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第二章 直线和圆的方程
2.2.1直线的点斜式方程
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程.
2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
（一）创设情境
在商场中，经常需要设计斜坡以方便轮椅、手推车等设备的通行.设计师可以根据斜坡起点的位置和所需的倾斜角度(考虑无障碍设施的标准)，来计算斜坡的其他数据.
我们将斜坡看作一条直线，现在知道这条直线上一个点的坐标，还知道这条直线的倾斜角度，你可以计算出这条直线的方程吗？
师生活动：教师进行情境引入并提出问题，引导学生思考确定一条直线所需的几何要素.
设计意图：通过创设与学生日常生活息息相关的情境，进而引入直线的方程的学习.鼓励学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，明白数学“来源于生活”又“应用于生活”的特点，激发学生的好奇心和求知欲.
（二）探究新知
任务1：直线的点斜式方程
思考1：(1)直线l的倾斜角是α，则直线的斜率k是 .
(2)已知直线上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则直线的斜率k是 .
答1：(1)当α≠90°时，k = tanα.当α= 90°时，斜率k不存在.
(2) k = .
师生活动：教师提出问题，帮助学生对学过的知识进行复习回顾.进而引导学生理解下面直线的点斜式方程的推导过程.
设计意图：通过复习回顾已学习过、与本节内容有联系的知识点，帮助学生进行知识的迁移，形成连贯的数学知识体系.
探究：如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k.设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，你能得到什么关系式？
答：当x≠x0时，由斜率公式可得，斜率k = .即=k (x-x0).
师生活动：教师提出问题，学生独立探究.根据以上复习回顾的内容能够准确得出答案.
设计意图：学生自主经历直线的点斜式方程的推导过程，发展学生数学运算、数形结合等数学能力.
思考2：(1)过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线l上的每一点都满足上述关系式吗？
(2)坐标满足上述关系式的每一点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线l上吗？
答：(1)通过公式的推导过程，可以发现过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线l上的每一点都满足上述关系式.
(2)设点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足上述关系式，则y-y0=k(x-x0).
当x1=x0时，y1=y0，这时点P1与点P0重合，显然有点P1在直线上.
当x1≠x0时，有k = ，这表明过点P1，P0的直线l1的斜率为k.因为直线l，l1的斜率都为k，且都过点P0，所以它们重合.故点P1在直线上.
总结：
直线的点斜式方程：方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
任务2：直线的点斜式方程的适用范围
探究：直线的点斜式方程能否表示平面直角坐标系中的所有直线呢？
要求：先独立思考，再小组合作交流.
提示：考虑直线与坐标轴平行或垂直的特殊情况.
答：不能.
如图，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，所以不能够用点斜式方程，但是通过画图观察能够得到直线方程为x=x0.
如图，当直线平行于x轴时，斜率存在且为0，适用直线的点斜式方程，通过画图观察或者直接利用公式，都可以得到直线方程为y=y0.
总结：直线的点斜式方程的适用范围为：斜率存在的直线.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再进行小组合作探究.教师课堂巡视，对学生进行适时点拨，引导学生考虑特殊情况，进而得出结论.
设计意图：采用数形结合的方法对特殊情况进行探究，体会“由特殊到一般”的数学思想方法；通过小组合作探究的方式，发展学生的合作学习能力.
任务3：直线的斜截式方程
探究：如果斜率为k的直线过点P0（0，b），则直线的方程是什么？
答：这时P0是直线l与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，
得y-b=k（x-0），即y=kx +b.
总结：
截距：我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
直线的斜截式方程：方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
提示：截距不是距离.截距是一个数值，可正可负可为零.
任务4：直线的斜截式方程与一次函数的关系
思考：（1）一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx +b？
（2）你能说出一次函数y=2x-1，y=3x及y=-x+3图象的特点吗？
答：（1）对于y=kx+b，从函数的角度看，它表示的是自变量x与因变量y之间的对应关系；而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系.
（2）一次函数y=2x-1，y=3x及y=-x+3的图象所对应的三条直线，它们的斜率不同，分别为2，3，-1；它们在y轴上的截距也不同，分别为-1，0，3.
师生活动：教师引导学生从直线方程的角度认识一次函数，把握二者之间的联系与不同.同时结合方程的形式，从斜率和截距角度得到一次函数图象的特点.
设计意图：将知识进行相互联系，完善知识体系结构，帮助学生进行知识迁移.
任务5：直线的平行与垂直
合作探究：已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2.
试讨论：(1) l1∥l2的条件是什么？(2) l1⊥l2的条件是什么？
要求：先独立思考，再小组合作交流.
答：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现 l1∥l2或 l1⊥l2时，k1，k2与b1，b2应满足的关系.
（1）若 l1∥l2，则k1=k2，又此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2.
反之，若k1=k2，且b1≠b2，则l1∥l2.
（2）若l1⊥l2，则k1k2=-1
反之，若k1k2=-1，则l1⊥l2.
注意：两直线的斜率之积为﹣1，则两直线一定垂直；两条直线的斜率相等，两直线不一定平行，还可能重合.
（三）应用举例
例1：直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
解：直线l经过点P0（-2，3），斜率k=tanα=tan45°=1，代入点斜式方程，可得y-3=x+2.
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1（x1，y1），例如，取x1=1，则y1=4，得点P1的坐标为（-1，4），过这两点的直线即为所求，如下图所示.
总结：（1）求直线的点斜式方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标，注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程.
（2）已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程.
（3）当直线垂直于x轴时，斜率不存在，直线方程为x=x0.
例2：写出斜率是-2，在y轴上的截距是4的直线的斜截式方程.
解：由已知条件代入直线的斜截式方程可得直线方程为y =-2x+4.
总结：（1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
（2）直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可.
（3）利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.
例3：判断直线：y = ，y = 是否平行或垂直.
解：由于两直线斜率相等且截距不同，可知两直线平行.
总结：（1）两直线的斜率之积为﹣1，则两直线一定垂直，反之也成立.
（2）两条直线的斜率相等，两直线不一定平行，还可能重合.
（3）两条直线的斜率相等，且截距不同，则两直线一定平行.
设计意图：巩固所学知识，强化学生对知识的理解与应用.
（四）课堂练习
1.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
解：由题意可得直线方程为：，
化为：，
故选：A.
2.已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
解：由题意直线的倾斜角为，得到斜率为，可得直线的方程为，
令可得即直线在轴截距为．
故选A.
3.直线的斜率和它在轴上的截距分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
解：直线化为．
直线的斜率和它在轴上的截距分别为， ．
故选：C.
4.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
解：由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为．
故选：B.
5.已知直线：与：如图所示，则有( )
A. B. C. D.
解：设直线、的倾斜角分别为，，
由题图可知，所以，
又，，所以，
故选A.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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