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第五章 三角函数
5.3诱导公式
第2课时
1.借助单位圆的对称性，推导出正弦、余弦的第五、六组的诱导公式，培养数学抽象的核心素养；
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，提升数学运算的核心素养；
3.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题，强化逻辑推理的核心素养．
重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
（一）创设情境
回顾：关于的四组诱导公式
公式一：其中.
公式二：.
公式三：.
公式四：.
这四组公式是“不变名的诱导公式”，它们的记忆规律是：函数名不变，符号看象限.
回顾这四组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角终边关于坐标轴的对称性得到的，那么单位圆中是否还存在其他特殊的对称关系？今天我们对诱导公式继续进行探究.
设计意图：通过复习上一节学习的诱导公式，用类比的方法、联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
（二）探究新知
任务1：探究角α与角的三角函数值的关系
探究：如图所示，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1)，作点P1关于直线y=x的对称点P2(x2,y2).设以OP2为终边的角为β，
（1）P2(x2,y2)的坐标如何表示？
（2）角β，α的之间有什么关系
（3）角β，α的三角函数值之间有什么关系
答：P2(y1，x1)；Z；
因为点P2是点P1关于直线 y=x的对称点，所以x2=y1， y2=x1.根据三角函数的定义，得 sinα=y1， cosα=x1，所以:
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
设计意图：“任务1”与第一课时的“探究1”一脉相承，研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线y=x，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个攻破，经历推导公式的过程，培养了学生的化归思想．
总结
公式五：
思考：诱导公式五有什么特点，如何记忆？
答：左右两边是异名的三角函数，右边的符号由是第一象限角来确定.
任务2：探究角α与角的三角函数值的关系
探究：如图，作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
如果我们在先将点关于直线y=x对称得到点后，再将点关于y轴对称得点，则以为终边的角为γ的三角函数与角α的三角函数又有什么关系？
答：Z，不妨取
(y1，x1)
有 ，
思考：如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，把OP1逆时针旋转交单位圆于点P3.
思考： 设以OP3为终边的角为β，角β，α的三角函数值之间有什么关系
答：设P1(x1,y1)， P3(x2,y2)，因为把OP1逆时针旋转交单位圆于点，所以，由相似可知x2=-y1， y2=x1.
根据三角函数的定义，得sinα=-y1， cosα=x1，
故 ，
总结：
公式六：；.
思考：诱导公式六有什么特点，如何记忆？
左右两边是异名的三角函数，右边的符号由是第一象限角来确定.
师生活动： 先由学生根据已有的经验，画出图形，得出两个角的终边与单位圆交点坐标之间的关系，从而得到公式．
设计意图： “任务2”与前面探究相比，采用的研究方法一样，通过引导学生进行更进一步的探索，任务1中对P1作了一次对称变换，对于任务2可以通过对P1作两次变换解决．通过对比感受数学的简洁美．
思考：你能用代数代换的角度，用前面的公式直接推导出公式六吗？
总结：
公式五：
公式六：；.
公式五和公式六可概括为：函数名改变，符号看象限.
总结：
公式一：其中
公式二：.
公式三：.
公式四：.
公式五：
公式六：；.
思考：1.说说诱导公式有怎样的结构？
公式一——公式四是同名函数间的变换，其中的两个角的终边或重合，或关于原点、坐标轴对称；
公式五——公式六是正余弦函数间的互变，其中的两个角的终边或关于直线y=x对称，或旋转了90 .
2.说说你想如何记忆这些公式？
方法一：图形记忆
方法二：奇变偶不变，符号看象限
将α角看成一个锐角，涉及到π的整数倍（的偶数倍）时，函数名不变，涉及到的奇数倍（比如1倍）时，函数名互变，后面的符号由前面函数的正负来确定.
（三）应用举例
例1 (1)sin()=; (2)cos()=.
证明：(1)sin()=sin[π+()]
(2)cos()=cos[π+()]= cos()=sinα.
例2 化简.
解：原式=
总结：用诱导公式进行化简的注意点：
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
(3)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
(4)常见的互余的角：与，与等，常见的互补的角：与，与，与等.
例3 已知
分析：联系条件与结论，注意到，由此可利用诱导公式解决问题．
解：因为，所以由诱导公式五，得
因为，所以,
由得.
所以,
所以.
师生活动 由学生独立完成，再让学生展示解答过程．
对于例3，在学生展示解答过程时，要让学生说说思考步骤．要强调在利用诱导公式解决问题时，注意三角函数恒等变形与代数恒等变形的差异，即三角恒等变形不仅仅是对三角函数式进行改变，角之间的特殊关系也是变形的重要关注点，角的特殊关系表现在它们的和、差是特殊角上．
总结：利用诱导公式进行化简求值的方法：
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数的种类最少.
(2)对于和这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.
(3)诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.
例4已知角的终边与单位圆交于点，且为第二象限角.试求 的值.
解：由题意知,解得.
因为为第二象限角，所以,所以,
所以.
原式=.
设计意图： 完成例题的过程中，进一步理解诱导公式，并会运用诱导公式解决问题．
（四）课堂练习
1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
解：，
，
．
故选：．
2.已知，且，则 ．
解： ，
由 ，故 ，故 ，
即 ．
故答案为： ．
3.已知．
化简；
若，求的值．
解：；
．
4.已知，为第四象限角，求；
证明诱导公式：；；
求的值．
解：，为第四象限角，故可得为第一象限角，
故可得
，
；
证明：因为，
，
故可证得；，
解：
．
5.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值；
若，求值
解：由题意知，
；
原式，
又，
原式．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固诱导公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第五章 三角函数
5.3诱导公式
第1课时
1.从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，能推导正弦、余弦、正切，发展直观想象、逻辑推理素养；
2.通过类比公式二的推导过程，能自主探究，的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四，获得基本思想，积累基本活动经验；
3.通过建立公式一~四之间的联系，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一~四进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养.
重点：诱导公式的探究与运用。
难点：的诱导公式的推导及运用．
（一）回顾旧知，导入新课
回顾：前面学习的诱导公式（一）的内容是什么？它的本质是什么？有什么作用？
答：，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
本质：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
用途：把任意角的三角函数值，转化为0~2π上角的三角函数值.
思考：我们是如何研究出这些公式的呢？
情境：对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中、、等角的终边与角的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？
前面利用圆的几何性质，还得到了同角三角函数之间的基本关系，我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质，由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.
那么除了公式一，我们还可以利用圆的几何性质来推导出三角函数的哪些公式呢？
师生活动：教师带领学生回顾上节课的知识，提出问题，引导学生思考并引入本节课学习内容.
设计意图：通过回顾上节课的知识内容，提出问题，帮助学生巩固之前学过的知识，加强记忆，为学习新的内容打下坚实的基础，实现新旧知识的有效衔接，促进知识的迁移；同时借助生活中的建筑和自然界的枫叶对称性来让学生将知识与现实生活进行联系.
（二）探究新知
任务一：探究角与的三角函数值间的关系
探究：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点
作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？
角的三角函数值之间有什么关系？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：，其中k∈Z.
；；
思考：角的终边与角的终边有什么关系？
答：终边关于原点对称.
提示：角还可看作是角的终边按逆时针旋转角得到.
思考：设角的终边与单位圆相交于点，那么角与角的三角函数有什么关系呢？
答：设.因为是点关于原点的对称点.所以，.
根据三角函数的定义，得：
，，，
，，，
所以可得公式二：，，.
任务二：探究角与的三角函数值间的关系
探究：如果作关于x轴的对称点，以为终边的角与角的三角函数值有什么关系？
答：此时我们易得：，
根据三角函数的定义，得：，，，
，，，
所以可得公式三：
，，.
任务三：探究角与的三角函数值间的关系
探究：作关于y轴的对称点，以为终边的角与角三角函数有什么关系？
答：易得：，
根据三角函数的定义，得：
，，，
，，，
所以可得公式四：，，.
探究：你能用公式二和公式三推导出公式四吗？
答：，
，
.
总结：
公式一：，，.大化小，负化正
公式二：，，.大化小，锐角
公式三：，，.负化正
公式四：，，.大化小，锐角
讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括
答：函数名不变，符号看象限
①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号.如，把看成锐角，则在第三象限，所以取负值，故.
设计意图：利用单位圆的性质，推导公式二、三、四，，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）；（2）；（3）； （4）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
思考：由例 1，你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识 你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗
答：利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
例2：若，，求.
解：因为根据条件得：，
又，所以.
所以.
总结：已知三角函数值求相关角的三角函数值
1.先利用诱导公式化简；
2.再根据题目条件求相关的三角函数值；
3.再利用对应的诱导公式求值.
例3 化简.
解：
所以，原式
总结：利用诱导公式化简的一般思路：
切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.
设计意图：通过例题，让学生掌握公式二、三、四的运用.
（四）课堂练习
1.( )
A. B. C. D.
解：．
故选：.
2.( )
A. B. C. D.
解：
．
故选：．
3.化简：( )
A. B. C. D.
解：
，
因为，
所以原式．
故选：
4.求证：．
证明：左边
右边，
所以原等式成立．
故．
5.解答下列问题：
已知角是第三象限角，且．
化简；
若，求的值；
若，求的值．
解：．
，
，
是第三象限角，
，
．
，
，

设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固二、三、四，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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