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第二章 直线和圆的方程
2.2.2直线的两点式方程
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围；
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；
3.通过直线方程的两点式和斜截式的学习与应用，进一步提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
重点：直线方程两点式和截距式.
难点：两点式和截距式推导过程的理解.
（一）创设情境
在植树时，可以将每一行树近似地看做一条直线，只要确定两个树坑的位置，就能够确定这行树所在的直线.生活中“两点确定一条直线”的例子随处可见，那么在直角坐标系内，怎么通过两点确定一条直线的呢？
师生活动：老师给出生活中的例子，引导学生结合实际进行思考并进行回答.
设计意图：通过生活经历，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：建立直线的两点式方程
思考：如果有一条直线l过A(-2，2)和B(3，-3)两点，求直线的方程？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：直线l的斜率k ＝ ＝ －1，代入直线的点斜式方程y－＝k (x－)可得y－(－3) ＝ －1 (x－3)，所以此直线的方程为y+3＝－x+3，即x+y＝0 .
思考：已知直线 l 经过任意两点，其中 ，如何求直线 l 的方程？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：由于，直线l的斜率为k ＝ .任取， 中的一点，我们取 ，由直线的点斜式方程，得 y －＝ (x－)，当时，上式可以写为.这就是经过两点(其中 )的直线方程.我们称 为直线的两点式方程，简称两点式.
师生活动：教师提出问题，引导学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，最后求出直线方程.通过直线的点斜式方程得出了直线的两点式方程.
思考：我们通过直线的点斜式方程得出了直线的两点式方程，同时得出了两点式方程成立的条件.如图所示.如果不使用点斜式方程，你能否得出两点式方程呢？
提示：在直线l上任取一点，则中任意两点所在的直线斜率存在什么关系呢？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：由于同一条直线上，任意两点组成的线段之间，斜率都相等.设点 P (x，y)为直线 l 上任意一点，则线段P与线段的斜率相等，所以 ，整理得 .(其中 )
思考：我们已经知道了直线 的两点式方程成立条件是且，那么当 时，直线的方程是什么样的呢，你可以在平面直角坐标系中画出来吗？当 时呢？
答：
当 时，直线垂直于x轴，直线方程为x-0，即x=.
当 时，直线垂直于y轴，直线方程为y-0，即y=.
师生活动：教师提出问题，引导学生通过画图、观察，进行总结分析，得出和时的直线方程.
设计意图：使学生懂得两点式的适用范围和当已知的条件不满足两点式的条件时它的方程形式.
总结：
定义条件 两点(其中 )
方程
范围 不能表示与两坐标轴垂直的直线
其他情形 直线垂直于x轴(斜率不存在) 直线垂直于y轴(斜率为0)
图示 方程 直线方程为 x－＝0， 即x＝. 图示 方程 直线方程为 y－＝0， 即y＝.
任务2：截距式方程
探究：已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程.
解：将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得： ，即： +1，所以直线的方程为： .
师生活动：教师提出问题，引导学生进行思考，以便引出新知识.
【概念形成】
我们称直线l 与x轴的交点A(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，直线l 与y轴的交点B(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.由于直线的方程是由A(a，0)，B(0，b)确定的，所以我们称其为直线的截距式方程，简称截距式.
思考：截距式方程不适用于什么直线？
答：截距式方程不能表示过原点的直线方程以及与坐标轴垂直的直线方程.
特 殊 情 况 特点 直线l⊥x轴 (纵截距不存在) 直线l⊥y轴 (横截距不存在) 直线l经过原点 (截距都为0)
图示
方程 x＝a y＝b y＝kx
思考：你能总结出两点式方程与截距式方程有什么联系和区别吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
总结：
两点式 截距式
联系 截距式方程是在两点式方程的基础上推导出来的，是当两点分别位于x轴与y轴上时，两点式方程的特殊形式. 两者均不可表示垂直于x轴或y轴的直线.
区别 具有一般性，当且时，可以根据直线上任意两点表示出来. 具有特殊性，只能基于直线与坐标轴的交点来表示，且不能表示过原点的直线.
师生活动：教师提出问题，引导学生通过画图、观察，最后进行总结分析.
设计意图：使学生理解截距式的适用范围.
（三）应用举例
例1：求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．
解：当m=3时，直线垂直于x轴，方程为y=3；
当n=2时，直线垂直于y轴，方程为x=2
当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为 .
总结：(1)含有参数时，求直线方程，需要进行分类讨论；
(2)当两点纵坐标相同时，直线垂直于x轴，当两点横坐标相同时，直线垂直于y轴；
(3)最后代入两点式公式，直接求解.
例2：已知△ABC 的顶点分别是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线AM所在直线的方程.
解：过B(3，-3)，C(0，2)的两点式方程为： ，整理得：5x+3y 6=0，所以BC边所在直线的方程为：5x+3y 6=0，由中点坐标公式，得M ( ).过点A(-50)M ()的直线方程为 ，整理得BC边中线所在直线的方程为：x+13y+5=0.
例3：求经过点P(－5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
解：当截距均为0时，设方程为y＝kx，把P(－5，4)代入上式得k＝－ ，即直线方程为y＝－ ，当截距均不为0时，设直线方程为1，把P(－5，4)代入上式得a＝－1，即x+y+1=0. 综上，直线方程为y＝－ 或x+y+1＝0.
总结：直线方程形式的选择：
(1)当已知普通两点时，宜采用两点式；
(2)当两点为直线与两坐标轴交点时，宜采用截距式；
(3)已知斜率与一点时，宜采用点斜式；
(4)已知斜率与y轴上的截距时，宜采用斜截式.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.过两点(2，-4)和(4，0) 的直线在y轴上的截距为( )
A. 8 B. -8 C. 7 D. -7
解：直线过点点(2，-4)和(4，0)，
直线的两点式方程为，
化简可得2x - y - 8=0，
令 x = 0 可解得 y = -8，
故直线在y轴上的截距为-8.
故选：B.
2.与已知两点共线的点是( )
A.(1，-1) B.(1，0) C.(1，1) D.(1，-2)
解：过两点的直线方程为 ，
即 ，当时，，所以(1，-1)在直线上，
所以与已知两点共线的点是(1，-1)．
故选A．
3.已知，经过两点的直线方程都可以表示为( )
A. B. C. D.
解：当都不为时，所有经过两点的直线方程均可以用表示，
即，当，中有一个为时，只有选项C符合题意，故选C．
4.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为 ( )
A. B. C. D.
解：由题意可知.A、B的中点坐标为，又点，
所以△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为： ，
即.
故选A．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
直线方程的两种形式
名称 条件 方程 适用范围
两点式 ()，() (其中，) 不垂直于x轴、y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a 和在y轴上的截距b . 不垂直于x轴、y轴且不过原点的直线
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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