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第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
1.理解并掌握弧度制的定义，并能熟练的进行角度制与弧度制的换算，提升学生的数学运算素养；
2.掌握运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式；
3.通过弧度制的学习使学生理解并认识到，角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立，割裂的关系，提升学生逻辑推理素养.
重点：理解弧度的定义，熟练掌握弧度与角度的换算.
难点：理解弧度的定义，孤度制的产生过程和所蕴含的数学思想.
（一）创设情境
生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
思考：角的度量单位是什么呢？换算的进制是多少呢？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小呢？
师生活动：教师展示生活中常见的度量工具，提出问题，引导学生思考角度的单位除了度还有哪种形式，引入本节课的内容.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：回顾角度制的概念.
思考：学过哪些度量角的单位？
答：度、分、秒.
思考：1°是如何定义的呢？
答：将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的角叫做1°的角，即规定圆周的所对的角为1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.
思考：度、分、秒又如何换算呢？
答：度与分、分与秒之间一律采用六十进制.即1°=60′，1′=60″.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过回顾之前的知识，为本节课要突破和学习的重点知识内容做准备.
任务2：探究弧度制的概念
探究：弧度制是用弧长来度量圆心角的吗？弧长可以度量角吗？
答：如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB所形成角.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应圆心角.
设，OP=r，点P所形成的圆弧长为l.
思考：圆心角确定时，弧长l确定吗？弧长和圆心角有什么关系呢？
答：由初中所学知识可知：.于是.
探究：如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为，与的比值是多少？你能得出什么结论？
答：当圆心角不变时，为定值.
所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.也就是说，这个比值随确定而唯一确定.
所以可以用圆的弧长与半径的比值度量圆心角，而这种度量像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
思考：2弧度角怎样表示呢，5弧度角呢，弧度角呢？
答：根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l所对的圆心角为rad，那么.
其中，的正负由角的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
口诀：逆正顺负.
思考：任意角的弧度数怎么表示呢？
答：当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于小于角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是 0.
任务3：探究角度制与弧度制的相互换算
思考：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢
答：因为周角的弧度数是而在角度制下的度数是360，所以
，
思考：在弧度制下，与角终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？
答：与角终边相同的角：，
终边在x轴上：，
终边在y轴上：.
探究：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
弧度
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数.如表示是2rad的角.
思考：任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？
答：对于任意一个实数满足，那么，此时绝对值的大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.这样就在角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系.
（三）应用举例
例1：（1）把135°、240°、化成弧度.
（2）将3.14rad、、换算成角度.
解：（1）
因为，
所以.
（2）°
.
总结：角度与弧度的换算
①角度转弧度：弧度=角度×
②弧度转角度：角度=弧度×
例2：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）； （2）； （3）.
其中R是圆的半径，为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：由公式可得：
下面证明（2）（3）.
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，
将n°转化为弧度得：，所以
将代入上式得：.
总结：扇形的弧长和面积公式的求解策略：
（1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是
（其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，）.
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、而积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
例3：时间经过时，时针、分针各转了多少度各等于多少弧度
有人说，钟的时针和分针一天内会重合次你认为这种说法是否正确请说明理由．
提示：从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针会重合次，利用分针与时针转动的速度，建立关于的函数解析式，并求解
解：经过小时，时针转了，分针转了，
弧度；
弧度.
分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：
；
，；
最后一次相遇经过了；
此时，即时针和分针相遇次；
重合次的说法不正确．
例4：已知扇形的周长为．
若该扇形的半径为，求该扇形的圆心角，弧长及面积；
求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径．
解：设扇形的弧长为，半径为，
则，，则弧长，则圆心角，
所以扇形的面积；
由题设可得，
则扇形的面积为，
则当时，扇形面积取得最大值，
即，此时扇形半径为．
设计意图：通过例题，让学生体会弧度制与角度制的相互转化，学会公式解决简单的实际问题.
（四）课堂练习
1.对应的角度为( )
A. B. C. D.
解：，，故选C．
2.角化为弧度制等于( )
A. B. C. D.
解：．故选：．
3.圆的半径为，，是圆弧上的两个点，则下列命题不正确的是( )
A. 若线段，则弧度
B. 若圆弧上劣弧的长为，则弧度
C. 若是直径，则弧度
D. 若线段，则弧度
解：圆的半径为，，弧度，故A错误；
圆弧上劣弧的长为，弧度，故B正确；
是直径，弧度，故C正确；
线段，则弧度，故D正确．
故选A．
4.一个扇形的弧长与面积都等于，这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
解：设扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形面积公式得，．
又扇形弧长公式，．
5.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为．
A. B. C. D.
解：扇形的圆心角为，半径为，扇形的弧长．故选：．
6.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
若，，求扇形的弧长
若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
解：设扇形的弧长为．
，，．
由题设条件知，，，
因此扇形的面积，
当时，有最大值，此时，，
当时，扇形的面积最大，最大面积是．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固角度制与弧度制的换算和弧长公式、扇形面积公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
角度制与弧度制的换算
弧长公式及扇形面积公式的推导及应用.
弧长公式： 面积公式：.

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