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第一章 空间向量与立体几何
1.3.2空间向量及其运算坐标的表示
1.通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.
2.通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法.
3.会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.
1.掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示.
2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.
3.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式;并会应用这些知识解决简单的立体几何问题.
重点：空间向量运算的坐标表示.
难点：应用空间向量解决简单的立体几何问题.
（一）创设情境
前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.
那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量的坐标表示并给出证明呢？
师生活动：教师利用生活中的较常见的实例引导学生思考，让学生建立空间直角坐标系，提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用空间向量的坐标来表示.
设计意图：通过结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究空间向量的坐标运算
思考1：类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗
合作探究：1.先独立将空间坐标运算的表示和证明写出来；
2.小组内相互对照并交流讨论自己写的空间向量坐标运算和证明；
3.以小组为单位进行展示汇报.
平面向量的坐标运算表示 空间向量的坐标运算表示
设， 设，
探究1：你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
设为空间的一个单位正交基底，则
， =
所以
利用向量数量积的分配率以及
===1，
得
思考2：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一样吗？
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，我们有:
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
任务2：探究空间向量平行、垂直、模和夹角
思考3：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢
答：平面向量共线与垂直判定 空间向量共线与垂直判定
当时，
思考4：设，，
能否换成？
答：不能。因为只有当都不为0时，才有意义，
而至少有一个不为0.
所以，当都不为0时，.
思考5：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢
平面向量长度、夹角的坐标表示 空间向量长度、夹角的坐标表示
设， 设，
做一做：1.已知，，则+= ；3= ；+2= ；= ； ； .
2.已知向量，，若，则x= ；若，则x= .
要求：个人先完成，再以小组为单位相互批改，组长汇报组员完成情况
答：1.；
3=3；
+2=；
；
；
.
2.∵，∴；
∵
师生活动：学生理解、记忆、运用公式.
设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识.
任务3：探究空间中两点间的距离
探究1：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
如图1.3-7建立空间直角坐标系Oxyz，设是空间中任意两点，则
.
于是
所以==.
这就是空间两点间的距离公式.
设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识.
应用举例
例1 (1)已知，求，2，.
(2)已知O是坐标原点，点，，.若点P的坐标能满足，则点P的坐标为 .
解：(1)，
2，
∵
∴
(2)因为点，，
所以，
设，则
因为
所以
所以，，
所以点P的坐标为
【总结】关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．
例2 如图1.3-8，在正方体中，E、F分别是，的中点.
求证
证明：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则，
所以
又，
所以.
所以==0
所以，即.
【总结】
例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为底面的中点，分别在棱，上，,.
（1）求AM的长；
（2）求与所成的角的余弦值.
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长。
（2）与所成的角就是所成的角或它的补角，因此可以通过的数量积公式运算得到结果.
解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为，点M的坐标为.于是
.
由已知，得：
B，
所以
.
所以
所以
所以与所成角的余弦值是.
思考：两条直线a，b的夹角与其方向向量的夹角相等吗？
答：不一定，它们的取值范围不同.
当时，；当时，
所以
【总结】求空间中两条直线所成的角的余弦值
求法：空间向量法
步骤：①建立空间直角直坐标系，②求对应线段的向量坐标及模的大小，③利用向量的数量积公式求两条直线所成角的余弦值
总结：求空间内两点之间的距离和两条直线所成的角的余弦值可以建立空间直角坐标系，再利用空间向量去进行解题，这种方法在后面的学习当中会经常用到，比如求空间内的两条直线是否垂直或平行。
例4：已知向量，．
若，求实数
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
提示：先求向量的坐标，利用平行的条件，即可求的值；
向量与的夹角为锐角，则数量积大于且不共线，即可求的取值范围．
解：由题知，，，
那么当时，，可得；
由知，，，
那么当向量与所成角为锐角时，
，
即得，
又当时，，
可得实数的范围为
设计意图：通过例题，熟悉利用空间向量解决对应问题的方法，并体会将立体几何问题转化为空间向量问题的思想．
课堂练习
1.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
解：因为，
且，
所以，解得．
故选：．
2.已知，则
A. B.1 C.0 D.
解：因为
可得
故选D
3.已知，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
解：已知，
对于，，故A错误；
对于，，故，故B正确；
对于，，不存在实数，使得，故与不平行，故C错误；
对于，由的分析可知，则，故D错误．
故选B．
4.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
求与所成的角
求与所成角的余弦值．
解：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
易得，，
．
，
即，
与所成的角为．
易得，．
由可知，
且，
，，
即与所成角的余弦值为．
试题ID: 3fd7bfe1-eb5b-4ec6-87d2-ca2922ee03d5
5.如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，．
求两点间的距离；
求证：平面；
求证：平面平面．
解：由题可知，底面，ABCD，所以AB，PA以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
即两点间的距离为．
由知，，
所以，即，即，
又平面平面，
所以平面．
由知，，，，
所以，，
则，即，
又，且平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量在解决立体几何问题的方法，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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