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第五章 三角函数
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1.通过绘制正弦函数图象的学习活动，会用描点法绘制正弦函数图象，会用“五点法”绘制正弦函数图象的简图；
2.经历绘制余弦函数图象的过程,体会其中运用的图象变换的思想，领悟函数之间的内在联系；
3.通过绘制函数图象的学习活动，体会数形结合思想方法，提升数学抽象、直观想象的核心素养与合作探究学习的能力
重点：正弦函数、余弦函数的图象.
难点：如何得到正弦函数的的图象．
（一）创设情境
复习回顾：
三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题
定义——图象——性质
三角函数的图象
绘制函数图象的基本步骤有哪些？
列表——描点——连线
设计意图：通过复习旧知，用类比的方法、联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）探究新知
任务1：探索函数的图象
思考：1.如何利用描点法作出正弦函数的图象？
师生活动：学生利用列表、描点、连线的方法尝试画图，但在描点时会遇到一定的困难，在正弦函数中，无论是角还是函数值，都含有大量无理数，作图过程中误差较大。
思考：2.在直角坐标系中如何作点（）？
师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定，对应的几何量．
思考：3.在直角坐标系中如何作点（）？
师生活动：学生思考后，教师利用课件绘制这个点．
设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．
探究：在直角坐标系中如何作出函数的图象？
把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使的值分别为0，，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
事实上，利用信息技术，可使在区间[0，2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T（），将这些点用光滑的曲线连接起来，可得的比较精确的函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象.
设计意图：从图象到点、从点到点坐标的确定，利用定义实现画出正弦函数图象上任意一点，从而得到函数的图象，说明了正弦函数的定义在函数图象的构造和认识过程中有着重要的作用. 画出任意点T（） ，经历学生实践操作、教师演示，让学生在动手操作的过程中思考和理解，从而突破教学难点.
任务2：探索函数y=sin x，x∈R的图象
探究：根据的图象，请你结合已学知识尝试画出y=sin x，x∈R的图象.
由诱导公式一可知，函数y=sin x，且的图象与的图象完全一致，因此将的图象不断向左、右平移（每次平移个单位长度），就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象.
设计意图：利用三角函数周而复始的特性和诱导公式，分别从几何与代数两个角度理解函数y=sin x，x∈R的图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 借助诱导公式说明函数的图象与函数的图象形状完全一致. 同时，表明函数图象可以通过平移变换得到，为后面画出余弦函数的图象作铺垫.
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察可得，在，∈［0,2π］的图象上，有以下五个点决定正弦函数的图象：
教师评价学生回答并总结五个关键点即为最高点、最低点和与x轴的3个交点，从而引出正弦函数作图方法——“五点法”.
师生活动：教师在黑板上作出，∈［0,2π］的图象，并强调“五点法”作图注意事项，包括五点将区间等分4份、图象光滑连接.学生跟着老师一起作图，初步掌握在∈［0,2π］的绘制方法.
任务3. 探索函数y=cos x，x∈R的图象.
探究：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？
对于函数，由诱导公式 得，∈R.而函数∈R的图象可以通过正弦函数，∈R的图象向左平
移个单位长度而得到．所以，余弦函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度得到.
设计意图：通过对正弦函数图象，推导出余弦函数图象的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.
思考：类比五点法绘制正弦函数图象，在确定余弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察可得，在，∈［0,2π］的图象上，有以下五个点决定正弦函数的图象：
设计意图:观察余弦函数图象特征，学生自主类比五点法绘制正弦函数图象方法，利用五点法绘制余弦函数图象．
正弦曲线：
余弦曲线：
形状完全一样，只是位置不同.
（三）应用举例
例1 (多选)对于余弦函数y＝cosx的图象，下列描述中正确的是(　　)
A.将区间[0,2π]内的图象向左、向右无限延展
B.与y＝sinx的图象形状完全一样，只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
解：对于A，余弦函数y＝cosx的图象，是将[0,2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A错误；
对于B，正弦函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，会与y＝cosx的图象重合，故B正确；
对于C，当x＝kπ＋(k∈Z)时，y＝cosx＝0，故余弦函数y＝cosx的图象与x轴有无数个交点，故C正确；
对于D，易知y＝cosx的图象关于y轴对称，故D正确．故选BCD.
设计意图：加深学生对正弦函数、余弦函数的图象的理解，突出重点.
例2画出下列函数的简图
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；
(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．
解：（1）按五个关键点列表：
x 0
sinx 0 1 0 1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）：
图4
（2）按五个关键点列表：
x 0
cosx 1 0 1 0 1
-cosx 1 0 1 0 1
图5
师生活动：学生独立完成，然后就解题思路和结果进行交流展示.
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．
总结：描点法画正弦、余弦函数图象的关键
（1）列表时，自变量x的数值要适当选取；
（2）在函数定义域内取值；
（3）按由小到大的顺序取值；
（4）取的个数应分布均匀；
（5）应注意图形中的特殊点（如：端点、交点、顶点）；
（6）尽量取特殊角.
例3 用五点法画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时，下列点中不是关键点的为（ ）
A. B. C. D.
解：五点法画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时，五个关键点为(0,0)，，，，
所以不是关键点.
故选A.
设计意图：巩固学生对“五点法”作图的理解.
例4解不等式.
解：如图：
所以原不等式的解集为.
总结：用三角函数图象解三角不等式的步骤：
1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
2.写出不等式在区间[0,2π]上的解集；
3.根据诱导公式写出定义域内的解集.
设计意图：在掌握绘制正弦函数与余弦函数图象的基础上，灵活运用数形结合方法求解未知参数，考查学生的融会贯通情况和综合素养.
（四）课堂练习
1.当时，曲线与直线的交点个数为( )
A. B. C. D.
解：作出时，曲线与直线的图象，
如图所示：
由图象可知，在时，曲线与直线的交点个数为．
故选A．
2.下列在上的区间能使成立的是( )
A. B. C. D.
解：由题意作出和在上的图象，
由图像可知满足，
可得，
故选AC．
3.函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
解：，，
即
作出函数和函数的图象，如图所示．
因为函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是，故答案为．
4.用“五点法”画函数的简图．
解：
列表
如图所示，描点并将它们用光滑的曲线连接起来
5.想一想函数与的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验．
解：因为
所以保留函数的图象在轴上方及其上的点，
再把函数的图象在轴下方的点关于轴对称到其上方，
得函数的图象．
作函数图中虚线与图中实线的图象如下：

设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固正弦函数、余弦函数的图象，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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