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第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
第1课时
1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；
2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；
3.理解空间向量基本定理的意义，培养学生数学抽象的核心素养.
重点：理解空间向量基本定理．
难点：选择合适的基底表示向量，解决相关问题．
（一）创设情境
我们所在的教室可以看作是一个立体图形,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么这三个空间向量能否表示空间中的其它向量呢
设计意图：根据生活中的实例，引出空间向量基本定理这一课题，培养学生学习的兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究空间向量基本定理的内容.
思考：类比平面内任一向量都可以用两个不共线的向量，来表示（平面向量基本定理），任意一个空间向量是否也能用任意三个不共面的向量，，来表示呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
探究：(1)情形一：如图(1)所示，空间中三个不共面的向量两两互相垂直时,能用这三个向量唯一表示吗？
情形二：如图(2)所示，空间中任意三个不共面的向量时，能用这三个向量唯一表示吗？
图1 图2
情形一：空间中三个不共面的向量两两互相垂直时，
如右图，设，，是空间中三个两两互相垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则.又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得
从而
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得
我们称，，分别为向量在，，上的分向量.
情形二：空间中任意三个不共面的向量时，
设，，不共面，过点作，，，，
过点作直线平行于交平面于点在平面内，
过点作直线，，
存在三个数，，，使得，，，
从而
，
因此，如果，，是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得
.
追问：用不共面的三个向量，，表示空间内任一向量，存在有序实数组，使得，这样的有序实数组是否唯一？
答：唯一.
设另有一组实数，，，使得，
则
，
，，不共面，
，即且且，
故实数，，是唯一的.
因此，类似平面向量基本定理，我们也有空间向量基本定理.即
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量.
提示1：空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
提示2：是空间中的一个基底，则，，均为非零向量.
设计意图：先从空间中三个不共面的向量两两互相垂直这一特殊情况进行分析，再分析空间中任意三个不共面的向量的情形，从特殊到一般，层层递进，引出空间向量基本定理的内容，强化学生对抽象概念的理解，并加强对空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示的理解，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：探究单位正交基底及空间向量的正交分解
思考：探究(1)中，空间中的三个基向量两两互相垂直，如果长度为1时，这个基底叫做单位正交基底.反之，空间中任一向量是否也能分解成三个两两互相垂直的向量呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
追问：空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？
答：不可以，还需满足三个向量两两垂直.
设计意图：通过具体的例子，让学生领会用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法，强化直观想象的核心素养.
（三）应用举例
例1 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
提示：根据三个向量共面的充要条件为一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合逐项判定.
对A：，因此A不满足题意；
对B：，选项B不满足题意；
对C：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此选项C正确；
对D：显然有，于是选项D不满足题意．
故选C．
例2 如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则( )
A. B.
C. D.
提示：利用重心定理先求出，再利用，即可求出结果．
解：连接并延长交于点，
因为为底面的重心，则为的中点，
所以，
所以，
所以．
故选A．
例3如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示.
解：
【反思总结】
选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法：
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便表示其他的向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
例4 如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
证明、、、四点共面
若，求的值．
提示：(1)通过证明，由此能够证明、、、四点共面；
(2)结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解．
解：证明：
，
所以共面，且为公共点，
所以、、、四点共面；
，
，
，
，
，，，
．
设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理及选用基底表示空间中任一向量，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.在正方体中，下列各组向量不能作为空间中所有向量的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
解：在正方体中
因为，所以共面，
故不能作为基底，
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底．
故选：．
2.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
解：因为在C中，，，不共面，
而A、B、D中的向量均为共面向量，
根据共面向量不能构成基底，知C中向量可作为基底，
故选：C.
3.如图，三棱锥中，，，，点为中点，点满足，则( )
A. B.
C. D.
解：如图所示：，
又，为中点，
．
故选：．
4.已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底．
已知空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，为中点用基底表示以下向量：
．
解：假设，，共面．
则存在不全为实数，使得，
，
，，不共面，
此方程组无解，
，，不共面，可以作为空间的一个基底．
如图所示，
．
．
5.已知是空间的一个基底，且，，，．
求证： ， ， ， 四点共面；
能否作为空间的一个基底若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
【答案】解：由，，
而，则，
所以 ， ， ， 四点共面；
若共面，则，即，
所以，则，可得
所以，故不能作为基底
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量的基本定理
第2课时
1.进一步理解空间向量基本定理，学会灵活选用空间中三个不共面向量作基底表示其他的向量，提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养；
2.通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，学会证明空间直线的位置关系及求直线的夹角、两点间的距离（线段长度）；
3.让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，提升学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
重点：应用空间向量基本定理证明异面直线的垂直、两直线平行，求异面直线所成角以及空间中两点间的距离（线段长度）．
难点：应用向量解决立体几何中的证明和计算问题．
（一）旧知回顾
回顾：空间向量基本定理.即
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量.
空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
是空间中的一个基底，则，，均为非零向量.
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
设计意图：通过回顾旧知，再熟悉空间向量基本定理，利于课程展开.
（二）探究新知
任务1：探究空间中的向量的表示方法.
思考：在空间中如何选取基底呢？选取好基底后，需要用到哪些运算表示空间中的向量？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
探究：如图所示，在平行六面体中，，，，，，如何表示向量
答：由空间向量基本定理得，若是空间的一个基底，则向量，，不共面.
(1)，，不共面，如果选择作基底，则如何表示向量？
答：由空间向量的加法运算得，
(2)如果选择作基底，又如何表示向量？
答：设、交于点，由空间向量的加法运算得
(3)如果选择作基底表示向量？
答：设、交于点，由空间向量的线性运算得
(4)如果要表示向量？
答：由空间向量的线性运算得
经过探究，在空间中我们应该如何选取基底呢？
答：选取基底时，需满足条件：
(1)三个不共面的非零向量；(2)尽量选择已知夹角及模长的向量.
选取好基底后，可以运用向量的加法、减法及数乘运算表示空间中的向量.
设计意图：引导学生正确选取基底，以便后续利用空间向量基本定理将空间向量之间的运算转化为基向量之间的运算以简化问题.
任务2：探究利用向量法求解空间中两点间的距离（线段长度）.
思考：如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为 ．
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
分析：题干已知、、的长度及任意两边的夹角，可以选取作为基底表示，根据，先求，再根据求解的长度．
解：选取作为基底，
由题意得，
故
，
故．
故答案为：．
总结：如何应用向量法求空间中两点间的距离(线段长度)？总结方法步骤.
(1)选基底：选取已知夹角和模长的向量作为基底．
(2)表示向量：将要求的线段用向量表示，用基底表示该向量．
(3)计算利用，通过计算求出，即得所求距离(线段长度)．
设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中学会总结应用向量法求空间中两点间的距离(线段长度)的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
任务3：探究利用向量法证明空间中两直线的位置关系.
思考：如图，正方体的棱长为，与的交点为，与的交点为．则 (填“”或“”).
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
分析：题干已知、、的长度及任意两边的夹角，可以选取作为基底表示和，并由两者的线性关系判断和证明其平行．
解：设，，，则构成空间的一个单位正交基底，
，
，所以，所以．
思考：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．求证： (填“”或“”).
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
分析：题干已知、、的长度关系，且两两互相垂直，可以选取作为基底表示和，并求两个向量的数量积，从而判断并证明两直线垂直．
解：结合图形，知，，
则，
所以，即．
总结：如何应用向量法证明空间中两直线的位置关系？总结方法步骤.
(1)选基底：选取已知夹角和模长的向量作为基底．
(2)表示向量：取两条直线的方向向量，并用基底表示．
(3)证：若两向量的数量积为0，则两直线垂直；若两向量共线，则两直线平行．
设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中窥见规律，学会总结应用向量法证明空间中两直线的位置关系的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
任务4：探究利用向量法求解空间中两异面直线的夹角.
探究：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．则与所成角的余弦值为 ．
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
分析：选取作为基底表示和，并根据向量的夹角公式求得．
解：设．
由于，，
因此，
故，
故，
故，，
故．
则与所成角的余弦值为.
总结：如何应用向量法求空间中两异面直线的夹角？总结方法步骤.
(1)选基底：选取合适的基底表示所求线段的向量
(2)表示向量：取两条直线的方向向量，并用基底表示．
(3)计算：利用求两向量夹角的余弦值，即得两直线夹角的余弦值．
设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中学会总结应用向量法求空间中两异面直线的夹角的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
（三）应用举例
例1 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．求证．
解：设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，
则，
，
所以
．
所以．
例2 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．
求证：
求与所成角的余弦值．
解：证明：设，，，则构成空间的一个单位正交基底所以，
所以．
所以．
因为，，
所以．
所以与所成角的余弦值为．
例3 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解：如图，
设，，，棱长均为，
则，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选A．
例4如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是( )
A. B.
C. 的长为 D. ，
解：根据题意，依次分析选项：
对于选项，，A正确，
对于选项，，B错误；
对于选项，，
则，
则，C错误；
对于选项， ，，
则，，D正确．
故选：．
设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理的应用，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：．
解：如图所示，
设，， ，，则，
，
易知，

，
，即．
2.如图，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，是棱的中点，点满足，点满足．
用向量表示；
求．
解：因为是棱的中点，点满足，点满足，
所以
；
因为四面体是正四面体，则，
，
，
所以
3.已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，
用，，表示，
若，，求的值．
解：依题意，
，
．
依题意，，
，
故．
4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，，
用表示；
求对角线的长；
求
解：连接，，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：，
底面是平行四边形，，
且，
，
又为线段中点，
，
在中；
顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，
，
由可知，
平行四边形中，故：，
，
，故对角线的长为．
，，
又
．
5.正方体的棱长为，与的交点为，与的交点为．
求证：
求的值．
解：证明：设，，，则构成空间的一个单位正交基底，如图，
，
，所以，所以．
由可知，所以，所以．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理及其应用，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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