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第一章 空间向量与立体几何
1.1.2空间向量的数量积
1.掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
重点：空间向量的数量积运算.
难点：利用空间向量解决夹角、距离等问题．
（一）创设情境
1.空间中共线向量的定理是什么？
对任意两个空间向量与，的充要条件是存在实数，使.
2.共面向量基本定理是什么？
对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量，共面充要条件是存在唯一的有序数对，使.
3.四点共面的充要条件是什么？
与，， 共面，()
我们知道平面向量及其线性运算可以推广到空间向量及其线性运算，那么空间向量的数量积是否也可以类比平面向量得出呢？
想一想：回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？
在平面向量中，先研究夹角的定义，数量积的定义、运算律，最后数量积的应用.
我们是不是也可以按照此思路来研究空间向量的数量积呢？
师生活动：教师提出问题，让学生思考回答，引导学生类比研究平面向量数量积的思路思考空间向量的数量积.
设计意图：通过复习空间向量的基本定理，类比平面向量的线性运算，自然引申出本节课的教学重点——空间向量的数量积运算.
（二）探究新知
任务1：空间向量的数量积.
探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量， ，它们的夹角是如何定义的？范围呢？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
已知两个非零向量， ，在空间任取一点，作，，则叫做向量， 的夹角，记作.
规定：≤≤.
这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
思考:当两个向量平行或垂直时，它们的夹角是多少？
（1）当时， 与 同向， ∥ ；
（2）当时， 与 反向， ∥ ；
（3）当时，我们说 与 垂直，记作 .
设计意图：通过类比平面向量的夹角定义，得到空间两向量的夹角公式，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量夹角的定义，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
探究：空间中，两个非零向量， ，它们的数量积是如何定义的？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，
即
规定：零向量与任一向量的数量积为，即；
注意：数量积运算中间是“”，不能写成“”，也不能省略不写.
思考：根据空间向量数量积的定义，你能得出哪些性质呢？
设两个非零向量 与 ，它们的夹角为，由向量数量积定义 可得如下的性质
①；证明垂直
②,则有；求长度
③；求夹角
设计意图：通过类比平面向量，得到空间两向量的数量积定义及性质，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量的数量积定义及性质，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
任务2：空间向量的投影
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间中，向量向向量的投影有什么意义？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
如图，在空间，向量向向量的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，且
向量称为向量 在向量上的投影向量.
追问：向量向直线的投影呢？
类似地，如图 ，在空间，向量向直线的投影，由于向量是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线共线的向量，且 （为直线的共线向量，且）
向量称为向量在直线的投影.
追问：向量 向平面的投影呢？
向量向平面的投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量.
这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
设计意图：通过图形的辅助讲解空间向量的投影向量，使抽象的数学知识变得形象生动、易于理解，同时也培养学生数形结合的数学思想.
任务3：空间向量数量积运算的运算律
思考：类比平面向量，空间向量的数量积运算的运算律是怎样的呢？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
对于空间向量，，和实数，有
交换律：；
结合律：；
分配律： ；
向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式均成立.
完全平方公式：；
平方差公式：.
任务4：空间向量的数量积与数的乘法
思考1：对于三个均不为的数，，，若，则.对于向量，，，由，你能得到吗 如果不能，请举出反例.
答：不能；
；
；
；
但
思考2：对于三个均不为的数，，，若，则(或).对于向量，，若 ，能不能写成(或 )的形式？
答：不能，向量没有除法运算，向量的除法没有意义.
思考3：对于三个均不为的数，，，有.对于向量，，，( ( 成立吗 为什么？
答：
( ( ( (
设计意图：通过类比平面向量的数量积运算，学习与认识空间向量的数量积运算，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量数量积的运算律及与数的乘法，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养．
（三）应用举例
例1 如图，在平行六面体中，
求：(1)；
(2)的长(精确到 0.1)
分析：(1)根据 计算即可；
(2)利用进行计算即可.
解：(1)∵
∴
(2)∵
∴
【总结】利用空间向量求线段的长度或两点的距离：
(1)结合图形将所求线段用向量表示；
(2)用已知模和夹角的向量表示该向量；
(3)利用，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离．
例2 如图，是平面内的两条相交直线，直线与的交点为，且，，求证：.
分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意内的任意一条直线(直线与平面垂直的定义).如果我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题.
证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，.
因为直线与相交，所以向量，不平行.由向量共面的
充要条件可知，存在唯一的有序买数对()，使.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得lln.
因为，，所以.所以.
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以.
【总结】利用数量积证明垂直问题：
(1)将所证明垂直的线段设为向量；
(2)用已知向量表示未知向量；
(3)利用数量积运算完成判定．
例3如图，在平行六面体中，，，，．
(1)用向量，，表示向量，并求
(2)求．
分析：(1)根据空间向量的线性运算，得到 ，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；
(2)由空间向量的运算法则，得到 ，结合向量的夹角公式求解即可．
解：(1)根据空间向量的线性运算，可得 ，
可得
，
所以 ．
(2)由空间向量的运算法则，可得 ，
因为 且 ，
所以
．
，
则
【总结】利用数量积求夹角的余弦值：
(1)取向量：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
(2)角转化：把异面直线夹角的问题转化为向量夹角问题；
(3)求余弦值：利用数量积求余弦值或角的大小；
(4)定结果：异面直线的夹角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小.
设计意图：通过例题，熟悉利用空间向量的数量积解决求向量的夹角、线段的长度和垂直等问题，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.在空间四边形中，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
解：在空间四边形中，因为，，
设，且
则，
则，
所以在上的投影向量为．
故选B．
2.如图，在平行六面体中，，，则的长为( )
A. B. C. D.
解： 因为为平行六面体，
所以，
又，且
所以，，
所以
，
所以．
故选B．
3.由四个棱长为的正方体组合成的正四棱柱如图所示，点是正方形的中心，则
A. B. C. D.
解：如图，
易知 ，，
由四棱柱的性质得，，
所以
．
故选：
4.如图，在平行六面体中，，．
求的长
求证：．
解：设，，，则因为，，
所以，，所以，故．
证明：由可知，所以，即．
5.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，，
用表示；
求对角线的长；
求
解：连接，，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：，
底面是平行四边形，，
且，
，
又为线段中点，
，
在中；
顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，
，
由可知，
平行四边形中，故：，
，
，故对角线的长为．
，，
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量的数量积运算，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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