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第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时
1.能够利用推导出倍角公式，培养逻辑推理的核心素养；
2.能够正确理解“倍”的含义，增强对换元思想的应用能力，培养数学抽象的核心素养；
3.能够利用倍角公式解决数学问题，培养数学运算的核心素养.
重点：能够通过所学知识推导出倍角公式，正确理解“倍”的含义.
难点：能够利用倍角公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.
（一）创设情境
情境：在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，显示出简洁、奇峻之美．三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？让我们一起进入今天的学习：二倍角的正弦、余弦、正切公式！
师生活动：教师给出两张图片，一张是广袤无垠的大草原，一张是草原中一朵含苞待放的小白花，带领学生从生活实际出发，感受一般性与特殊性的区别与联系，从而感受三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式之间的联系，引出本节课的内容.
设计意图：将生活实际与数学知识相关联，增强学生的学习兴趣，提升学生对二倍角公式的理解，培养学生逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
探究：我们前面以公式为基础，已经得到了六个和(差)角公式.接下来，我们需要利用推导出倍角公式，然后进行解题.
(1)：；
(2)：；
(3)：；
(4)：；
(5)：．
(6)：．
你能利用上面的公式推导出、、吗？
思考：你能利用推导出的公式吗？
提示：可以使用换元法，将换为．
答：已知：，将换为后，得到，整理得．
思考：你能利用推导出的公式吗？
答：已知：，将换为后，得到，整理得．
思考：你能利用推导出的公式吗？
答：已知：，将换为后，得到，整理得．
设计意图：利用之前所学的和角公式，应用换元的方法进行推导，提升学生对换元思想的理解和应用能力，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
探究：你可以使二倍角的余弦公式中仅含的正弦或余弦吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：(1)要使二倍角的余弦公式中仅含有的正弦，根据同角三角函数的基本关系得到，将其代入到中，得到，整理得．
(2)要使二倍角的余弦公式中仅含有的余弦，根据同角三角函数的基本关系得到，将其代入到中，得到，整理得．
师生活动：教师引导学生思考仅含的正弦或余弦的二倍角的余弦公式，同学之间进行小组合作并回答问题，教师最后给出总结，同时根据实际情况进行针对性的解答.
设计意图：小组之间合作解决问题，增强学生的合作探究能力.教师给出总结，帮助学生进一步加深对二倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养.
总结：二倍角公式
，
，
．
提示：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
师生活动：教师带领学生回顾之前所学的六个和(差)角公式，借助两角和的正弦、余弦、正切公式，教师带领学生使用换元法推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
任务2：归纳总结和(差)角公式与倍角公式之间紧密的逻辑联系．
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，你能总结出来吗？
答：单位圆 两角差的余弦公式
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联倍角公式可以通过和角公式推导出来，是两角相等的特殊情形，和(差)角公式用于处理两个角的和或差，而倍角公式则用于处理一个角的两倍．两者在处理角的问题时互为补充，使三角函数的运算更加灵活多样．
师生活动：教师通过问答的方式，通过总结所学内容之间的关系，帮助学生理解和(差)角公式和倍角公式之间的逻辑联系，逐步完成这部分的教学.
设计意图：对和(差)角公式和倍角公式进行综合整理，探寻其间的逻辑联系，使知识点之间融会贯通，加深了学生对倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知，，求，，的值．
解：由，得.又，所以.于是；；.
总结：我们在解答二倍角的相关问题时，首先要理解“倍”的含义．“倍”是描述两个数量之间关系的，例如是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想．以例1为例，，，中的便是的二倍，我们就可以使用倍角公式进行解答．
例2：在△ABC中，，，求的值．
各抒己见：与A，B之间能构成怎样的关系？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：我们可以把，分别看作，的倍角，然后把看作与的和角．也可以把看作+的倍角．这两种方法分别体现了与，之间不同的内在联系．
解法1：在△ABC中，，由，得，所以，．又，所以．于是．
解法2：在△ABC中，，，得，所以．又，所以，所以．
总结：二倍角公式的变换：
(1)因式分解变换：；
(2)降幂公式(降幂扩角变换)：，；
(3)升幂公式(升幂缩角变换)：，.
例3：(多选)下列各式的值为的是( )．
A. B. C. D.
解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．故选：BD．
总结：公式的逆用及拓展：
，，；
；
，．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )．
A. B. C. D.
解：根据任意角的三角函数的定义，可得，，，，，故选：D．
2.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则( )．
A. B. C. 7 D.
解：由于直线经过第二、第四象限，故角的终边在第二、或第四象限，①若角的终边在第二象限，在角的终边上任意取一点，则由任意角的三角函数的定义，可得；②若角的终边在第四象限，在角的终边上任意取一点，则由任意角的三角函数的定义，可得，于是，故．故选：C．
3.已知角终边上一点M的坐标为，则( )．
A. B. C. D.
解：因为角终边上一点M的坐标为，所以，，．则．故选D．
4.已知点是角的终边上一点，则( )．
A. B. C. D. 3
解：因点是角的终边上一点，则，而，于是得，解得或，显然，，即，，所以．故选A．
5.已知锐角的终边上一点，则锐角( )．
A. B. C. D.
解：锐角的终边上一点，，终边上一点在第一象限，，为锐角，，故答案选：C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1．理解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式的内容；
2．能够运用两角差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明；
3．引导学生运用多种方法推导公式，培养学生的创新意识和探索精神，通过对公式的推导，培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力和解决问题能力；
4．在公式运用过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法．
重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握两角差的余弦公式的内容及应用.
难点：掌握数形结合的学习方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升直观想象与数学运算的核心素养.
（一）创设情境
公式一：
公式二：.
公式三：．
公式四：．
公式五：．
公式六：．
观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的差的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？
师生活动：教师带领学生观察诱导公式，引导学生思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课内容，方便学生理解.
设计意图：通过诱导公式思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力和逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：探究与角，的余弦之间的关系．
思考1：当Z时，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，请问这三个点的坐标是什么呢？
答：.
思考2：连接，AP，你能表示出这两条线段的长度吗？他们的长度之间有什么大小关系呢？
提示：两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式．
圆的旋转对称性：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫作圆的旋转对称性．
答：根据两点间的距离公式可知：.
若把扇形OAP 绕着点O 旋转角，则点 A，P分别与点重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以 =
师生活动：首先，教师借助单位圆作角，，，然后，引入两点间的距离公式和圆的旋转对称性，通过问答的方式引导学生思考，逐步完成这部分的教学.
设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观地理解这部分内容.在作图的过程中，培养学生直观想象的核心素养.通过两点间的距离公式计算出和AP的长度，培养学生数学运算的核心素养.通过圆的旋转对称性推导出，AP的长度大小关系，培养学生逻辑推理的核心素养.
思考3：你能总结出与角，的余弦之间的关系吗？
答：当Z时，
．
又已知，
所以，
化简得，.
当Z时，上式显然成立，
所以对于任意角，有.
师生活动：教师带领学生计算当时，与角，的余弦之间的关系，分Z与Z两种情况进行讨论，最后得出结论.
设计意图：通过计算当时，与角的余弦之间的关系，培养学生数学运算的核心素养.最后由学生自己总结出最终结论，加深学生对本节内容的理解.
总结：差角的余弦公式：
对于任意角有．此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．
公式特征：
(1)公式中的，是任意角；
(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
(3)公式两边符号相反．
（三）应用举例
例1：利用公式证明：(1)；(2)．
证明：(1)．
(2)．
总结：在利用公式进行证明或计算时，关键是牢记差角的余弦公式：．记忆规律为“余余正正，符号相反”．“余余正正”表示展开的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反.
例2：已知是第三象限角，求的值.
解：由，得
又由是第三象限角，得
，
求得
总结：解决此类问题的方法步骤：
第一步，确定解题依据的是哪个公式(本节用到的都是两角差的余弦公式)；
第二步，牢记公式内容，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；
第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题.
例3：已知则的值可能为 ( )
A. B. C. D.
解：当时，当时，故答案为BC.
例4：已知，且，，求的值．
解：因为，所以，
由，得，
又，所以，
所以
．
总结：两角差的余弦公式常见题型及解法：
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；
(2)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算；
(3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换．
常见角的变换有：
①；
②；
③；
④．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知，是第二象限角，则的值为( )
A. B. C. D.
解：因为是第二象限角，所以．故选B．
2.化简的结果为( )
A. B. C. D.
解：原式．故选D．
3.在平面直角坐标系中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为( )
A. B. C. D.
解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为，横坐标是，故点A的纵坐标为将点A绕原点顺时针旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为则点B的横坐标为故选B．
4.化简 .
解：原式．故答案为0．
5. .
解：故答案为.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时
1.能够借助两角差的余弦公式，选择合适的方法推导两角和的余弦公式，增强问题解决能力；
2.可以通过诱导公式五、六推导出两角和与差的正弦公式，使知识融会贯通，培养逻辑推理的核心素养；
3.可以通过运算得出两角和与差的正切公式，培养数学运算的核心素养；
4.能够总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系，培养数学抽象的核心素养．
重点：能够通过所学知识推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系.
难点：能够使用两角和与差的正弦、余弦和正切公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.
（一）创设情境
我们前面学习了诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式.
诱导公式五：，．
诱导公式六：，．
两角差的余弦公式：对于任意角有．
由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
师生活动：教师带领学生回顾之前所学内容，通过诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式引出本节课的内容.
设计意图：通过诱导公式五、六以及两角差的余弦公式的复习，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力，培养费学生逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：推导两角和的余弦公式．
思考1：比较与，你能通过与之间的联系来推导两角和的余弦公式吗？
提示：．
.
答：两角和的余弦公式：.简记作．
思考2：前面用到的是加法和减法的联系，你还能用换元的观点来推导两角和的余弦公式吗？
提示：由于公式对于任意都成立，那么把其中的换成后，也一定成立．由此也可推得公式．
答：因为对于任意都成立，
所以把其中的换成后，公式也一定成立．
所以，
推导出了．
师生活动：借助两角差的余弦公式，教师带领学生使用加法和减法的联系推导出两角和的余弦公式，同时引导学生思考使用其他的方法进行推导，逐步完成这部分的教学.
设计意图：利用之前所学的两角差的余弦公式，选择合适的方法进行推导，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
任务2：推导两角和与差的正弦公式．
思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式，你能推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？
提示：比较与，与，它们包含的角相同，但函数种类不同．我们可以使用正弦、余弦函数互化的诱导公式进行推导．
答：由诱导公式五得：．
由诱导公式六得：．
师生活动：教师通过问答的方式，借助正弦、余弦函数互化的诱导公式，带领学生一起推导出两角和与差的正弦公式，逐步完成这部分的教学.
设计意图：通过观察与，与，思考使用合适的方法推导两角和与差的正弦公式，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
任务3：推导两角和与差的正切公式．
思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式及正弦公式，你能推导出用任意角的正切表示的公式吗？
提示：根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系进行推导即可．
回答：．
接下来将转化为只含与的形式，得到用任意角的正切表示
说一说：如何将 转化为只含与的形式呢？
合作探究：
1.先独立思考，然后小组内交流思路；
2.小组合作完成探究；
3.选派代表并汇报得出结论.
答：将上式的分子、分母同时除以，可得
同理，
总结：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
：；
：．
：；
：．
： ；
：．
和角公式：、、．
差角公式：、、．
师生活动：教师借助两角和与差的余弦公式及正弦公式，通过同角三角函数的基本关系，带领学生推导出两角和与差的正切公式.在这个过程中，要求学生针对难点进行小组讨论，合作完成这部分的学习.
设计意图：能够使用已知的知识点推导未知的内容，选择合适的方法是关键，学生能够在教师的带领下，使用同角三角函数的基本关系进行推导，增强了问题解决能力.在实际运算过程中，思考如何将转化为只含与的形式是难点，学生之间进行小组讨论，增强了合作探究的能力，培养了学生数学运算的核心素养.
任务4：探究和(差)角公式与诱导公式的联系．
探究：和(差)角公式中，都是任意角，如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？
合作探究：
1.先独立思考，然后小组内交流思路；
2.小组合作完成探究；
3.选派代表并汇报得出结论.
回答：
（注意符号，牢记公式.）
师生活动：教师通过问答的方式，引导学生思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系.学生进行小组讨论，得出答案.最后教师提出倍角公式，为下节课的学习埋下伏笔.
设计意图：学生之间进行小组合作，思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系，使知识点之间融会贯通，培养了逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知，是第四象限角，求，，的值．
解：由，是第四象限角，得，
所以．
于是
．
总结：1.在解题过程中，需要注意的限制条件．以例1为例，若不加是第四象限角这个条件，结果将有所不同．由，知是第三或第四象限角．若是第四象限角，解答同例1．若是第三象限角，则．，然后再代入公式进行求解．，，．
2.对于任意角，都有．
可以由得，
由得；
所以，．
探究：你还有其他的方法证明吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
提示：当两个角的和或差是的整数倍时，可以考虑使用诱导公式．
因为+，所以，
由诱导公式五可知，
证得．
例2：利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
解：(1)由公式，得
(2)由公式，得
(3)由公式及，得
总结：公式的逆用或变形应用：，，
，
例3：求下列各式的值
(1)；
(2)．
解：(1)原式
(2)原式 ．
总结：给角求值类问题的解法规律：恰当地应用诱导公式，合理地进行角的变换，应用和(差)角公式，使其转化为特殊角的三角函数值的问题求解．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
解：因为，所以，所以，所以．故选：D．
2.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．经研究，黄金分割比还可以表示成，则( )．
A. 4 B.2 C. 1 D.
解：由于，则故选：C．
3. ．
解：
．故答案为：．
4. ．
解：，，而，，而 ，，．故答案为2．
5. ．
解：故答案为.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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