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第二章 直线和圆的方程
2.1.1倾斜角与斜率
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系.
难点：过两点的直线斜率的计算公式.
（一）创设情境
思考：通过白沙大桥和青山大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？
师生活动：教师给出图片，并提出问题，引导学生结合初中学习的几何知识进行回顾与思考.
设计意图：通过生活中的现实情境，提出问题，帮助学生建立倾斜角与斜率的概念，引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识，为直线倾斜角和斜率作知识上的准备.
（二）探究新知
任务1：倾斜角相关概念.
思考：(1)回顾平面几何的学习，我们研究图形的方法是什么？
(2)在平面直角坐标系中我们已经会用有序数对表示点的位置，那么如何表示直线呢 （提示：确定一条直线的几何要素是什么？）
(3)观察图中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？
答：(1)综合法：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算；
(2)根据直线的特征，由两点确定一条直线可知，确定一条直线的几何要素是：两个点或一点和一个方向；
(3)规定：平面直角坐标系中，水平直线的方向向右；
区别：各直线相对于x轴的倾斜程度不同；即直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同.
说一说：如何表示这些直线的方向呢？
总结：
定义：当直线与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°
倾斜角的范围：0°≤α<180°
作用：表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.
师生活动：教师提出问题，引导学生总结分析，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，几何的基本思想方法就是数形结合.再此基础上，教师进一步提出问题，如何用具体数据刻画直线的倾斜程度呢？引导学生进行下一个任务的学习.
点睛：倾斜角还可以这样定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
设计意图：由坐标系中的直线，让学生理解直线倾斜角和斜率的概念.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
任务2：斜率的相关概念
探究：前面学习了倾斜角的有关概念，试想直线与倾斜角之间还有怎样的关系？在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？
师生活动：先独立思考，再合作交流
答：对于问题(1)，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有
对于问题(2)，向量.
平移向量到，则点的坐标为，
且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有
对于问题(3)，一般地，当向量的方向向上时，
且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
同样，当向量的方向向上时，如图，，也有
思考：1.当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
答：不成立，此时，无意义.
2.当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
答：成立，此时，.
3.已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？
答：无关，当顺序改变时，，直线的斜率不变.
【概念形成】
斜率：综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即
.②
注意：当α=90°时，直线没有斜率.换句话说：任意一条直线都有倾斜角，但并不是任意一条
结合上述结果，说说当直线的倾斜角由 0°逐浙增大到 180°时，其斜率如何变化？为什么？
答：当倾斜角为锐角时，斜率为正数，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；
当倾斜角为顿角时，斜率为负数，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；
因为这是由斜率的定义式决定的，当时，随着倾斜角的增大，其正切值在 ，两个区间内分别逐渐增大.
总结：倾斜角和斜率之间的关系：
(1)由正切函数单调性，倾斜角不同的直线，斜率不同，故可用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向；
(2)若直线经过两点，，根据和 可得斜率公式
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画直线相对于x轴的倾斜程度.
思考：直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
答：若直线 l 经过两点，），
则直线 l 的方向向量的坐标为：，
总结：若直线 l 的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 则
设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线倾斜角和斜率概念的理解，提升概念运用能力.发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1如图，已知A(3，2)，B( 4，1)，C(0， 1)，求直线，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
分析：根据倾斜角的定义和两点间的斜率公式求解
解：直线的斜率；
直线的斜率；
直线的斜率.
由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；
由可知，直线的倾斜角为钝角.
方法技巧：求直线倾斜角的方法及关注点
定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
例2：已知两点A( 3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
分析：根据斜率和倾斜角的定义，运用数形结合的思想求解
解：如图，由题意可知，，
(1)要使与线段有公共点，则或，即直线的斜率的取值范围是.
(2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又的倾斜角是，的倾斜角是，
∴的取值范围是.
方法技巧：解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式解决；
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k=求解；
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.
设计意图：通过典例解析，进一步让理解直线倾斜角和斜率的概念，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想.
（四）课堂练习
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解：直线化为斜截式为，
故直线的斜率是，
直线的倾斜角满足，
结合，可得，
故选D．
2.经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解：，，
由斜率公式可得，
设直线的倾斜角为，
则，解得，
故经过，两点的直线的倾斜角为．
故选：．
3.已知直线：，下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线的法向量为
C. 直线的方向向量为 D. 直线的斜率为
解：因为直线：，
则直线的斜率为，
倾斜角满足
则，
直线的法向量为，方向向量为，
故选C．
4.若某直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：某直线的斜率，
则该直线的倾斜角满足，
由正切函数的性质可得，，
故选C．
5.如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则( )
A. B. C. D.
解：由图看出倾斜角大于小于，所以为负值，
倾斜角小于倾斜角并大于小于，所以，
倾斜角大于小于，所以为正值，
所以．
6.已知，，三点共线，则实数 ( )
A. B. C. D.
解：由题意，得
即 ，解得．
故选A．
7.过，两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
解：解法一：由直线上的两点，，得，
又直线的一个方向向量为，因此，
，解得，
故选C
解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，
所以，解得．
故选C
8.直线过点，，则直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：直线过点，，
则直线斜率，
直线斜率的取值范围是．
故选B．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
根据今天所学，回答下列问题：
回顾直线的倾斜角和斜率的定义；
说出过两点的斜率公式；
直线的方向向量与斜率之间有什么关系.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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