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第二章 直线和圆的方程
2.2.3直线的一般式方程
1.明确直线的一般式方程的概念，会在直线的不同形式之间进行转化.
2.了解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，会进行分类讨论，了解确定类的依据.
3.明确直线的一般式方程的几种特殊情况，以及对应的系数的取值情况.
重点：直线的一般式方程的概念，直线的不同形式之间的转化.
难点：进行分类讨论，了解确定类的依据.
（一）创设情境
我们之前学过了四种直线方程，你能分别说出它们的使用范围是什么吗？
点斜式方程 斜率k必须存在才可以
斜截式方程 是点斜式的一种特殊情形，斜率k必须存在才可以.
两点式方程
截距式方程 ，且不能表示过原点的直线.
能否找到一种直线方程，它可以表示任何的直线呢？
师生活动：教师给出直线方程的不同表达形式，并提出问题，引导学生进行思考，总结规律.
设计意图：通过对已经学过的知识进行总结，引导学生进行思考，充分发挥学生的主体作用，有助于锻炼学生的总结概括能力，为本节课内容做铺垫.
（二）探究新知
任务1：直线与二元一次方程的关系
思考：1.根据前面学习的直线方程形式，分别使用点斜式、截距式、两点式和斜截式，求出对应的四个直线方程.
斜率是1，经过点(1，8)；
在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；
经过两点(-1，6)，(2，9)；
在y轴上的截距是7，倾斜角是.
答：以上的答案分别是：y-8=x-1；；；y = x+7.
将以上四个式子化简之后得：；
我们发现，这四个方程都表示的是同一条直线.都是关于x，y的二元一次方程的形式.
思考：2.平面直角坐标系中的任意一条直线，都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
请同学们分组讨论：
根据直线l斜率的存在与否分类进行讨论，并说明理由.
答：对于任意一条直线l，在其上任取一点，当其斜率存在时，直线方程为 .显然，这是关于x，y的二元一次方程.当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为0 ，也可以认为是关于x、y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示.
思考：3.任意一个关于x、y的二元一次方程 Ax+By +C = 0( A、B不同时为0)都表示一条直线吗？
答：当B0时，方程Ax+By +C = 0可变形为 ，它表示过点 ，斜率为的直线 ；当B=0时，A0，方程可变形为 ，它表示过点，且垂直于x轴的直线.平面上任一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示；反之，任何一个关于x、y的二元一次方程都可以表示一条直线.
设计意图：通过引导学生对平面直角坐标系中的任意一条直线进行思考，让学生对问题进行分类讨论，发挥学生的课堂主体作用，使学生在思考中得出一般性的知识结论.
任务2：直线的一般式方程
【概念形成】
我们把关于x、y的二元一次方程
叫做直线的一般式方程，简称一般式（其中A、B不同时为0）.
注意：
(1)直线的一般式要满足 A，B不同时为0
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
(3)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
探究：在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合.
答案：(1) A=0 且，，方程变为 ，表示直线平行于x轴；
(2) B=0 且，，方程变为 ，表示直线平行于y轴；
(3) A=0 且，，方程变为 ， 表示直线与x轴重合；
(4) B=0 且，，方程变为 ， 表示直线与y轴重合.
师生活动：教师提出问题，并引导学生进行思考，教师可适当进行补充提醒.
设计意图：通过教师提出问题，引导学生进行定向思考，充分发挥学生主动性，引导学生总结概括规律.
（三）应用举例
例1：已知直线经过点A(6，-4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，化为一般式，得.
总结：已知直线过一点即斜率，求一般式方程的解题步骤：
第一步：根据已知条件求出直线的点斜式方程；
第二步：将点斜式方程化简为一般式方程；
第三步，将经过的点代入一般式方程进行检验.
例2：把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在x轴和y轴上的截距，并画出图形.
解：把直线l的一般式方程化为斜截式，因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程中，令y=0，得，即直线l在x轴上的截距是-6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为，过A、B两点作直线，就得直线.
总结：一般式方程与其他形式转化：
在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了；
其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化；
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一.因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
例3：把直线：2x+(a-1)y+1=0，直线：(a+4)x+3y+3=0 .
（1）若∥，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值 .
解：（1）因为∥ ，所以3×2-(a-1)(a+4)=0，整理得+3a -10=0，即(a-2)(a+5)=0，解得a = 2或a = -5，
当a = 2时，：2x+y+1=0，：6x+3y+3=0.此时，与重合，不符合题意.
当a = -5时，：2x-6y+1=0：-x+3y+3=0，符合题意.故a = -5 .
（2）因为，所以2(a+4)+3(a-1)=0，解得a = -1.
总结：
斜截式 一般式
方程
相交
垂直
平行 或
重合 ，且
例4：已知直线 l 过点(1，2)，求满足下列条件的直线方程
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2) A(-1，-1)，B(3，1)到直线 l 距离相等.
解：(1)若直线过原点，则设为y=kx，则k =2，此时直线方程为y =2x；
当直线不过原点时，设方程为，即x+y=a.此时a=1+2=3，则方程为x+y=3，
综上，所求直线方程为x+y=3或2x-y=0.
(2)当斜率不存在时，直线方程为x=1，经过AB中点(1，0)，符合题意.
当斜率存在时设为，由A(-1，-1)，B(3，1)到直线 l 距离相等可得 AB∥.所以 .直线方程为即x -2y+3=0，
综上，所求直线方程为x =1或 x -2y+3=0.
总结：求直线方程时方程如何设？
1.已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式；
2.已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式；
3.已知直线上两点的坐标时选用两点式；
4.已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用截距式.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.下列直线经过第一象限且斜率为的是( )
A. B. C. D.
解：设满足题意的直线方程通式为： ，因为直线经过第一象限，所以，转化为一般式，.故选：．
2.下列说法中，
若两直线平行，则其斜率相等
若两直线斜率之积为，则这两条直线垂直
若直线与直线垂直，则．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
解：若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，故①错误；若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，故②正确；若直线ax+y+1=0与直线x-a y+1=0垂直，则a×1-1×(-a)=0，aR ，故③错误.故选：A.
3.是直线和平行的 条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
解：当时，两直线分别为：，，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则，，综上所述，是两直线平行的充要条件．故选C．
4.直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 ．
解：因为直线 的斜率是，所以直线的斜率是，所以直线的方程：
，令，可得；令，可得，所以直线与，轴围成的三角形面积为．故答案为：1.
5.若直线与直线平行，则实数的值为 ．
解：由直线与平行，得，解得或，当时，直线的纵截距为 ，直线的纵截距为，则，
当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则直线 重合，所以实数的值为-2．
故答案为：-2．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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