资源简介

第一章 空间向量与立体几何
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.感受立体图形与空间向量的联系，体会用空间向量确定空间图形基本要素的方法;
2.掌握空间图形基本要素点、直线、平面的空间向量表示;
3.能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤,会求直线的方向向量与平面的法向量.
4.理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养.
重点：掌握空间中点、直线、平面的空间向量表示.
难点：求直线的方向向量与平面的法向量．
（一）创设情境
我们知道平面向量可以推广到空间向量，通过空间向量建系转化为代数的运算.
问题：空间向量解决了哪些几何问题？
预设答案：空间向量可以解决平行、垂直、距离和夹角问题.
追问：利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？
关键是将空间向量与立体几何建立对应的关系.
那么立体几何中的点、线、面在空间向量中应如何表示呢？
师生活动：教师提出问题，让学生思考回答，引导学生理解空间向量与立体几何间的对应关系.
设计意图：通过复习空间向量与立体几何间关系，自然引申出本节课的教学重点——空间中点、线、面的向量表示.
（二）探究新知
任务1：空间中点和直线的向量表示
思考：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量.
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的一个点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
思考:空间中，如何确定一条直线呢？
直线l 由点A和方向向量 唯一确定.
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．
探究：如何用向量表示直线l？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
取=,对直线l上任意一点P，点P在直线l上的充要条件是存在实数t, 使得=t ，即=t.
小结：直线上点A和方向向量 确定直线 l.
取定空间中任一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
=+t ①，
将=代入①式，得=+t ②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
总结：
向量表示直线的三种形式
①点P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使得 =t，即=.
②取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t .
③取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+t .
思考：如何理解直线的方向向量？
（1）在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：
①是非零向量；
②向量所在的直线与直线l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)表示同一条直线的方向向量，模不一定相等，方向相同或相反．
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的直线及方向向量的特点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
任务2：空间中平面的向量表示
回顾：如何确定一个平面呢？
（1）不共线的三点确定一个平面；
（2）直线和直线外一点确定一个平面；
（3）两条相交直线确定一个平面；
（4）两条平行直线确定一个平面.
思考：一个定点和两个定方向确定一个平面？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
设两条直线相交于点A，它们的方向向量分别为和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得
=x+y .
点A与向量，不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.
取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使得 = +x+y.
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
思考：一个定点和一个定方向确定一个平面？
给定空间一点A和一条直线，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的，由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线l的方向向量来确定平面.
直线l⊥α，取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P∣·=0}.
说一说：给定一个平面，该平面的法向量唯一吗？法向量具有怎样的性质呢？
不唯一，性质如下：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
追问：如果另有一条直线m ，在直线m上任取向量，与有什么关系？
由m⊥α，l⊥α，得到l//m，即//，
因此平面可也表示为集合{P∣·=0}.
即平面可由一点和任意一个法向量唯一确定.
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
总结：平面的向量表示方法
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使得 = +x+y.
②给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P∣·=0}.
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的平面，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
（三）应用举例
例1 在如图所示的空间直角坐标系中，为正方体，棱长为1，求直线和的一个方向向量.
分析：在坐标系中，找到，，，点的坐标，即可求出两直线的方向向量.
解：如图，(0,1,0)，(0,1,1)，(1,0,0)，(1,1,1);
=(0-0,1-1,1-0 )=(0,0,1),=(1-1,1-0,1-0 )=(0,1,1).
所以，直线的一个方向向量为(0,0,1)，
直线的一个方向向量为(0,1,1).
追问：直线和是否还有其他的方向向量？
预设答案：与=(0,0,1)共线的向量都是直线的方向向量，
与=(0,1,1)共线的向量都是直线的方向向量.
【总结】求直线的方向向量的方法：
(1)求出直线上任意两点的坐标；
(2)利用坐标，求出对应的向量；
(3)求出的向量就是直线的方向向量．
例2 已知长方体中，AB=4，BC=3， =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量．
(2)求平面MCA1的一个法向量.
分析：(1)平面，与y轴垂直，其法向量可以直接写出；
(2)平面 MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量.
解：(1)因为y轴垂直于平面，所以=(0,1,0)是平面的一个法向量.
追问：平面是否还有其他的法向量？
与=(0,1,0)共线的向量都是平面的法向量.
(2)因为AB=4，BC=3，=2，M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2).因此
=(-3,2,0)，=(0,-2,2).
设=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，则
⊥，⊥
所以 , ,
所以x=z,y=z，
取z=3，则x=2，y=3.
于是=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
【总结】平面的法向量的求法：
定义法：
找线面垂直即l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量.
待定系数法：
① 设出平面的法向量=(x,y,z)；
② 找出平面内两个不共线的向量的坐标=(,,),=(,,)
③ 根据法向量的定义建立关于x,y,z得方程组.
④ 解方程组，取其中一个解，即得法向量.
设计意图：通过例题，熟悉求直线的方向向量及求平面的法向量的方法，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.已知点，在直线上，写出直线的一个方向向量 ．
解：因为，,
所以，，且都是直线的方向向量．
当时，则直线的一个方向向量．
2.已知三点、、，则平面的法向量可以是 写出一个即可
解： ，设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以平面 的法向量可以是 ．
故答案为： 答案不唯一．
3.在正方体中，平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
解：如图所示，
由正方体的性质可得：，．
平面．
平面的一个法向量为．
故选：．
3.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是( )
A. B. C. D.
解：对各个选项进行逐一验证，
对于选项A，，所以，
所以，所以点在平面内，
同理可验证其他三个点不在平面内．
4.如图，在直三棱柱中，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量．
解：易知，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，可得，令，则，
所以平面的一个法向量为．
易知，，，
则，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固求直线的方向向量和平面的法向量，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？第一章 空间向量与立体几何
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系.
重点：熟练利用向量证明空间中的平行关系.
难点：理解利用空间向量证明空间中的平行关系
（一）创设情境
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝. 在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢
师生活动：教师展示牌楼图片，之后提出问题，引导学生思考如何判断直线与平面的平行.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探索用向量表述直线与直线的平行关系.
探究： 如图①，设,分别是直线的方向向量，若直线，那么,有什么关系？反过来，若，那么直线有什么关系？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：先独立思考，再小组内交流，并汇报展示.
设计意图：由直线与直线平行，延伸至方向向量的平行，回顾旧知，得出新知，同时，培养学生团队合作的意识.
总结：如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.并进一步引导学生得到两条直线平行的向量表达式，即设直线的方向向量分别为,则
R,使得
任务2：探索用向量表述直线与平面的平行关系.
探究：如图②，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，若，那么，有什么关系？反过来，若，那么直线与平面有什么关系？
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳总结.
师生活动：小组内交流，并汇报展示，师生共同归纳.
设计意图：实现将直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，突出重点，突破难点.
总结：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
.
任务3：探索用向量表述平面与平面的平行关系.
探究：如图③，设,分别是平面,的法向量，若平面，那么,有什么关系？反过来，若，那么平面有什么关系？
要求：1.先独立思考1分钟；
2.学生代表进行展示汇报.
师生活动：学生独立思考，并汇报展示.
设计意图：实现将平面和平面的平行与平面法向量平行的转化，同时，培养了学生独立思考、解决问题的能力.
总结：设,分别是平面的法向量，则
R,使得
（三）应用举例
例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
分析：设平面的法向量为,直线的方向向量分别为，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量.
证明：设平面的法向量为,直线的方向向量分别为,
因为，所以
因为，
所以对任意点，存在,使得
从而
所以，向量也是平面的法向量．故.
设计意图：例1是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例1的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路. .
总结：向量法证明面面平行的思路
(1)证明两个平面的法向量共线.
(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.
(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
例2 在长方体中，，点在棱上，且，点在上，且，点分别为的中点.求证：
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，找出问题中涉及的直线的方向向量,，通过证明两个方向向量的平行，进而得到两条直线的平行关系.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
证明：　如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得： ,
则,分别为的方向向量，,
所以.
设计意图：例2是用向量方法证明直线与直线的平行，设置例2的目的是使学生在例1证明平面与平面平行的基础上，进行拓展与延伸，体会利用法向量证明两条直线平行的一般基本思路.
总结：向量法证明线线平行的思路
要证明线线平行,只需取两直线的方向向量,证得 即可.
具体方法有如下两种:
(1)坐标法.根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.
(2)基向量法.取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,
证得它们共线.
例3 如图在长方体中，
线段上是否存在点，使得平面
师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示．如果点存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果.
师生活动：学生完成求解，教师示范解答.
解:以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为的坐标分别为
所以.
设是平面的法向量，
则,
即,所以.
取,则,
所以是平面的一个法向量,
由的坐标分别为，
得，
设点 满足,
则，
所以.
令，得，解得，这样的点存在.
所以,当，即为的中点时，平面.
设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解.
总结：向量法证明线面平行的思路
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
问题：通过例3的解题过程，同学们能否总结出用向量方法解决立体几何问题的步骤吗？
总结： 1.建系；2.设点；3.表示相关向量；4.进行向量运算；5.将向量运算结果还原为几何结论.
例4 已知正方体 的棱长为2，分别是的中点，
求证：(1)平面. (2)平面平面.
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、直线的方向向量、以及平面的法向量等都可以用坐标表示.由此通过向量的坐标运算可得线面平行以及面面平行.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
证明：以为原点所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则
于是
(1)设平面ADE的法向量是，
则 即,.
取,则,
所以平面ADE的法向量是,
平面,平面.
设平面的法向量是，
则 即,.
取,则,
所以平面的法向量是，,
平面平面.
设计意图：在总结出用向量方法解决立体几何问题的步骤之后设置例题4，目的是对所学知识进行检验，让学生能够学以致用.
思考：你能解决“情境”中的问题了吗？
设计意图：利用所学知识解决“情境”中的问题，首尾呼应，使知识结构更完整，同时，问题的解决让学生体会到成功的喜悦感.
（四）课堂练习
1.在长方体中，四边形为正方形，，，为的中点，点是上的一点，且，则下列选项正确的有( )
A. 平面 B. 为平面的法向量
C. 为平面的法向量 D.
解：以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，，
，，，
故，，
，，，
，，
则，
故，
又平面，平面，
故平面，故 A正确
，
所以与不垂直，故B错误
由，得，
所以，，
所以，
，
所以，，
且，，平面，
故为平面的法向量，故C正确
，故D正确．
故选ACD．
2.已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则平面和平面的位置关系是 ．
解：由题意，计算，得
计算，得；
又，，平面，
所以平面，
所以平面的法向量与平面的法向量共线，则平面平面．
故答案为平面平面．
3.如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，
，，，，分别是棱，，的中点．
证明：直线平面．
证明：因为，，是棱的中点，
所以，为正三角形，
因为为等腰梯形，所以，
取的中点，并连接，则，所以，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则， ，，， ，，，，
， ， ，， ，，，
所以 ，
， ，
设平面的法向量为
则 ，则 ，
取 ,
则 ，
所以 ，
所以直线平面
4.如下图，四棱锥中，平面，，且，，，在线段上移动，且．
当时，证明：直线平面．
解：因为平面，，，
所以，，两两垂直，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
当时，，，
设平面的法向量为，
则，即，
可取
，
平面，
直线平面．
5.在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点，作交于。
证明：平面；
若在线段上, 且 ，在棱上求一点使得平面．
证明：以为坐标原点，射线，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 不妨设．
连接交于，连接．
依题意得，，．
因为底面是正方形，
所以是此正方形的中心，故点的坐标为，
所以，．
则，故．
而平面，平面，
所以平面．
因为，得，，
设平面的法向量为，
故，令，则，，故，
设，
又因为，平面，
所以即，解得，
所以点为棱的中点时，平面．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
1.空间线线、线面、面面平行如何用向量表示？
2.如何利用向量法证明空间线线线、线面、面面平行？第一章 空间向量与立体几何
1.4.3 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2.通过类比用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
3.发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理的能力，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.
重点：掌握用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
难点：会用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（一）创设情境
回顾
问题：如何用空间向量表述直线与直线的平行关系呢？
预设答案：设,分别是直线l1, l2的方向向量，
l1∥l2 ∥ ，使得 =.
问题：如何用空间向量表述直线与平面的平行关系呢？
预设答案：设是直线l方向向量,是平面α的法向量，
l ∥ α ⊥ =0.
追问：用空间向量表述平面与平面的平行关系又是怎样的呢？
预设答案：设,分别是平面α，β的法向量，
α ∥ β ∥ ，使得 =.
师生活动：教师提出问题，让学生回顾思考并回答.
设计意图：通过复习用空间向量表述直线、平面的平行关系，为接下来的学习打下铺垫.
（二）探究新知
任务1：探索用向量表述直线与直线的垂直关系
思考：类似空间中直线与直线平行的向量表示，在直线与直线的垂直关系中，直线的方向向量之间有什么关系？
预设答案：一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直.
追问：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
设,分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1⊥l2 ⊥ .
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
任务2：探索用向量表述直线与平面的垂直关系
思考：类似空间中直线与平面平行的向量表示，在直线与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
预设答案：直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行.
追问：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则
l⊥α ∥ ，使得=.
任务3：探索用向量表述平面与平面的垂直关系
思考：类似空间中平面与平面平行的向量表示，在平面与平面的垂直关系中，平面的法向量之间有什么关系？
预设答案：平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
追问：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
设平面 α，β 的法向量为,，则
α⊥β ⊥ .
【总结】
直线与直线的垂直关系：l1⊥l2 ⊥ .
直线与平面的垂直关系：l⊥α ∥ ，使得=λ.
平面与平面的垂直关系：α⊥β ⊥ .
思考：若设=(u1,u2,u3)，=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，=(n1,n2,n3)，=(c1,c2,c3)，=(d1,d2,d3)，则上述关系如何用坐标表示？
要求：以小组为单位进行讨论交流，再提问回答，最后归纳总结，得出结论.
预设答案：
线线垂直：l1⊥l2 ⊥ a1b1＋a2b2＋a3b3
线面垂直：l⊥α ∥ ，使得=λ u1=λn1，u2=λn2，u3=λn3
面面垂直：α⊥β ⊥ c1d1＋c2d2＋c3d3
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示直线与平面、平面与平面的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
（三）应用举例
例1 已知正方体的棱长为1，以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证：⊥.
解：由题意可得：(1,0,1)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，(0,1,1)，
所以=( 1,1, 1)，=( 1,0,1)，
且 =0，
所以⊥，即⊥.
【总结】
利用空间向量证明线线垂直，即建系后求出两直线的方向向量，再进行坐标运算.
例2 在平行六面体中，AB=AD==1，∠AB=∠AD=∠BAD=60°，求证：直线⊥平面BDD1B1.
分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可.
证明：设=，=，=，
则{，，}为空间的一个基底，且=+-，=-，=.
因为AB=AD==1，∠AB=∠AD=∠BAD=60°，
所以2=2=2=l，·=·=·=.
在平面BDD1B1上，取，为基向量，
则对于平面BDD1B1上任意一点 P,存在唯一的有序实数对(λ，μ)，
使得=λ+μ，所以，
· =λ ·+μ· =λ(+-)·(-)+μ(+-)·=0.
所以是平面BDD1B1的法向量.
所以直线⊥平面BDD1B1.
例3 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知，如图，l⊥α，l β, 求证：α⊥β
证明：取l的方向向量，平面β的法向量.
因为l⊥α，
所以是平面α的法向量
因为l β, 是平面β的法向量，
所以⊥，
所以α⊥β.
【总结】利用空间向量证明面面垂直，即建系后求出两平面的法向量，再进行坐标运算.
例4 如图,在正三棱锥P-ABC中, 三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA=PB=PC=3，则A(3,0,0)，P(0,0,0)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，
所以=(0, 1, 1)，=(1, 1, 1).
设平面EFG的法向量是=(x,y,z)，则有⊥， ⊥，
所以y+z=0，x y z=0.
令y=1，得z= 1，x=0，即=(0,1, 1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量，
又·=0，所以⊥.
所以平面GEF⊥平面PBC.
【总结】应用向量证明垂直问题的基本步骤：
(1)建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底），用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；
(2)通过向量运算研究垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题.
设计意图：通过例题，熟悉应用向量证明直线、平面的垂直问题，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.设直线的方向向量分别为，若，则实数等于( )
A. B. C. D.
解：，
，解得，
实数的值为．故选B．
2.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则( )
A. B. C. D.
解：直线的一个方向向量，平面的一个法向量，又，
，
，
解得．故选：．
3.平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则值是 ．
解：因为平面 与平面 垂直，
所以平面 的法向量与平面 的法向量垂直，
所以 ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
4.在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且，求证：．
证明：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设，
，．
，
，
，
，即E.
5.如图，在正方体中，，分别是，的中点．求证：平面．
证明 ：设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
，
，
．
而．
，
，．
又，平面，平面，
平面．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固利用向量求直线、平面的垂直，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

展开更多......

收起↑