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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
8.1数学广角-数与形
（知识梳理+专项练习）
知识点一、算术中的规律
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1＝1；
11×11＝121；
111×111＝12321；
1111×1111＝1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
①一个数乘11，101的规律
一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．
如：123×11＝1353
一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．
如：58734×101＝5932134
②一个数乘5，15，25，125的规律
一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．
如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140
这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．
如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法．
一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．
如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960．
这种情况可以概括为“添0补半”
一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．
如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000．
知识点二、数列中的规律
按一定的次序排列的一列数，叫做数列．
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．
例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；
1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．
例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；
1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．
（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．
例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．
（4）相邻两数的关系中隐含着规律．
例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…
知识点三、“式”的规律知
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
知识点四、数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
一、选择题
1．照下图这样画下去，第10个图形有（ ）个●。
A．54 B．55 C．56
2．有一数列：、、、、......第8个数是（ ）．
A． B． C． D．
3．由“某出版集团”出版的《挑战名牌初中》一书共230页，那么编页码时需要的数码总数是（　　）
A．700 B．582 C．577 D．230
二、填空题
4．找出下面数列的规律，然后填空。
100，81，64，( )，36，25，( )，9，4，1。
5．观察下图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼在一起可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人，5张桌子拼起来可以坐( )人，38人需要( )张桌子拼起来。
6．一张正方形桌坐4个人（每个圆圈表示1个人），两张桌子排在一起能坐6个人，按照这样的规律，8张桌子排在一起，能坐( )个人。21教育网
7．照下面的方法摆三角形，摆1个需要3根小棒，摆2个需要5根小棒，摆3个需要7根小棒，摆10个需要( )根小棒。【版权所有：21教育】
三、判断题
8．3个人互相打电话，每2个人都要通，一共要通话6次。( )
9．一个数列为：1，2，3，1，2，3，…按这样的顺序排下去，第20个数是3．
10．8个点可以连成20条线段。( )
四、计算题
11．直接写出得数。
28.5－0.85 2.4＋1.2÷4＝
9×70%＝ 1＋3＋5＋7＋9＋…＋21＝
五、解答题
12．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
①第5个图形中有多少颗黑色棋子？
②第几个图形中有2013颗黑色棋子？
13．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。
① ② ③
（1）观察图形，完成表格。
图号 ① ② ③ ④ …
阴影部分边长（厘米） 1 2 3 …
最外圈正方形个数（个） 8 12 16
（2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？
14．摆一个六边形要用6根小棒，连摆两个六边形要用11根小棒，连摆三个六边形要用16根小棒……照这样摆下去．21世纪教育网版权所有
(1)连续摆n个三角形，要用多少根小棒？
(2)当n=100时，需要多少根小棒？
(3)如果有101根小棒，可以连摆多少个这样的六边形？
15．如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去。2·1·c·n·j·y
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数
（2）如果剪了20次，共剪出多少个小正方形？
（3）观察图形，你还能发现什么规律？
16．小明把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：
（1）一共有多少个巧克力棒？
（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

参考答案：
题号 1 2 3
答案 B C B
1．B
【解析】第1个图形有1个●；
第2个图形有1＋2个●；
第3个图形有1＋2＋3个●；
第4个图形有1＋2＋3＋4个●；
第n个图形有1＋2＋3＋4＋……＋n个●；
据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）×5
＝11×5
＝55（个）
第10个图形有55个●。
故选：B。
【点睛】根据前四个图形找出规律，再根据规律来解答问题。
2．C
【详解】略
3．B
【分析】本题可根据自然数的排列规律及数位知识进行分析．
【详解】在1～230中，个位数共有9个，需要数码9个；
两位数共有90个，需要数码90×2=180个；
三位数共有131个，需要数码131×3=393个；
共需要数码：9+180+393=582（个）．
即编页码时需要的数码总数是582个．
4． 49 16
【分析】100可以看成10乘10，81可以看成9乘9，64可以看成8乘8，36可以看成6乘6，数列中的每一个数依次是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1的平方。
【详解】
【点睛】本题也可以根据相邻两个数的差进行推理，相邻两个数的差分别是19、17、15、13、11、9、7、5、3，构成等差数列。21·世纪*教育网
5． 12 18
【分析】由图示可知，一张桌子可以坐4人，两张桌子增加了2人，可以坐6人；3张桌子又增加了2人，可以坐8人；以此类推，则第n张桌子可以坐（2n＋2）人。可令n＝5，即可求出5张桌子拼起来能坐多少人；再令2n＋2＝38，解这个方程，即可求出38人需要几张桌子拼起来。www-2-1-cnjy-com
【详解】一张桌子 4人
两张桌子 6人
三张桌子 8人
四张桌子 4＋3×2
n张桌子 4＋（n－1）×2＝4＋2n－2＝2n＋2（人）
令n＝5，
2n＋2
＝2×5＋2
＝10＋2
＝12（人）
解：设38人需要x张桌子拼起来，
2n＋2＝38
2n＝36
n＝18
【点睛】可先根据题意总结出桌子的张数与可坐人数的一般关系式，再代入问题中桌子的张数，求代数式的值；最后套用关系式，用解方程的办法计算出需要几张桌子。
6．18
【分析】观察三个图形得到一张正方形桌子可坐4人，二张正方形桌子可坐（4＋2×1）人，则每增加一个桌子就可多坐两个人，于是得到n张正方形桌子可坐[4＋2（n－1）]人。
【详解】由分析可得：
4＋2×（8－1）
＝4＋2×7
＝4＋14
＝18（人）
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。21*cnjy*com
7．21
【解析】略
8．×
【分析】由于每个同学都要和另外的2个通一次电话，一共要通：3×2＝6（次）；又因为两个同学只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：6÷2＝3（次），据此解答。
【详解】（3－1）×3÷2
＝6÷2
＝3（次）
则一共要通话3次。故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：通话次数＝人数（人数－1）÷2解答。
9．×
【详解】20÷3＝6（组）…2（个）
每组中的第2个是2，所以第20个数是2．
故答案为×
10．×
【分析】3个点连成线段的条数： 1＋2＝3（条），4个点连成线段的条数：1＋2＋3＝6（条），5个点连成线段的条数： 1＋2＋3＋4＝10（条），由此得出规律：n个点的线段数是： 1＋2＋3＋4＋……＋ n－1条线段，据此规律解答即可。21cnjy.com
【详解】8个点可以连成线段数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（条），所以本题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查探索规律，解答本题的关键是根据数形结合的思想，在草稿纸上画出几个点，然后得出规律，根据规律解答问题。21教育名师原创作品
11．27.65；0.5；2.7；；
0.25；6.3；；121；
【详解】略。
12．①18颗
②第670个图形
【分析】观察图形可知，后一个图形中黑色棋子数比前一个多3，由此可得出第n个图形有3（n＋1）个棋子，据此解答。21*cnjy*com
【详解】①3×（5＋1）
＝3×6
＝18（颗）
答：第5个图形中有18颗黑色棋子。
②解：设第x个图形中有2013颗黑色棋子。
3x＋3＝2013
x＝670
答：第670个图形中有2013个棋子。
【点睛】此题主要考查了数与形，找出图形的变化规律是解题关键。
13．（1）见详解；（2）78.5平方厘米
【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。
（2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。
【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2
图②的最外圈正方形个数：12＝4×3
图③的最外圈正方形个数：16＝4×4
……
图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个
因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，
所以图n的阴影部分的边长为n厘米，
当n＝4时，
4×4＋4
＝16＋4
＝20（个）
图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。
如下表：
图号 ① ② ③ ④ …
阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 …
最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 …
（2）图⑩的阴影部分边长为10厘米，
3.14×（10÷2）2
＝3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
14．(1)(5n+1)根 (2)501根 (3)20个
【详解】(1)(5n+1)根
(2)n=100时，5n+1=5×100+1=501(根)
(3)5n+1=101
5n=100
n=20
即可以连摆20个这样的六边形．
15．（1）见详解；
（2）61个；
（3）见详解
【分析】（1）剪1次时，这大正方形被分成4个小正方形，第2次将其中的一个小正方形再剪成4个小正方形，此时正方形的个数是4＋3＝7个，第3次，再在第2次的基础上将其中的一个最小的正方形剪成4个更小的正方形，那么此时正方形的个数是3＋3＋4＝10个，由此可知每剪一次，正方形的个数在前一次的基础上增加3个，据此给10加3即可求出第4次共有13个正方形，第5次在第4次的基础上增加3个正方形，此时正方形的个数是13＋3＝16个。21·cn·jy·com
（2）根据（1）中表格的数据，剪出的正方形个数是次数的3倍多1，求剪20次时剪出小正方形的个数，给20乘3，再加1即可求出个数。www.21-cn-jy.com
（3）根据剪出的正方形个数与剪的次数的关系，可以总结剪了n次后，把小正方形的个数用含n的式子来表示。【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】（1）3＋4＝7（个）
7＋3＝10（个）
10＋3＝13（个）
13＋3＝16（个）
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数/个 4 7 10 13 16
（2）20×3＋1
＝60＋1
＝61（个）
答：如果剪了20次，共剪出61个小正方形。
（3）答：我发现每剪一次会比上一次多3个正方形，如果剪n次，正方形的个数为3n＋1。
16．（1）30个（2）27个（3）22个
【分析】（1）从上往下数出巧克力棒的个数即可求解；
（2）观察图形：①三角形顶点向上的三角形个数：以一个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＋4＝10个；以两个巧克力棒为边的有：1＋2＋3＝6个；以3个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＝3个；以4个巧克力棒为边的三角形有1个；2-1-c-n-j-y
②三角形顶点向下的有：以1个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＝6个；以两个巧克力棒为边的三角形有：1个。由此利用加法原理即可求得图中的三角形个数；
（3）先数出嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后减少的三角形的个数，再相减即可求解。
【详解】（1）（1＋2＋3＋4）×3
＝10×3
＝30（个）
答：一共有30个巧克力棒。
（2）根据题干分析可得：
①三角形顶点向上的三角形个数：以一个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＋4＝10个；以两个巧克力棒为边的有：1＋2＋3＝6个；以3个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＝3个；以4个巧克力棒为边的三角形有1个；【来源：21cnj*y.co*m】
②三角形顶点向下的有：以1个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＝6个；以两个巧克力棒为边的三角形有：1个。共构成了10＋6＋3＋1＋6＋1＝27（个）【出处：21教育名师】
答：这些巧克力棒共构成了27个三角形。
（3）27﹣（2＋2＋1）
＝27﹣5
＝22（个）
答：剩下的图形中还有22个三角形。
【点睛】考查了组合图形的计数。此类问题，要分类进行计数，避免重复或漏缺。
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" 21世教育网(www.1cnjy.com)

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