资源简介

《3.8 三元一次方程组 》教学设计
教学内容分析 本节课是湘教版七年级上册第3章第8节的内容，在此之前，学生已学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法等有关内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。同时，本节课的学习，也是对二元一次方程解法的深入再学习。学习三元一次方程组解法的同时也是对学生代入法、加减法消元的检验，是对二元一次方程组解法的提高。
学习者分析 七年级的学生年龄较小，思维比较直观，独立思考有一定的难度，特别是作为选学内容的三元一次方程组解法对他们来说有一定的挑战性，因此，引导学生主动自信的参与学习是学好这节课的前提，积极调动学生运用已有知识，用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
教学目标 1.了解三元一次方程组的定义，掌握简单的三元一次方程组的解法； 2.经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想； 3.培养分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神； 4.能用三元一次方程组解决某些实际问题.并通过列方程组解决实际问题，培养学生应用数学的能力，体会数学与实际生活的联系。
教学重点 了解三元一次方程组的定义，掌握简单的三元一次方程组的解法。
教学难点 经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师提问：思考： 1.什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫作一元一次方程. 2.什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 在列方程解许多实际问题时，其涉及的未知数可能不止两个，例如三个 . 此时常常需要列出含有三个未知数的方程. 类比一元一次方程和二元一次方程的概念，含有三个未知数的方程是什么方程？学生活动1： 通过复习一元一次方程和二元一次方程，为本节课学习新知识奠定基础。 教师提出问题，学生尝试利用已学知识解决这个问题。活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示三元一次方程定义： 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程. 例如：x+y+z=15，x=2y+6z等. 你能举出几个例子吗？ 注意：三元一次方程需要满足的条件： ①是整式方程； ②含有三个未知数； ③含有的未知数的项的次数都是1. 三个条件缺一不可. 教师出示三元一次方程组的定义： 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程. 【注意】组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程，也可以是二元一次方程，还可以是三元一次方程，只要保证方程组中一共有三个未知数即可. 做一做：已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12. 设个位数字为 x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组. 根据题意，所求方程组为 知识点3：三元一次方程组的解 对于未知数为 x，y，z 的三元一次方程组，若 x，y，z 分别用数 c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ c1，c2，c3）叫作这个方程组的一个解. 习惯上也记作 想一想：怎样解三元一次方程组呢？ 解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求 解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？ 怎样将三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组？ 解三元一次方程组 将方程①两边都乘2,得2x+2y+4z = 6. ④ ④+②，得y + 5z = 3. ⑤ ①-③，得-y + 6z = 8. ⑥ 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得y =-2，z = 1. 把y =-2，z = 1代入方程①，得x = 3. 因此，是原三元一次方程组的解. 【总结归纳】 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.学生活动2： 学生根据教师出示的定义举例子，思考三元一次方程需要满足的条件。 学生在教师的引导下总结三元一次方程组的定义。 学生探究怎样列三元一次方程组。 学生探究三元一次方程组的解。 学生在教师的引导下总结解三元一次方程组的步骤。 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：典例精析教师活动3：教师出示例题： 【例1】解三元一次方程组： 解：③ × 5 - ①，得y + 4z =-10. ④ ③ × 3 - ②，得2y + 7z =-7. ⑤ ④ × 2 - ⑤，得z =-13. 把z用-13代入方程④，得y = 42. 把y用42，z用-13代入方程③，得 x =-31. 因此，是原三元一次方程组的解. 【拓展提高】 (1)将一个方程与另外两个方程分组进行消元时，必须是消去同一个未知数，否则无法达到真正消元的目的. (2)除去代入消元法和加减消元法外，三元一次方程组也可用一些特殊的解法，解题前应认真观察，选择适当的方法. 【例2】解三元一次方程组： 解：② × 3 - ①，得x + 7z =-12. ④ ② + ③，得5x - 2z =-23. ⑤ ④ × 5 - ⑤，得37z =-37， 两边都除以37，得z =-1. 把z用-1代入方程④，得x =-5. 把x用-5，z用-1代入方程②，得y =-4. 因此，是原三元一次方程组的解.学生活动3： 学生完成例题，巩固解三元一次方程组的步骤。 活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：3.8 三元一次方程组及其解法 一、认识三元一次方程（组） 二、解三元一次方程组
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列不是三元一次方程组的是(　B 　) 2.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取( B ) A.先消去x B.先消去y C.先消去 D.以上说法都不对 3.解三元一次方程组： 解：②+①，得 3x +4y =24.④ ③+①，得6x -3y=15，所以2x -y=5.⑤ ④+⑤×4，得11x=44，解得x=4. 将x=4代入⑤，得8-y=5，解得y=3. 将x=4，y=3 代入①，得4+3 +z=15，解得z=8. 因此，是原三元一次方程组的解. 选做题： 4.在春节来临之际，京东商城推出A，B，C三种礼盒，如果购买A礼盒3盒、B礼盒2盒和C礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买A礼盒4盒、B礼盒3盒和C礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买A礼盒5盒、B礼盒4盒和C礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_____4100_____元. 5.用不同的方法解三元一次方程组： 解法1：①+②+③，得2(x +y+z) =10，所以x+y+z=5.④ ④-①，得z=4. ④ -②，得x= -1. ④-③，得y=2. 因此，是原三元一次方程组的解. 解法2：①-②，得x-z=-5. ④ ③与④组成二元一次方程组 将x=-1 ①，得y=2. 因此，是原三元一次方程组的解. 【综合拓展类作业】 6.某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如表: 已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用 解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷. 根据题意，得 答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15 公顷、20 公顷和16 公顷.
课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.什么是三元一次方程？ 2.什么是三元一次方程组？ 3.怎样解三元一次方程组？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列四组数值中，是方程组的解的是（ D ） 2.解三元一次方程组： 解：② +③，得3x +y = -1，④ ①-④，得y=2， 把y=2 代入①，得x =-1， 把x= -1，y=2 代入②，得z=0. 所以这个方程组的解为 选做题： 3.利用加减消元法解方程组， 下列做法正确的是（ A ） A. 要消去z，先①＋②，再①×2＋③ B. 要消去z，先①＋②，再①×3－③ C. 要消去y，先①－③×2，再②－③ D. 要消去y，先①－②×2，再②＋③ 4.如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“”里的数之和，请你通过计算确定三个“”里的数之和，并且确定三个“”里应填入的数. 【综合拓展类作业】 5.某学校的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，求三种球各有多少个. 解:设篮球有x个，排球有y个，足球有z个. 把①代入③，得3y+z=44. ④ 由④得z=44-3y. ⑤ 把⑤代入②，得y=12. 把y=12分别代入①⑤，得x=21，z=8. 答:篮球有21个，排球有12个，足球有8个.
教学反思 教学过程中，将三元一次方程组按照题目特点进行归类，进而选择合适的方法进行求解，使学生在学习的过程中注意对基础知识、基本解法进行提炼、归纳、整理;通过自主探究与合作探究相结合，提高学生的自主学习能力、增强合作交流意识;通过一题多解，比较不同解法的优劣性，有效的提高学生的解题技巧，培养学生思维的发散能力。

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