年在上一年的基础上增长的比例；后者指的是翻了倍.
思考2：结合所学知识，你能给出完整的解答过程吗？
答：设经过年可以翻两番，依题意得：，
即，
两边同时取常用对数得，
即
，
所以至少要经过年产值翻两番．
设计意图：学生对单独的函数问题比较熟悉，但是在利用函数解决生活中的实际问题时，往往因为对某些关键词理解困难而导致错误，所以在课堂或练习中教师应该注意引导学生去理解，熟知这些词汇.此外，以问题的形式引入，让学生感受指数函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣，为接下来的学习做铺垫.
（二）探究新知
任务一：利用已知函数模型解决实际问题
探究1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率．
根据国家统计局网站公布的数据，我国年末、年末的人口总数大约分别为万和万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在年期间的具体人口增长模型．
(2)利用中的模型计算年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布
的我国在年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
(3)以中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到亿？
师生活动：教师出示例题并提出问题，引导学生分析问题、分析数据，学生思考、讨论、交流后回答，教师点评并总结.
思考1：要建立这个模型，需要确定哪些参数的值？
答：需要确定和.
思考2：我国自年起的人口增长模型中人口数初始量是多少？
答：依题意年末的人口总数是万，即.
思考3：如果将年记为第一年，那么年是第几年？从年到年经过了几年？
答：年是第十年；从年到年经过了年.
思考4：如何计算年期间我国人口的平均增长率？
答：根据已知得，且当时，.利用人口增长模型可以求出在年期间我国人口的年平均增长率.
师生活动：教师组织学生小组合作，利用多种方法计算出结果，集体交流、总结后教师出示规范解答：
解：（1）由题意知，设年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有，由计算工具得.
因此我国在年期间的人口增长模型为，
思考5：如何检验所得模型与实际人口数据是否吻合？
答：①利用确定的人口增长模型计算求得我国年各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的我国在年各年末的实际人口总数相比较，即可检验所得模型与实际人口数据是否相符.
②画出函数，的图象，并根据国家统计局网站公布的年各年末的我国人口总数实际数据画出散点图，通过观察图象即可检验所得模型与实际人口数据是否相符.
思考6：所得模型与年的实际人口数据是否为吻合？
答：首先利用人口增长模型，求得我国在年各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的我国在年各年末的实际人口总数，列出表格，比较可知所得模型与实际人口数据基本吻合.
师生活动：教师鼓励学生动手检验，学生完成后，教师出示第（2）题的规范解答：
解：（2）分别取8，由可得我国在年各年末的人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国年各年末的实际人口总数，如下表所示：
根据年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数，的图象，如图.
由上表和上图可以看出，所得模型与年的实际人口数据基本吻合.
思考7：如果利用所得模型计算，大约在哪一年我国人口达到亿？
答：将带入函数模型，由计算工具算出结果即可.
师生活动：教师出示第（3）题规范解答：
解：（3）将代入，由计算工具得.
所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在年后的第年（即年），我国的人口就已达到亿.
思考8：事实上，我国年人口数为亿，直到年才突破亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
答：因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
总结：在人口红利出现拐点、老龄化加速的背景下，我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口的数据，探究我国人口变化的规律.数学建模主要表现为发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.本例是利用已知得函数模型解决实际问题.在用已知得函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.
设计意图：通过对具体问题的分析建模、解模过程，发展学生的数学建模、直观想象、数学抽象及数学运算等核心素养.
任务2：构建函数模型解决实际问题
探究2：年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥上提取的草茎遗存进行碳年代学检测，检测出碳的残留量约为初始量的，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的
师生活动：教师提出问题，引导学生分析问题、解决问题.学生思考并解答问题.
思考1：什么是“碳年代学检测”？
答：碳年代学检测是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常用来测得古生物化石的年代.
思考2：什么是“半衰期”？
答：当生物死亡后，它机体内碳的初始量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
思考3：应选择什么函数模型比较合适？其中自变量与因变量分别是什么？
答：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数建立数学模型.其中衰减年数为，残余量为.
师生活动：通过上述分析，初步建立了函数模型，教师组织学生类比探究1继续按照问题的提示，小组合作完成解答，完成后集体点评、总结，并给出规范解答过程.
思考（4）：如果利用这种对应关系由碳的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？
如何确定这个参数？
确定这个参数后，如何进一步确定函数关系？
利用确定的函数关系如何推断水坝大概是什么年代建成的？
解：设样本中碳的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为．
根据问题的实际意义，可选择如下模型：
，且．
由碳的半衰期为年，得．
于是，
所以．
由样本中碳的残余量约为初始量的可知，
，
即．
解得．
由计算工具得：．
因为年之前的年是公元前年，所以推断此水坝大概是公元前年建成的．
设计意图：通过由教师引导学生构建函数模型解决实际问题，帮助学生巩固对构建函数模型解决实际问题的理解和掌握，培养学生分析问题，解决问题的能力，发展学生数学建模、数学抽象和数学运算等核心素养.
思考：构建函数模型解决实际问题的步骤主要是什么？
师生活动：教师引导学生总结、概括构建函数模型解决实际问题的步骤，学生思考、讨论、交流，最后师生共同总结.
总结：构建函数模型解决实际问题的步骤主要是：
理解题意；
提炼信息；
构建函数模型；
求解模型；
检验模型；
应用模型.
设计意图：通过对构建函数模型解决实际问题的主要步骤，帮助学生巩固所学知识，完善知识体系，提升学生总结、概括能力.
（三）应用举例
例1：里氏地震震级，其计算公式为：其中，为被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．
若一次地震中，距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅为，此时标准地震的振幅为，计算这次地震的震级；
计算级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍．
师生活动：教师出示例题，学生自主作答，教师点评.
解：由题意可得此次震级为，
所以，这次地震的震级为级．
设级地震的最大振幅为，级地震的最大振幅为，
则由题意可得：，
即，所以，
所以，
所以，级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的倍．
例2：目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为
设第年年记为第年的年产能为年的倍，请用，表示；
若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过年的年产能的？
参考数据：，
师生活动：教师出示例题，学生自主作答，教师点评.
分析：
依题意列式，然后采取两边取常用对数的方法可解得．
解：依题意得，则，
所以
设第年的年产能不超过年的年产能的，则，
即，，，则．
因为，
所以．
因为，且，
所以的最小值为，
所以，至少要到年才能使年产能不超过年的年产能的．
设计意图：通过例题1帮助学生学会确定参数，计算求解；通过例题2让学生巩固建立模型，求解模型的整个完整过程.例题侧重于指数与对数的互换计算.
（四）课堂练习
1.设在海拔处的大气压强是，与之间的函数关系为，其中，为常量．已知海平面处的大气压强为，在高空处的大气压强为，则在高空处的大气压强约为参考数据：( )
. . . .
【答案】
解：依题意得：，
，
因此，
因此当时，
．
故选：．
2.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为单位：天，铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：设这两种放射性物质的初始质量均为，
那么经过时间后，甲物质所剩的质量为：，乙物质所剩的质量为：，
由天后测量发现乙的质量为甲的质量的，
可得，
即，
即，
即，
故选A．
3.咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为满足研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在现有一杯的热水用来冲咖啡，经测量室温为，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟结果保留整数参考数据：，，
【答案】
解：由题意可得，
则，即，
所以从冲咖啡开始大约需要等待分钟才能达到最佳饮用口感．
故答案为：．
4.近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔单位：分钟满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时载客量为人，记地铁载客量为．
求的解析式；
经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
解：由题意可设为常数，
因为，则，
所以；
由，结合可知，
可得
整理得
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，在上单调递减，
即当时取最大值；
由可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
第2课时 函数模型的应用
1.能将具体问题化归成函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、一次函数、指数函数的变化差异；
2.理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实意义；
3.能正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等核心素养.
重点：选择合适的函数模型分析和解决实际问题，体会数学建模的一般过程.
难点：理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实意义.
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，教师根据学生的回答情况评价补充.
思考1：我们学过哪些函数模型？
答：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
思考2：根据已学的不同函数增长的差异相关内容，指出“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义分别是什么？
答：直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；
对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样；
指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样.
思考3：构建函数模型解决实际问题的主要步骤是什么？
答：构建函数模型解决实际问题的主要步骤是
(1)理解题意；
(2)提炼信息；
(3)构建函数模型；
(4)求解模型；
(5)检验模型；
(6)应用模型.
设计意图：通过对函数模型等相关内容的回顾，引导学生感受不同函数模型所描述的客观事实，为进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数模型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律作铺垫.
（二）探究新知
任务一：构建数学模型解决实际问题
情境1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报元
方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元
方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
师生活动：教师依次提出问题，逐步深入，引导学生分析其中的数量关系，写出三种投资方案所对应的函数关系式，再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断.
探究1：请初步选择一种你认为合适的投资方案.
师生活动：学生组内讨论、交流，教师选择有代表性的解答展示，暂不给予点评.
探究2：你能根据问题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？
思考1：你能分别写出三种方案前天的回报吗？
答：三种方案前天的回报如下表所示：
思考2：你发现这三种方案的日增加量有什么不同？
答：前两种方案的增加量都是常数，第三种方案的日增加量成倍数增加.
思考3：你能用函数关系式描述三种方案中第天所得回报吗？
答：从表格中的增加量可以看出，方案一是常数函数模型；方案二是一次函数模型；方案三是以指数函数为核心的模型.
方案一：；
方案二、方案三可利用待定系数法依次求得为：
方案二：；
方案三：.
思考4：还可以用什么方式进一步研究这三个函数模型的变化趋势？
答：利用三个函数模型的图象，如下图所示.
思考5：你可以从图象上获取什么信息？
答：在第天，方案一的回报最多；第天，方案一与方案二回报一样多，方案三最少；在第天，方案二最多；从第天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第天，所得回报已超过亿元.
思考6：你能据此判断投资天，使用方案一；投资天，使用方案二；投资天以上，使用方案三吗？
答：不能.投资天，应该看前天累计的回报数哪个方案最多作出选择.
累计的回报数列表如下：
从表格可以看出，投资6天，应选择方案一；投资天，应选择方案一或方案二；投资天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
师生活动：回到探究1作出的方案选择，学生反思，教师评价.
设计意图：通过设置分层次、有针对性的问题，逐步深入，引导学生将实际问题转化为数学问题，并根据不同函数模型的增长差异选择合适的函数模型，借助计算结果与图象直观理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义.引导学生分析影响方案选择的因素，使学生作出正确选择.
任务2：选择合适的函数模型解决实际问题
情境2：某公司为了实现万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到万元时，按销售利润进行奖励，且奖金单位：万元随销售利润单位：万元的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生活动：教师提出问题，引导学生分析问题、解决问题；学生思考并解答问题.
探索：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？
思考1：的取值有限定范围吗？
答：由于个人利润不会超过公司总利润，所以，即.
思考2：要想符合公司的要求，应该满足哪些条件？这对选择模型有什么帮助？
答：(1)奖金总数不超过万.
从形的角度：画出的图象，所选函数模型的图象应在它的下方；
从数的角度：若存在带入解析式中，使得，则排除.
(2)奖金不超过利润的即.
思考3：你能作出函数的图象，并通过观察作出判断并给出本题的解答过程吗？
答：不妨先检验条件是否满足.
在同一平面直角坐标系中作出函数，，，的图象，如图所示．
观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励才能符合公司要求．
下面通过计算确认上述判断：
首先计算哪个模型的奖金总数不超过万元．
对于模型，它在区间上是单调递增的，
当时，，因此该模型不符合要求．
对于模型，由参考数据可知，，
由于是增函数，
故当时，，因此也不符合题意．
对于模型，它在区间上单调递增，
且当时，，
所以它符合奖金总数不超过万元的要求．
再检验条件2是否满足，即计算按模型奖励时，奖金是否超过利润的.
当时，利用信息技术作出的图象，如下图所示：
由图象可知在上是减函数，
因此，
即，
所以当时，．
这说明，按模型奖励时奖金不超过利润的．
综上所述，模型确实符合公司要求．
总结：此类问题解题的一般步骤为：
作图：根据已知数据作出草图；
选择函数模型：根据草图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较接近的函数模型；
求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
利用所求得的函数模型解决问题．
设计意图：本题继续上个问题继续在总体的指导下给出不同层次的问题，引导学生作出函数图象并结合图象作出判断，将实际问题向函数模型转化，同时引导学生指出判断依据，从而运用函数观点分析问题.
（三）应用举例
例1：生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测第一次监测时的总量为单位：吨，此时开始计时，时间用单位：月表示，甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：且．
请根据表中提供的前列数据确定两个函数模型的解析式
根据第，列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月
参考数据：，
师生活动：教师出示例题，学生自主作答，教师点评.
解：由已知将前列数据代入解析式得：
解之得：，函数模型的解析式为：
将前列数据代入解析式得：
解之得：，
函数模型的解析式为：．
当时，模型，模型
当时，模型，模型
选模型.
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过个月时，总量能再翻一番．
例2：某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．
该车营运第几年开始赢利总收入超过总支出，今年为第一年；
该车若干年后有两种处理方案：
当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；
当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
师生活动：教师出示例题，学生自主作答，教师点评.
分析：设使用年，根据已知建立不等式即可求解；
先求方案一中盈利总额的最大值，再利用基本不等式求出方案二中年平均盈利总额，对比两种方案即可求解．
解：因为客车每年的营运总收入为万元，使用年，
所需的各种费用总计为万元，
若该车年开始赢利，则，
则，即，
解得，
所以该车营运年开始赢利；
方案，由题易知赢利总额
，
时，赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
方案，年平均赢利总额，
当且仅当时取等号．时年平均赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
两种方案的赢利总额一样，但方案的时间短，故方案合算．
设计意图：通过例题帮助学生进一步体会让学生巩固建立模型，求解模型的整个完整过程，体会选择合适的函数模型分析和解决实际问题.
（四）课堂练习
1.已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用个月就需要更换纯硫酸参考数据：，
A. B. C. D.
【答案】C
解：设最初该种电池的性能指数为，
通过月后性能指数变为，则，
由题意得，即，
两边同时取对数，可得，
，
，
又，故最多使用个月就需要更换纯硫酸．
故选：．
2.根据下表实验数据，判断下列所给函数模型比较适合的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解：由图表可知：随的增大而增大，且增长越来越快，
对于，随的增大而减小，故排除；
对于，随的增大而增大，但增长的越来越慢，故排除；
对于，随的增大而增大，但增长速度不变，故排除；
对于，随的增大而增大，且增长越来越快，故C符合题意．
故选：．
3.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间单位：天，增加总分数单位：分的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为 保留到个位
【答案】
解：因为 ，
所以 ，所以
所以 ，
所以 ．
所以估计该生高考中可能取得的分数在分左右．
故答案为．
4.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间单位：分钟，的函数关系式，
要求如下：
函数的图象接近图示
每天锻炼时间为分钟时，当天得分为分
每天锻炼时间为分钟时，当天得分为分
每天得分最多不超过分．
现有以下三个函数模型供选择：
．
请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式
若学校要求每天的得分不少于分，求每天至少锻炼多少分钟参考值：
【答案】解：对于模型由题意，有，得，
，
当时，，不合题意；
对于模型的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意；
对于模型由题意，有得，
，该函数图像增长符合题设图像要求．
当时，，
，符合题意，
综上所述，最合适的模型是模型，其解析式为；
由，令，解得，
所以每天至少锻炼分钟．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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