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第一章 空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行平面的距离问题；
2.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体距离问题的解决；
3.能用向量方法解决具体问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；
4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.
重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示．
难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的距离之间的相互转化．
（一）创设情境
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点, 修一条公路到达点, 要想使这个路线长度理论上最短, 应该如何设计？
师生活动：教师展示生活中空间角的实例，之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
思考：空间中包括哪些距离
两点间的距离、点到直线的距离、两平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离.
问题1：这些距离问题如何归类？
两点间的距离
问题2：如何用向量研究距离？
距离 向量的模
空间两点间的距离 空间向量的模
空间中其他距离 投影向量/勾股定理
设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题, 明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离.
任务1：用向量方法求点到直线的距离
探究：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？
如图1.4-16，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形．
追问2:作出点到直线的距离,向量与点到直线的距离之间有什么关系
师生活动:学生自主探究,得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到.
因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离．
师生活动:教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量,建立点与直线的关联;直线由一个点和一个方向向量确定,可以取单位方向向量表示直线的方向向量.
设，则向量在直线上的投影向量．
追问3:你能借助图形,用向量方法求出点到直线的距离吗
在中，由勾股定理，得
思考1:类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
师生活动:教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式,讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.
设计意图:让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫.
任务2：用向量方法求点到平面的距离.
探究：类似于点到直线的距离,如何求平面外一点到平面的距离
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳总结.
如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点．
追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定,确定一个平面的条件是什么
师生活动:由学生回答.
追问2:你能类比求点到直线的距离的方法,利用向量投影求出点到平面的距离吗
过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．
因此.
师生活动:学生独立思考,然后分组讨论交流;教师巡视、点拨;学生分享研究成果,多媒体投影展示,师生评价,梳理成果.
设计意图:类比点到直线距离的研究过程,合作探究,得到点到平面的距离公式,让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观,又提供了代数定量刻画.在这个过程中,向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.
问题5:如何求平行于平面的直线到平面的距离 两个平行平面之间的距离呢
师生活动:通过学生回答,把问题转化为求平面外一点到平面的距离,由此得到求距离问题的统一公式.
设计意图:师生共析,将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,得到统一的向量表达式,进一步体会转化的思想.
（三）应用举例
例1如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）若为的中点,试求直线到直线的距离.
（1）分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则=,
取则
所以，点到直线的距离为．
总结：用向量法求点到直线的距离时的步骤：
建系求有关点的坐标;
直线上任取两点得方向向量，计算其单位向量 ;
由定点与直线上任一点得“斜”向量，并记为；
利用公式得点线距离.
分析：求直线到直线的距离，可以转化为求点到直线的距离.用坐标表示相关的点、直线的单位方向向量，再利用点到直线的距离公式，通过坐标运算即可得出最后结果.
解：
又由的单位向量
.
所以直线到直线的距离即为点到的距离，即
.
总结：用向量法求直线到直线的距离：
求直线到直线的距离，可以转化为求点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，通过坐标运算即可.
师生活动:教师引导学生分析问题的条件和所求,再根据问题条件建立适当的直角坐标系,用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量,再利用有关公式,经过坐标运算解决问题.本题的第一问师生共同分析完成,教师示范;第二问学生完成,教师评价.
设计意图:通过典型例题,使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法,体会向量方法在解决距离问题中的作用,渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程.
例2 已知四边形是边长为4的正方形，分别是的中点，平面且,求点到平面的距离.
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、平面的法向量，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。
解：如图，建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量则
即
所以, 取，则点到平面的距离
.
总结：用向量法求点到平面的距离的步骤：
（1）建系求有关点的坐标
（2）求点与平面上任一点连线的方向向量（如图中的）
（3）求平面的法向量；
（4）套用点到平面的距离公式求解.
例3 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到平面的距离.
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量，将直线到平面的距离转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。
解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
=,,
,,平面.
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．
设平面的法向量则
即
所以, 取是平面的一个法向量.
又因为所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
例4 如图，在棱长为1的正方体中，求平面到平面的距离.
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、平面的法向量，将平面到平面的距离转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。
解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
=,,
设平面的法向量则 即所以,
取是平面的一个法向量.
设平面的法向量,则
容易由得到
所以平面∥平面
所以点到平面的距离即为平面到平面的距离.
平面到平面的距离为.
总结：求直线到平面的距离、平面到平面的距离
平行直线与平面距离 平行平面的距离
点面距离 点面距离
直线到平面的距离、平面到平面的距离均可转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。
总结：用空间向量解决立体几何问题的"三步曲":
（1）化为向量问题：建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标
（2）进行向量运算：应用向量距离计算公式
（3）回到图形问题：得到所求距离.
（四）课堂练习
1.底面为矩形的直四棱柱中，，点在棱上且满足分别为棱的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是 .
解：以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， ，
，，，
直线平面，
，解得： ，即 ，
设点 到平面 的距离为 ，则有：
，
故答案为： ．
如图，已知正三棱柱的所有棱长均为，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ．
解：在正三棱柱 中，在平面 内过作 ，
根据正三棱柱的性质显然得射线 两两垂直，
以点为原点，射线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱 的所有棱长均为，
则 ，
所以 ，
因动点在线段 上，则令 ，
即有点 ，所以 ，则 ，
从而 ，
因此点到直线 的距离
，当且仅当 时取等号，
所以线段 上的动点到直线 的距离的最小值为 ．
故答案为： ．
3.已知正方形的边长为，平面，且，，分别为，的中点．
求点到平面的距离
求直线到平面的距离．
解：建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，所以．
所以点到平面的距离．
因为，所以点到平面的距离．
因为，分别为，的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．
所以直线到平面的距离为．
4.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点．
求证：平面；
求平面与平面的距离．
证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，，．
所以，，．
所以，．
所以，
所以，．
又，平面，平面，
所以平面．
解：由可得，，，，
所以，，所以．
所以 ， ．
又，，所以平面 平面．
故可知，是平面和平面的法向量．
因为平面 平面，
所以点到平面的距离就是平面与平面的距离，设为．
因为，，
所以．
即两平面间的距离为．
5.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上
求的长，并证明平面；
若，试确定的值，使得到平面的距离为．
证明：因为，，，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
又侧面，侧面，
故AB，
又，、平面，
所以平面．
由知，，，两两垂直，
以为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，，，
若，，则，，
设平面的一个法向量为，
则
由题可得，
令，则，，得，
又，
，
解得或符合题意，
当或时，到平面的距离为．
6.如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．
若，且满足平面，求实数的值；
当点为边中点时，求点到平面的距离．
解：连接交于，连接
梯形中，，则，
由平面，平面，平面平面，
，
在中，
故即，所以．
设点到平面的距离为．
因为平面平面，平面平面，
在平面中，，，
所以平面．
建立如图所示空间直角坐标系，
，所以，．
设平面的一个法向量为，，
则有，即
令，有，
，
故点到平面的距离为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固点到直线的距离公式与点到平面的距离公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。第一章 空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第 2 课时 用空间向量研究夹角问题
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角；
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角；
3.理解二面角的夹角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．
重点：能用向量方法解决空间的夹角问题．
难点：体会向量方法在研究几何问题中的作用．
（一）创设情境
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.同学们，45度到底指的是哪个角呢？
想一想：空间角包括哪些角？用向量的方法如何求这些角？
师生活动：教师展示生活中空间角的实例，之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：用向量求异面直线所成的角——线线角
若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，，两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：先独立思考，再小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对异面直线所成角的知识的梳理，延伸至用方向向量所成角表示异面直线所成的角，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
总结：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，，则
任务2：利用向量方法求直线与平面所成的角.
探究：直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角关系是什么？
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳总结.
师生活动：小组内交流，并汇报展示，师生共同归纳.
设计意图：实现将直线和平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角的转化，突出重点，突破难点.
总结：直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则
任务3：用向量求两个平面的夹角.
1. 平面与平面所成的角
如图，平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
探究：设平面与平面的夹角为，两个平面的夹角与这两个平面的法向量的夹角有什么关系
要求：1.先独立思考1分钟；
2.学生代表进行展示汇报.
师生活动：学生独立思考，并汇报展示.
设计意图：实现将平面和平面所成的角与平面法向量所成角的转化，同时，培养了学生独立思考、解决问题的能力.
总结：若平面的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角，设平面与平面的夹角为，则
（三）应用举例
例1 如图1.4-19，在棱长为的正四面体中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向和夹角的余弦值.
用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
师生活动：首先教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量和的夹角.为此，选择为基底并表示向量和.
在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
追问2：请你通过向量运算，求出向量夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值.
师生活动：学生利用向量的数量积求出向量夹角的余弦值，从而解决问题.
解：化为向量问题以为基底，则
,
设向量和夹角为，则直线和夹角的余弦值为.进行向量运算
=
.
而和都是正三角形，所以，
所以，
回到图形问题. 所以，直线和夹角的余弦值为.
师生活动：教师引导学生梳理，得出求异面直线所成的角的两种方法：
(1)几何法
解决此类问题，关键是通过平移求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．
(2)向量法
利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即 .
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.
例2 设分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________.
解：转化为向量问题
建系如图，设，
则
进行向量运算
则
设平面的法向量为
故
令，则，
所以，
回到图形问题
所以与平面所成角的正弦值为|cos〈〉|＝＝.
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与平面所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与平面所成角的一般方法.
总结：求直线与平面的夹角的方法与步骤
(1)几何法
找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
(2)向量法
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③求平面的法向量；
④计算：设线面角为，则.
例3 如图1.4-22，直棱柱中，，为中点，分别在棱，上，.求平面与平面夹角的余弦.
分析：平面与平面夹角可以转化为平面与平面法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.
解：转化为向量问题
以为坐标原点，,所在直线为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为的夹角或其补角.
进行向量运算
平面的一个法向量为.
由题意，,所以.
设，则
所以, 取，则
回到图形问题
设平面与平面夹角为，则
，
即平面与平面夹角的余弦为.
师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.
设计意图：通过用向量方法求解一个空间平面与平面所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解平面与平面所成角的一般方法.
总结：求平面与平面的夹角的方法与步骤
(1)几何法
在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解二面角的平面角．
(2)向量法
①建立空间直角坐标系；
②求出两个半平面的法向量；
③设二面角的平面角为，则 ；若所求为平面与平面的夹角，则 .
④根据图形判断为钝角还是锐角，从而求出 (或其三角函数).
例4 已知四棱锥,在平行四边形中，为上的点，过的平面分别交于点,且平面.
求证：;
若为的中点，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
分析：（1）根据线面平行的性质定理以及菱形的性质即可得到；
（2）根据直线与平面夹角的正弦值，求出线段的长度，建立适当的空间直角坐标系，将平面与平面所成锐二面角的余弦值，转化为求平面和平面法向量夹角的余弦值问题进行求解.
(1)证明：如图1，
图1
连接交于点，
因为四边形为平行四边形，且，
所以四边形为菱形，所以．
因为平面，平面平面，
平面，
所以.
因为，所以．
(2)解：因为四边形为菱形，所以为的中点.
因为
所以.
因为,所以平面.
所以，∠SAO为直线SA与平面ABCD所成的角.
所以，，所以，,
所以，
因为，，所以，.
如图2，以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
图2
则
因为为的中点，所以，
因为
所以平面的法向量.
设平面的法向量
因为，则
即
取=，
设平面与平面所成锐二面角为，则
.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
（四）课堂练习
1.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值是 与平面所成角的正弦值为 ．
解：根据条件，建立空间直角坐标系，如图：
可知，
则，
则可得
由条件可知平面，则可知
是平面的一个法向量，
又，则可知，
设与平面所成的角为，
则．
2.在长方体中，，，是的中点．则( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
解：由题意，，A正确；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，B错误；
设平面的法向量为，，则，取，，
则，
又，所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
设平面的，则，
所以，取，则，
又，所以点到平面的距离为，D正确．
故选ACD．
3.如图，在四棱锥中，，，，，，，点为的中点．
证明：平面；
当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值．
解：证明：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面的直线向上方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：
则．
设，则由得
由图知，故解得，所以．
设，则，，，
因为，，
所以有，解得
故，则，
因为，易知平面的一个法向量，
因为，所以平面
由知，
因为直线与平面所成角为，且平面，
故有，
因为，故解得，所以，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
则平面的一个法向量
设平面的法向量为，
则有，令，则，
则平面的一个法向量
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
故，
即二面角的余弦值为．
4.如图所示的多面体中，底面为矩形，平面，平面，平面，，且，，，．
Ⅰ求的长；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
解：Ⅰ建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
设．
易得平面平面，
，又，所以为平行四边形，
由，得，
，，
，
则．
Ⅱ设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，
，，
由，可得．
又，
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
5.中，，，，分别是边，上的点，且，于，，将沿折起，点到达，此时满足面面．
若，求直线与面所成角大小；
若，分别为，中点，求锐二面角的余弦值．
解：解：，，，，
为的中点，，，，
，又平面平面，平面平面，平面，
则为直线与面所成角，
若，由，得，，，
，又，
，又是锐角，，
故直线与面所成角大小为；
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，分别为，中点，则，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
平面的一个法向量，
，
锐二面角的余弦值为.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，方向向量或法向量刻画了直线与平面的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，将直线、平面间的角度问题转化为求相应的方向向量、法向量的夹角. 进一步体会用向量解决立体几何问题的一般步骤.第一章 空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第3课时 空间向量的综合应用
1.理解利用空间向量解决立体几何问题的三步曲；
2.理解解决立体几何问题，可用的三种方法：几何法、向量法、坐标法；
3.理解如何求解直线上的相关动点坐标；
4.了解用空间向量法解决立体几何问题时，不一定非要建立空间直角坐标系，也可以建立空间基底，或直接进行向量线性运算.
重点：掌握利用空间向量解决立体几何问题的三步曲.
难点：会用解决立体几何问题的三种方法：几何法、向量法、坐标法．
（一）创设情境
复习回顾
问题1：如何利用空间向量表示直线与直线的关系？
预设答案：设,分别是直线l1∥l2的方向向量，
l1∥l2 ∥ λ∈R，使得=λ.
l1⊥l2 ⊥ =0.
问题2：如何利用空间向量表示直线与平面的关系？
预设答案：设是直线l方向向量,是平面α的法向量，
l∥α ⊥ =0.
l⊥α ∥ λ∈R,使得=λ .
问题3：如何利用空间向量表示平面与平面的关系？
预设答案：设,分别是平面α，β的法向量，
α∥β ∥ λ∈R ,使得 =λ.
α⊥β =0.
师生活动：教师提出问题，让学生回顾思考并回答.
设计意图：通过复习用空间向量表述直线、平面的平行与垂直关系，为接下来的学习打下铺垫.
（二）探究新知
任务1：回顾空间中距离问题
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
空间两点之间的距离
| |= =
点到直线的距离，两条平行直线的距离
PQ= =
点到平面的距离
PQ===
直线与平行平面的距离
两平行平面的距离
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
任务2：回顾空间中的夹角问题
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示.
用空间向量求两条直线l1,l2夹角θ的步骤与方法：
化为向量问题：①转化为求两直线l1,l2的方向向量u，v的夹角;
进行向量运算：②计算cos u，v =的值;
回到图形问题：③两条直线l1,l2夹角θ的余弦值cosθ=|cos u，v |
用空间向量求直线l 与平面α所成角θ的步骤和方法：
化为向量问题：①转化为求直线l 的方向向量u与平面α的法向量n的夹角;
进行向量运算：②计算cos u，n =的值;
回到图形问题：③直线l 与平面α所成角θ的正弦值sinθ=|cos u，n |
用空间向量求平面α与平面β的夹角：
化为向量问题：①转化为求平面α的法向量n1与平面β的法向量n2的夹角
进行向量运算：②计算cos n1，n2 =的值.
回到图形问题：③平面α与平面β的夹角为θ，则余弦值 cosθ=|cos n1，n2 |.
设计意图：通过两个任务，复习巩固用向量表示空间中的距离和夹角问题，让学生进一步掌握这些知识，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
（三）应用举例
例1 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
解：如图，
设水平面的单位法向量为n,其中每根绳子的拉力均为F,因为=30°,所以F在n上的投影向量为.所以8根绳子拉力的合力F合=8×=4.
又因为降落伞匀速下落，所以|F合|=|G礼物|=1×9.8=9.8(N).
所以4=9.8，所以|F|=(N)
设计意图：规范解题，作好学生的示范.特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题.
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点,作EF⊥PB交点F.
(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题1：本题主要涉及了立体几何中的几类问题？
直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角.
问题2：仔细阅读题目条件，你能得到什么启示？用什么样的方法解决本题？
由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题.
解：以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.
证明：连接AC，交BD于点G，连接EG.
依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，，).
因为底面ABCD是正方形,所以点G是它的中心，故点G的坐标为(，，0)，且=(1，0，-1)，=((，0， ).
所以=2，即PA∥EG.
而EG 平面EDB，而PA 平面EDB.
因此PA//平面EDB.
(2)证明：依题意得， B(1，1，0)，=(1，1，-1)，
又=(0，，)，故 =0+ =0.
所以 PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E,
所以 PB⊥平面 EFD.
(3)解：已知EF⊥PB，由(2)知DF⊥PB,
故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.
设F (x,y,z),则 =(x,y,z-1).
因为=k ,所以(x,y,z-1)=(k,k,-k),
即x=k，y=k，z=1-k.
设 =0 ，则(1,1,-1) (k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0，
所以k=,
所以点F(， ，). 又点E的坐标为(0，，),
所以=(-， ，-)
所以 cos∠EFD=,所以∠EFD=60°，
即平面 CPB 与平面 PBD 的夹角大小为 60°.
设计意图：认识直线上的动点是如何用坐标来研究并解决问题的,为以后提升空间几何问题的解题能力作铺垫.
【总结】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
①用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素-化为向量问题
②进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系-进行向量运算
③把运算结果“翻译”成相应的几何意义-回到图形
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.
解： 由题意可知AC=a，BD=b，CD=c，AB=d，所以
d2= =(++) =+ + +2 +2 +2 =a +c +b +2 =a +c +b 2
则2 =a +c +b d ,
设向量与的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角
因此 2abcosθ=a +c +b d ,所以cosθ=.
故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为.
【总结】利用空间向量解决实际问题
(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.
(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.
设计意图：通过例题，熟悉利用空间向量解决实际问题，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，求和所成的角．
解：以为原点，分别以射线，，为轴、轴、轴的非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为，则，，，，，， ，， ，，异面直线和所成的角是．
2.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，求直线与平面所成角的正弦值．
解：根据题意，可建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如下所示，
则，，，
于是，，，
设平面的法向量为，由
于是得到
解得，，
因此可设，
于是与所成夹角的余弦值为，
因此直线与平面所成角的正弦值即为．
3.直三棱柱，，，点分别为和的中点若二面角为直二面角，求的值．
解：以为坐标原点，分别以直线、、为，，轴，建立直角坐标系，如图，
设，则，于是，，，，，．
所以，，
，，
设是平面的法向量，
由，得，
令，可取，
设是平面的法向量，
由，得
令，则，
因为二面角为直二面角，
所以，
即，
解得．
4.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，记的重心为．
求点到平面的距离．
求平面与平面夹角的大小．
解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以的重心，，，，
设平面的法向量为，
，
取，则，，则，
所以点到平面的距离为：，
，设平面的法向量为，
，
取，则，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
又，
所以，
所以平面与平面的夹角为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固利用向量求直线与直线所成角、直线与平面所成角即两平面的夹角，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
①用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
②进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
③把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题的方法：综合法 ，向量法，坐标法.
设计意图:突出本节课的重点，利用向量法解题的三步曲；加强本节课对于向量法求解立体几何问题的新认知，即向量法解题可以建系用坐标运算法，也可以不建系用基底运算法，还可以用线性运算和数量积运算.

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