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第五章 三角函数
5.2.1三角函数的概念
第1课时
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能准确表述定义内容；
2．会根据角终边上点的坐标，求该角的三角函数值，反之，能根据已知的三角函数值，确定角的终边上的点的坐标的可能情况；
3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函数值；
4．经历从锐角三角函数到任意角三角函数定义的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想；
5．通过在单位圆中分析角的终边与点的坐标关系，来构建三角函数的定义，培养学生观察、分析和归纳能力，提高学生的数学运算和逻辑推理能力．
重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义．
难点：任意角的三角函数概念的建构过程．
（一）创设情境
回顾：
在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示，在直角三角形中，如何定义锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数？
答：
思考：该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢
答：不变．
设计意图：通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
情境：
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题：圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图所示：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化呢？
不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况．
（二）探究新知
任务1：探究三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．
如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
探究1：当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当=时，点P的坐标是；当或时，点P的坐标分别是(0，1)和．它们都是唯一确定的．
设计意图：先研究特殊角下点P坐标，再研究任意角下点P坐标.体现由特殊到一般的思想.
探究2：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点P的坐标是也唯一确定.
思考：观察角的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？
师生活动：对任意一个实数，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标都是唯一确定的.　
一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.
设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.
下面给出三角函数的定义：
师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标y叫做的正弦函数，记做，即；
把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记做，即；
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即.
可以看出，当=（）时，的终边在y轴上，这时点P 的横坐标 x 等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
追问：任意角三角函数的定义域分别是什么呢
学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即，对于正切函数而言，要求点P的横坐标，即角的终边OP不能位于y轴上，那么正切函数的定义域为.
设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数；
余弦函数
正切函数
任务2：三角函数定义的推广
探究：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点与原点的距离为，如何用点P的坐标定义角α的正弦、余弦和正切？
自变量 幂函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
9 4 1 0 1 4 9 16 25
-27 -8 -1 0 1 8 27 64 125
0 1 2
-1 1
要求：先独立思考，再合作交流
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生分析问题，再让学生尝试解决.
证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则：
，，，，
于是，，即.因为与同号，所以
即同理可得，
设计意图： 通过问题引导，使学生找到，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.
三角函数定义的推广：
一般地，对于任意角α，角α终边上任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为，
那么.
显然任意角α的三角函数值不会随终边上点P位置的变化而变化．
设计意图：让学生进一步了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力．
（三）应用举例
例1 求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有：
设计意图: 通过例题让学生学会根据三角函数的定义，求角的三角函数值，提高学生解决问题的能力．
例2 (1)已知角α的终边过点P（-6，-8)，求角α的三角函数值．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且，求的值．
解：(1)点P到原点O的距离为
则.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且，
，解得，
，
则.
例2 若角α的终边在直线上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：设)(a≠0)是其终边上任一点，
则，
，
当时，
当时，，
所以或.
总结：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求，再求.
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（四）课堂练习
1.角的终边上一点的坐标为，且，则( )
A. B. C. D.
解：，
解得，
所以．
故选A．
2.下列各式中，与的值相等的是( )
A. B. C. D.
解：因，，，，．
故选：．
3.已知角的终边上一点，且，则 ．
解：由角 的终边上一点 ，且 ，
可得 ，解之得 或 舍
故答案为：
4.如图所示，设角的始边在轴正半轴上，终边在第二象限，点为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值 ．
解：，，．故答案为：．
5.已知角的终边过点，若，求，，的值．
已知是角的终边上一点，且，求的值．
解：角的终边过点，且，
，
故．
解：是角的终边上一点，且 ，
且，解得．
6.已知角的终边在直线上，求，，的值．
解：角的终边在直线上，
在角的终边上任取一点，
则，，
．
当时，，
，，
；
当时，，
，，
．
综上可知，
，，；
或者，，．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过课堂总结，帮助学生系统梳理本节知识，搭建知识框架.第五章 三角函数
5.2.1三角函数的概念
第2课时
1．进一步理解三角函数的定义，熟练掌握三角函数在各象限的符号；
2．能够根据三角函数的定义和象限角的特点，推导诱导公式一，并运用其进行简单的三角函数值求值；
3．通过对三角函数在各象限符号的讨论和诱导公式一的推导，培养学生的逻辑推理能力和分析问题能力；
4．在运用同角三角函数基本关系解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和转化思想的应用能力
重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，利用公式一进行化简求值．
难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律以及公式一的识记与应用．
（一）创设情境
回顾：任意角的三角函数的定义是什么？
答：设是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点，
（1）把点的纵坐标y叫做的正弦函数，记做，即；
（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记做，即；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即.
也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为
正弦函数；
余弦函数
正切函数
设计意图：通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力.
通过上节课的学习，从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？一起来探究吧！
（二）探究新知
任务1：探究三角函数值在各象限的符号
探究1：根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1.
表5.2-1
三角函数 定义域
sin α
cos α
tan α
师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，完成表5.2-1．
三角函数 定义域
sin α
cos α R
tan α
设计意图：任意角的三角函数定义的应用，培养学生的归纳概括能力.
思考：根据任意角的三角函数定义，的符号取决于什么？
师生活动：学生先独立思考，再汇报展示.
答：根据任意角的三角函数定义，的符号取决于角的终边与单位圆交点纵坐标的符号、横坐标的符号以及纵坐标与横坐标比值的符号.
探究2：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？将这三种函数的值在各象限的符号填入下图中的括号.
（ ） + （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
sin α cos α tan α
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.
设计意图：从特殊到一般，使学生确认三角函数值在各象限的符号.
结论：简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考：终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？
师生活动：学生先独立思考，再合作交流.
答：终边落在x轴非负半轴时，,0；
终边落在y轴非负半轴时，0,不存在；
终边落在x轴非正半轴时，,0；
终边落在y轴非正半轴时，0,不存在.
任务2：探索诱导公式一
思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
要求：先独立思考，再合作交流
答：终边相同的角，其同一三角函数的值相等．
师生活动：给出问题后，教师引导学生根据三角函数的定义进行分析，再让学生尝试归纳诱导公式一.
总结：公式一：
，其中.
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
设计意图：在问题的引导下，让学生自己尝试归纳总结诱导公式一，使学生对公式一有更深刻的理解.
（三）应用举例
例1 求证：角为第三象限角的充要条件是
证明：先证充分性，即如果式都成立，那么为第三象限角.
因为式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合；
又因为式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.
再证必要性，即如果第三象限角，则①②式都成立.
因为第三象限角，所以角的终边与单位圆的交点的横坐标与纵坐标都是负数，根据三角函数的定义知，.
综上所述：角为第三象限角的充要条件是
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1) cos 250°；(2)；(3)tan (-672°)； (4).
解：(1)因为250°是第三象限角，所以 cos 250°＜0.
(2)因为是第四象限角，所以<0；
(3)因为,
而是第一象限角，所以；
(4)因为,
而的终边在轴上，所以.
请同学们自己完成用计算工具验证.
总结：判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.
注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
设计意图： 通过例1、例2，让学生熟练掌握三角函数值在各个象限的符号，同时例2也涉及简单的诱导公式一的运用.
例3 求下列三角函数值：
(1)（精确到0.001）；(2)(3).
解：(1)
(2)；
(3)=
总结：诱导公式一的应用思路
1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．
2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．
设计意图：让学生进一步了诱导公式一的应用思路，提高学生分析问题、解决问题的能力.
例4 化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－990°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°+90°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 90°
＝a2＋b2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cos·tan 0＝sin＋0＝.
总结：利用公式一进行化简求值的步骤：
(1) 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2) 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3) 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
（四）课堂练习
1.若，，则可以是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
解：，角的终边在第一、三象限，
又，角的终边在第一象限，
即，，，，
当为偶数时，的终边在第一象限
当为奇数时，的终边在第三象限，
综上所述，可以是第一、三象限角．
故选：．
2.下列四个选项中正确的有( )
A. 若点在第三象限，则是第二象限角
B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形
C.
D.
解：对于，由题意知，且，所以是第二象限角，故A正确；
对于，，，所以，，
故角为钝角，故B正确；
对于，因为是第二象限角，所以，
因为，
所以是第二象限角，
所以，
所以，故C错误；
对于，因为，，，
所以，，，
则，故D正确．
故选ABD．
3.判断的符号．
解：，，
，，
，，
．
4.求下列各式的值．
；
；
．
解：原式
；
原式
；
原式
．
5.若角的终边过点，
Ⅰ求的值
Ⅱ试判断的符号．
解：Ⅰ角的终边过点，
，，．
，．
当时，，．
当时，，．
Ⅱ当时，，，
则；
当时，，，
则．
综上，当时，的符号为负；
当时，的符号为正．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数在各象限的符号以及诱导公式一，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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