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第五章 三角函数
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明；
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法.
重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用．
难点：同角三角函数的灵活运用．
（一）创设情境
情境：气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，从中我们可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
思考：既然感觉毫不相干的事物之间都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数之间有没有关系呢？
师生活动：教师展示“蝴蝶效应”小知识，让学生知道事物是普遍联系的，同时提出问题，引导学生思考同一个角的三角函数有没有关系.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
回顾：请根据三角函数的定义完成下列内容.
1.角是单位圆内的一个任意角，则：
； ；
2.诱导公式一：
；
； .其中，k∈Z.
3.三种三角函数的值在各象限的符号
答：1.角是单位圆内的一个任意角，则：y；x；
2.诱导公式一：；；.其中，k∈Z.
3.三种三角函数的值在各象限的符号
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
（二）探究新知
任务1：探究同一个角的三个三角函数之间的关系
探究：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢
思考：如图，设是一个任意角，的终边与单位圆O交于点P，你能否用含的三角函数值表示点P的坐标？
答：
思考：无论取何值，即无论点P在单位圆上处于何位置，OP长度恒为1，你能否用含的代数式表示这一关系？
答： ；
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
思考：基于你得出的结论，可以推出哪些常见的变形？
答：；；
；.
思考：任意角的、、这三者有什么关系？
答：；；
思考：这个商的关系对任意角都成立吗？
答:当时，有，这就是说，同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切.
思考：的常见变形有哪些呢？
答：.
思考：怎样理解“同角”？
答：角是相同的，与角的表达形式无关.如，.
提示：1.是的简写形式，与不同.
2.同角三角函数基本关系式是针对三角函数有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立.
总结：同角三角函数基本关系式的变形
设计意图：以单位圆为例，推导出同角三角函数基本关系式，进一步探究同角三角函数公式的变形使用，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 已知，是第三象限的角，求、.
解：由，是第三象限的角
得：
总结：①根据三角函数值在各象限中的符号判断正负
②代入平方关系式的变形公式进行计算
③代入商数关系式进行计算
例2已知，求、的值．
解：，所以是第三或第四象限角.
由得
.
如果是第三象限的角，那么＜0.于是，
从而
如果如果是第四象限的角，那么，.
总结：由某角的一个三角函数值求其它其余各三角函数值要注意：用或，要根据角所在的象限，恰当选定根号前面的正负号.
例3求证．
证法1：由，知，所以，于是
左边 右边．
所以，原式成立．
证法：因为，
且，，所以．
总结：证明简单的三角恒等式的常用策略：
1.从一边开始，证明它等于另一边；
2.证明左、右两边等于同一个式子；
3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
例4：已知，求.
解：因为，所以
总结：齐次式求值问题：
1.减少不同名的三角函数，或化切为弦，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同时除以，这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；
2.在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值.
设计意图：通过例题，熟悉同角三角函数基本关系式的运用.
（四）课堂练习
1.已知角是第四象限角，，则
A. B. C. D.
解：由为第四象限角，，
得．
故选B．
2.设角的终边过点，则的值是( )
A. B. C. D.
解：角的终边过点，
所以，则．故选D．
3.若，且为第三象限角，则的值为 ( )
A. B. C. D.
解：因为是第三象限角，且，所以，
又，联立解得，，
所以．故选B．
4.已知．
求的值．
求的值．
解：
．
5.已知，．
求的值；
求的值．
解：，，则，
式两边平方可得，
，
由求得，，
；
．
6.证明三角恒等式：
证明：左边右边，
故原式成立．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固同角三角函数基本关系式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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