资源简介

第二章 直线和圆的方程
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.掌握两条直线平行的判定方法；
2.掌握两条直线垂直的判定方法；
3.结合具体的问题情境，掌握两条直线平行和垂直判定方法的应用.
重点：借助两直线倾斜角和斜率的概念，使用数形结合的方式，让学生准确快速的理解并掌握两直线平行和垂直的判定方法.
难点：在掌握两直线平行和垂直判定方法的基础上，通过具体的问题情境，让学生掌握相关判定方法的应用，提高学生的数学建模素养.
（一）创设情境
1.为了保证交通的畅通和安全，每个车道都应该设计成相互平行的.将每个车道看作是一条直线，如何判断两个车道是否平行呢？
2.在建筑中，为了确保结构的稳定性和安全性，很多构件（如墙与地面、梁与柱）都设计成互相垂直的结构.将房梁与承重柱看作是两条直线，用数学的思想，如何判定它们互相垂直呢？
师生活动：教师给出几个生活中常见的现象，并提出问题，引导学生结合生活实际对本节课的相关内容进行思考.
设计意图：通过日常生活中常见的事物，引出本节课的内容.使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，让数学变得不再枯燥乏味. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：两直线平行的判定方法.
思考：平面中的两条直线有哪几种位置关系？
答：相交和平行（相交和不相交）；
思考：前面我们已经学习了两条直线的倾斜角与斜率，你能尝试回忆它们的相关概念吗？
答：倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
思考：观察下图，思考这两条平行的直线之间，斜率存在什么样的关系？
答：由图可知，两条平行线，的倾斜角α1=α2，因为斜率k=tanα，所以这两条平行的直线之间斜率相等，即∥ =.
思考：两条斜率相同的直线，具有什么样的位置关系，你能将它们在平面直角坐标系中画出来吗？
答：由于两条直线的斜率相同，所以这两条直线的倾斜角也相同.即= ∥.
思考：你还有其他判定两直线平行的方法吗？设出两条直线的方向向量a，b，尝试证明= ∥.
答：设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别为a=（1，），b=（1，）.于是，∥ a∥b，由a∥b可得1×=1×，即=.所以证得= ∥.
思考：以上是直线斜率存在的情况，如果两直线的斜率都不存在，这两条直线是否也平行，请你画出图并证明.
答：画出如图所示图象，由于= = ，所以两直线的斜率都不存在.由于，都垂直于同一条直线x轴，显然存在∥.所以当两直线的斜率都不存在时，这两条直线也平行.
总结：
两直线平行的判定方法：
（1）对于斜率分别为，的两条直线，，有∥ =.
（2）当= = 时，直线的斜率不存在，此时∥.
师生活动：教师提出问题，引导学生思考.学生之间可以进行小组讨论，在此过程中，教师进行适当的纠正或者补充.通过回顾之前的学习内容，建立知识之间的联系，帮助学生更好的理解本节课内容.最后教师提出如何判定两直线平行，在同学讨论之后，及时给出相关的证明过程并做出知识点总结，引导学生进一步理解.
设计意图：通过练习之前学习的知识，建立知识点之间的联系，逐步引导学生探讨掌握两直线平行的判定方法，进而开始展开课程.
任务2：两直线垂直的判定方法
思考：平面中的两直线相交与斜率之间的关系
答：当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.
师生活动：教师提出问题，引出两直线垂直与斜率之间的关系：
教师提问：在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系
下面让我们探讨如何用斜率判定两直线是否垂直.
思考：使用向量法判定两直线是否垂直，设出两直线的方向向量a，b，尝试证明⊥ =-1.
学生回答：如图，直线，的倾斜角为= ，斜率为，，设直线的方向向量为a=（1，），直线的方向向量为b=（1，）.则⊥ a⊥b，由向量的知识可知，a⊥b a·b=0，即⊥ a·b=0.a·b=1×1+=+1，即⊥ =-1.
教师提问：还有没有其他方法证明⊥ = -1 请结合图形与三角函数的诱导公式进行证明.
学生回答：如图，直线，的倾斜角为，，斜率都存在，为，.=tan，=tan，当⊥时，=tan=tan( )= = = ，所以tan= ，即= ，= -1，所以⊥ = -1.反之亦然.所以⊥ = -1.
教师提问：我们以上都是讨论直线斜率全部存在的情况，请同学们思考一下，对于直线，，当其中一条直线的斜率不存在时，二者垂直的条件是什么？
先独立思考，然后小组之间进行讨论.
学生回答：当或的斜率不存在时，直线垂直于x轴，倾斜角为，那么另一条直线的倾斜角只能为，即垂直于y轴.此时，⊥仍旧成立.
总结：
两直线垂直的判定方法：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.即⊥ = -1.当直线或的倾斜角为时，若⊥，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然.
师生活动：教师通过提问的方式，使学生进一步思考两直线垂直时，其斜率之间有什么样的数量关系.之后在学生小组讨论的过程中，引导学生加入方向向量的概念，老师再根据学生讨论的结果，给出证明过程，之后帮助学生发散思维，结合图形与三角函数的诱导公式证明两直线垂直，最后与学生一起探讨斜率不存在的情况，然后最后做出知识点的总结.
任务3：探究两直线平行和垂直判定方法的应用和步骤
探究：已知原点为O，A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ，PQ与OQ的位置关系，并证明？
要求：先独立思考，再合作交流.
回答：具体步骤如下：
1.看图：根据图象，直接写出两直线的位置关系
2.计算：根据各点坐标，计算出每条直线的斜率
3.判定：根据本节所学知识点，判定两直线的位置关系
4.证得：根据判定的结果，证明自己的结论
答案：
根据图象可以看出，AB∥PQ，PQ⊥OQ.因为直线AB的斜率= ；直线PQ的斜率= ；直线OQ的斜率 = -2；所以=，· = -1，证得AB∥PQ，PQ⊥OQ.
设计意图：通过具体的问题，利用数形结合的方式，让学生掌握了两直线平行和垂直判定的应用.并且给出具体的解题步骤，帮助学生掌握解题方法.
（三）应用举例
例1：已知四边形M NPQ的顶点M（1，1），N（3，-1），P（4，0），Q（2，2），求证：四边形M NPQ为矩形.
解：根据矩形的定义，要证明四边形M NPQ为矩形，也就是要证明M N∥PQ，PN∥MQ，同时还要证明四边形M NPQ有一个内角为直角，即有相邻的两个边互相垂直，我们可以证明PQ⊥PN.
= =-1，= = -1，所以 =，证得M N∥PQ；
= =1，= = 1，所以 =，证得PN∥MQ；
﹒ = -1×1= -1，证得PQ⊥PN.最后证得四边形M NPQ为矩形.
例2：在平面直角坐标系内有两个点A（4，2），B（1，-2），若在x轴上存在点C，使∠ACB = ，则点C的坐标是（ ）
A.（3，0） B.（0，0）
C.（5，0） D.（0，0）或（5，0）
解：设C（，0），则 = ， = . ∵∠ACB = ，∴AC⊥BC，∴·= -1，则 = -1，解得=0或=5，∴点C的坐标为（0，0）或（5，0）.
总结：已知两线段的位置关系，求点的坐标问题时，首先，设出点的坐标为(x，y)；然后，带着未知参数x与y，求出两线段的斜率；最后，根据位置关系列出斜率之间的数量关系，计算出未知参数x与y即可.
例3：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)， 试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得AB边所在直线的斜率 = ，CD边所在直线的斜率 =
，BC边所在直线的斜率 = ，DA边所在直线的斜率 = .因为=，=，所以AB∥CD，BC∥DA.因此四边ABCD是平行四边形.
总结：题中并未直接给出四边形的形状.此时需要先根据顶点坐标，在平面直角坐标系中画图.然后再根据各边的斜率关系判断其几何关系.
例4：已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)， 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：直线AB的斜率 = ，直线PQ的斜率= . 因为= = -1，所以AB⊥PQ .
例5：已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状.
解：边AB 所在直线的斜率= ，边BC所在直线的斜率=2 . 因为= -1，得AB⊥BC，即∠ABC= . 所以△ABC是直角三角形.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.若A（-1，-2），B（4，8），C（5，x），且A，B，C三点共线，则x的值为（ ）
A. -2 B. 5 C. 10 D. 12
解：本题考查利用过两点的斜率公式解决三点共线问题.由题意，可知直线AB，AC的斜率存在并且相等，即，解得x=10，故选C.
2.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为B（3，2），C（1，0），D（0，1），则顶点A的坐标为（ ）
A.（2，3） B.（4，1） C.（2，4） D.（3，1）
解：设点A的坐标为（x，y），则= =-1，= ，= ， = = 1.在长方形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC，所以=，=，所以 = -1， = 1，解得x=2，y=3，代入验证满足长方形，所以顶点A的坐标为（2，3），故选A.
3.设A（5，-1），B（1，1），C（2，m），问是否存在正实数m，使△ABC为直角三角形
解：要使△ABC为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在.当A为直角时，则AC⊥AB，所以·=-1，即，解得m = -7＜0，舍去.同理，当B为直角时，m = 3；当C为直角时，m = 2或m = -2（舍去）.综上所述，存在正实数m = 3或m = 2，使△ABC为直角三角形.
4.若过点A（2，-2）和点B（5，0）的直线与过点P（2m，1）和点Q（-1，-m）的直线平行，则m的值为( )
A. -1 B. 1 C. 2 D.
解：由点A（2，-2）、B（5，0）得，过A、B的直线的斜率，过点P（2m，1）、Q（-1，-m）的直线的斜率，过点A（2，-2）、B（5，0）的直线与过点P（2m，1）、Q（-1，-m）的直线平行，，解得：m=1．故选：B.
5.已知的倾斜角为，经过点P（-2，-1），Q（3，m），若，则实数m=( )
A. 6 B. -6 C. 5 D. -5
解：由已知得直线的斜率 ，直线的斜率．因为，所以= -1，所以，即m=-6．故选B．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.若两条直线，的斜率分别为，则∥ =，⊥ = -1.
2.利用代数法研究几何问题时解析几何的基本方法.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

展开更多......

收起↑