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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法、向量的模和方向；
2.理解并掌握空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘运算；
3.理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理.
重点：空间向量的线性运算．
难点：空间向量共线的判断及其应用．
（一）创设情境
思考：滑翔伞运动是一项极具观赏性、 竞技性、 娱乐性和刺激性， 而且是一种休闲娱乐型比赛项目， 它风靡了世界各地.在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内.
联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
师生活动：教师展示生活中与空间向量有关的实例， 然后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究空间向量的概念
探究1：平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？
平面向量 空间向量
概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量.
表示 有向线段 字母，， … 坐标表示： 有向线段， 字母，， … 坐标表示：
答：空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
长度（模）：向量的大小，记作或.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：学生通过回忆平面向量的知识，将知识迁移到空间向量中，同时让学生思考完成相关问题，让学生加深对空间向量概念的理解与运用.
探究2：在学习平面向量时，还学习了一些相关的概念，你还记得有哪些吗？空间向量中这些概念适用吗？
平面向量 空间向量
零向量 长度为的向量，记作，的方向是任意的.
单位向量 模为的向量
相等向量 模相等，方向相同的向量，记作
相反向量 模相等，方向相反的向量，记作
共线向量 方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量）， 记作： 零向量与任意向量共线. 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作： 规定：零向量与任意向量共线.
概念的本质是一样的.
思考1：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？
答：如图，已知空间向量，
以任意点为起点，作，，
我们就可以把它们平移到同一个平面内.
这样就使得空间向量问题可以转变成平面向量解决.
这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：
；
；
当时，；
当时，；
当时，.
追问：向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
答：无关.
思考2：空间向量与平面向量是否也有相同的运算率？
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中，）
交换律：；
结合律：；；
分配率：；
【合作探究】
1.你能证明这些运算律吗？
2.证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
3.先独立思考，再组内交流，并选派代表全班展示.
答：空间向量的加法结合律：
证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：学生通过思考探究，掌握空间向量的运算律.
探究3：如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
【合作探究】先独立思考，再小组内交流思路.
答：
三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.
利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
任务3：共线向量及共面向量的充要条件
探究1：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
答：空间共线向量定理：对任意两个空间向量，()，的充要条件是存在实数，使.
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，存在实数，使得.
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.
这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量
(2)一条直线的所有方向向量都互相平行
探究2：空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
答：既可能共面，也可能不共面
思考：对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理，平面内的任意一向量可以写成，其中唯一确定.
对两个不共线的空间向量，，若，则向量与向量，有什么位置关系？
答：，分别与，共线，
，都在，确定的平面内.
并且此平行四边形在，确定的平面内，
在，确定的平面内，即与，共面.
反过来，向量与向量，有什么位置关系时，？
如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有.
共面向量定理：对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量，共面充要条件是存在唯一的有序数对，使.（该定理实际上就是平面向量基本定理）
推论1 空间一点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数对，使. .
推论2 对于不共线的三点，，和平面外一点，空间一点在平面内的充要条件是，且.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：让学生理解掌握共线向量、共面向量的充要条件.
（三）应用举例
例1如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使求证：，，，四点共面．
分析：欲证、、、四点共面，只需证明向量、、共面.而由已知的、、共面，可以利用向量运算、、共面的表达式推得、、共面的表达式.
证明：因为，
所以，，，．
因为四边形是平行四边形，所以．
因此
．
由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，从而，，，四点共面．
例2：如图，在四面体中，，分别是，的重心，设，，，点，，分别为，，的中点．
试用向量，，表示向量，；
试用空间向量的方法证明四点共面．
解：点，，分别为，，的中点，
，．
，是的重心，
，
．
是的重心，
，
．
，
．
四点共面．
【总结】
，，三点共线的充要条件：
与，共线
，，：
，，
设计意图：通过例题，帮助学生更好的理解运用空间向量共线的概念，并熟悉空间中四点共面的证明方法．
（四）课堂练习
1.在四面体中，记，，，点在上，且满足，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
解：如图，连接，
是的中点，，，，
．
故选：D．
2.在四面体中，空间的一个点满足 ，若四点共面，则等于( )
A. B. C. D.
解：因为四点共面，，
所以，解得．
故选：B．
3.在下列条件中，使与，，一定共面的是其中为坐标原点( )
A. B.
C. D.
解：空间向量共面定理：，若不共线，且共面，其充要条件是．
对A，因为，所以四点不共面；
对B，因为，所以四点不共面；
对C，由可得，
因为，所以四点不共面；
对D，由可得，
即，因为，所以四点共面．
故选：D．
4.如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量：
Ⅰ；
Ⅱ．
Ⅲ
解：Ⅰ是的中点，
．
Ⅱ是的中点，
．
Ⅲ是的中点，
，
又，
c．
5.如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且若，，，四点共面，求的值．
解：如图，连接，
，，．
，．
，，．
又，．
，，
又，．
，，，四点共面，，解得．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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