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第一章 空间向量与立体几何
1.3.1空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量.
2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
重点：空间直角坐标系的建立和向量坐标的确定.
难点：空间向量坐标的确定．
（一）创设情境
情境：观察图片教室里的灯，灯能看成一个点吗？还是向量呢？
答：可以看成一个点.
情境：我们学习了哪些表述点的方法，你能举出这些方法在生活中的应用吗？
思考：那么，空间中点的位置要如何表述呢？
师生活动：教师引导学生思考回答教室内的灯具体位置应如何表示，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示，同时学生带着这一问题探究新课内容.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究空间直角坐标系的建立.
思考1：我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的两条数轴组成．如果利用单位正交基底概念，应该怎样理解平面直角坐标系呢？
答：如图1.3－1，在平面内选定一点О和一个单位正交基底，以O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
思考2：我们能不能仿照平面直角坐标系，建立空间直角坐标系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：类似平面直角坐标系，在空间选定一点O和一个单位正交基底(如图1.3－2)．以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.如无特殊说明，建立的坐标系都是右手直角坐标系.
思考3：通过每两条坐标轴的平面称为什么，把空间分成了几个部分呢？
答：通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分；
注意：
1.一般使 ，.
2.在y轴、z轴上的长度都取原来的长度，而在x轴上的长度取原长度的一半，即x轴上的单位长度在平面内表现出来时是y轴、z轴上的单位长度的一半.
设计意图：通过思考问题，让学生体会理解空间直角坐标系建立的基本概念.
任务2：探究空间点和向量的坐标表示
探究1：类比平面直角坐标系确定点坐标的方法，怎样确定空间一点的坐标？
在空间直角坐标系Oxyz中(图1.3－3)，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z)，使
思考1；点A的坐标怎么表示，它的横、纵、竖坐标与谁对应？
答：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组（x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
在空间直角坐标系Oxyz中，给定作，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z)，使
有序实数组（x，y，z)叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z)
思考2：设是空间中任意两点，则的坐标是什么？
探究2：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标(x，y，z)吗 请证明.
证明：如图1.3－5，过点A 分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.
向量在x轴、y轴、z轴上的投影分别为，，，且.
设点B，C，D在x轴、y轴、z轴上的坐标为x，y，z
则，即点A的坐标为.
设计意图：通过类比平面直角坐标系，引导学生探究空间中向量的坐标确定过程，让其自己经历数学的变化，从而对新知识的理解更加深刻．
（三）应用举例
例1如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出，，，四点的坐标
写出向量，，，的坐标．
思考：为什么是正交基底？
答：由图可知，OA在x轴上，且，所以，同理，，，所以是正交基底.
解：点在轴上，且，所以所以点的坐标是．
同理，点的坐标是．
点在轴、轴、轴上的射影分别为，，，
它们在坐标轴上的坐标分别为，，，所以点的坐标是．
点在轴、轴、轴上的射影分别为，，，
它们在坐标轴上的坐标分别为，，，所以点的坐标是．
．
【总结】
除原点以外的特殊位置
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 原点O
坐标形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z） （0，0，0）
点的位置 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 不在任一平面内
坐标形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，y） （x，y，z）
例2：在空间直角坐标系Oxyz中，
(1)哪个坐标平面与x轴垂直 哪个坐标平面与y轴垂直 哪个坐标平面与z轴垂直
(2)写出点P(2，3，4)在三个坐标平面内的射影的坐标.
(3)写出点P(1，3，5)关于原点成中心对称的点的坐标.
解：(1)在空间直角坐标系Oxyz中，Oyz平面与x轴垂直，Oxz平面与y轴垂直，Oxy平面与z轴垂直.
(2)点P(2，3，4)在Oyz平面内的射影坐标为P(0，3，4)，在Oxz平面内的射影坐标为P以(2，0，4)，在Oxy平面内的射影坐标为P(2，3，0).
(3)点P(1，3，5)关于原点成中心对称的点的坐标为P(－1，－3，－5).
【总结】
关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下:
“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”
(1)关于坐标原点的对称点为P(－x，－y，－z);
(2)关于横轴(x轴)的对称点为P(x， －y，－z);
(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P(－x， y，－z);
(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P(－x，－y，z);
(5)关于xOy坐标平面的对称点为P(x， y，－z);
(6)关于yOz坐标平面的对称点为P(－x， y，z);
(7)关于zOx坐标平面的对称点为P(x， －y，z).
①关于哪个坐标平面对称，点在那个平面上的坐标不变，另外的一个坐标变成相反数;
②关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数;
③关于原点对称的点则三个坐标都变为相反数;
④关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称.
设计意图：通过例题，熟悉求空间直角坐标系的坐标点和向量的坐标.
（四）课堂练习
1.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
解：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数，
所以关于轴对称的点的坐标为．
故选A．
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
解：在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为： ．
故选B．
3.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱垂直于底面，是的中点，试建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
解：底面 是边长为的正方形，侧棱 垂直于底面 ，
以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
是的中点，
则 ， ， ， ， ， ．
4.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：
点，，，，的坐标
向量，，的坐标．
解：由题意可设，， ，以，即， ，为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示．
点在轴上，且，，点的坐标为．
同理可得点的坐标为．
点在轴，轴，轴上的射影分别为，，，点的坐标为．
同理可得点的坐标为，点的坐标为．
，的坐标为．
又，
的坐标为．
，
的坐标为
5.在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出点，，的坐标；
写出向量，的坐标．
解：在长方体中，，，，
　　则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
　　点是线段的中点，
　　由中点坐标公式得：的坐标为．
　　故答案为：，，各点的坐标分别是：，，
　　由题意知，，，
　　则，
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间直角坐标系的知识点，并能够灵活运用.

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