资源简介

教学设计
椭圆及其标准方程
一、内容和内容解析
（一）内容
椭圆及其标准方程
（二）内容解析
解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
二、学生学情分析
这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
三、目标和目标解析
（一）目标
1.通过实验中抽象出椭圆的定义；
2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；
3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
重难点：
1.通过实验中抽象出椭圆的定义；
2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；
（二）目标解析
1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；
2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；
3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。
四、教学问题诊断分析
（一）教学的第一个问题可能是椭圆是怎样画出的。教学中通过椭圆与圆的关系，让学生观察与操作，利用平面截圆锥的动态演示及利用细绳画椭圆，建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。
问题解决方案：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作完善定义。
（二）教学的第二个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简。
问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。
（三）教学的第三个问题可能是焦点在轴椭圆方程的得出。
问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，类比焦点在轴的推导过程，发现与互换的特点，从而利用焦点在轴上椭圆的标准方程得到焦点在轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。基于以上分析，确定本节课的教学难点是：椭圆标准方程的推导与化简。
五、教学策略分析
本节课的设计力图体现“教师为主导，学生为主体”的教学设想，在教学过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、分析、推理、交流、合作、小结、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，激发学生学习数学的热情和兴趣。
六、教学支持条件分析
根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用一个平面截圆锥，圆的画法，椭圆的作图过程，天体的运行轨道等用动态演示，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
七、教学过程分析
教学环节 教学程序（师生双边活动） 设计意图
导入目标 （3分钟） 用一个平面截圆锥的情况，(动画演示)，如果用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥，截口曲线是圆，若改变平面与圆锥轴线的夹角，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，我们通常把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为——圆锥曲线。而把圆锥曲线作为课本的封面，足以说明圆锥曲线在本册书乃至整个高中数学的内容中，占重要地位。 利用多媒体展示一些生活中的图片.如卫星运行轨迹，汽车储油罐横截面的外轮廓线，椭圆形机翼飞机等等， 设问:学生自己找出身边一些椭圆形状的物品。 引入课题--椭圆 数学核心素养的培养目标： 1.数学抽象能力的培养： （1）从实验中抽象出椭圆的定义； （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。 2.数学运算和数据分析能力的培养： （1）通过椭圆标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力； （2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能欣赏数学的“简洁美”。 3.直观想象和数学建模能力的培养： （1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣； （2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合的思想； （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流意识。 通过互动，激发学生学习椭圆的兴趣，提升学习的热情，使学生初步认识椭圆的形状。
自主释疑（10分钟） 知识点一： 那么椭圆怎么画呢？下面大家合作一起来做个实验。 一、请同学们拿出事先准备好的自制教具：硬纸板、细绳、图钉、铅笔等，同桌一起合作做数学实验. 实验1.现在请同学们将细绳的两端拉开一段距离，分别用图钉固定在纸板的F1和F2处，拉紧细绳，移动笔尖一周，看看笔尖画出轨迹是什么图形？（椭圆） 问：动点P满足的几何条件是什么？ 实验2.现在改变F1、F2之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形是椭圆吗？（线段） 实验3.若F1、F2之间的距离大于绳长，还能画出图形吗？ 几个实验给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，增加了趣味性。并且得出结论，只有当绳长大于两定点之间的距离画出的图形才是椭圆，而且是在平面内.
椭圆准确定义. 问：根据刚才画椭圆的实验，你觉得应该怎么给椭圆下定义？ 定义：平面内与两定点的距离之和等于常数 (>)的点 的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦 距,记=. 问：仔细的阅读一下定义？你觉得椭圆的定义中要注意什么？ 得到椭圆定义之后进一步认识条件： 思考：为什么要满足>呢？当=， <时，轨迹又是什么？ 通过层层设问，让学生得出结论，即： 结论：①当>时，是椭圆； ②当=时，是线段；③当<时，轨迹不存在. 通过观察、推理，层层深入，借助动画演示，让学生理解椭圆定义条件，同时又突破了重点.
合作探究椭圆的标准方程（12分钟） 知识点二： 思考：刚才我们从形的角度研究了椭圆，那么能不能定量研究椭圆？ 回顾：求曲线方程的一般方法？（建系、设点、列式、化简） 设疑：如何恰当的选择坐标系，才能使椭圆的标准方程尽量简单呢？ 合作探究： 类比圆的标准方程推导过程，用坐标法推导椭圆的标准方程(如何建立直角 坐标系）. 方案1：（如图1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立直 角坐标系. 方案2：（如图2）以所在的直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系。 图1 图2 方程： 请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；令要渗透数学对称美教学. 教师引导强调（突破重、难点）： ① ②（要区别与习惯思维下的勾股定理）. 给学生较多时间思考问题，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。教师结合猜想利用定义加以引导，让学生根据自已的经验来确定得出只有焦点放在坐标轴上时且关于原点对称时建立的方程比较简单。
教师引导强调： ①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？学生回答：可以两边平方。 ②教师问：对于本式是直接平方好呢，还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现直接平方不利于化简，而移项后再平方，最后能得到圆满的结果。 通过精心设问突破了椭圆方程推导的难点，深化了学生的探索活动。
例题讲解（10分钟） 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-2，0)，(2，0)并且经过点 , 求它的标准方程. 例2.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距. （1） （2） （3） （4） （1）学生达到对定义的熟练运用;(2)椭圆方程的应用，主要是三者之间的关系.
当堂检测 （8分钟） 1.求适合下列条件的椭圆标准方程: （1）两个焦点的坐标分别为，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10 . （2）两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点. 2.平面内两定点距离之和等于8，一个动点到这两个定点的距离之和等于10，建立适当坐标系写出动点的轨迹方程. 通过课堂练习，使学生进一步巩固知识，运用知识
小结和作业布置（2分钟） 1.一个定义：（椭圆的定义） 2.二类方程：（焦点分别在轴、轴的上的两个标准方程） 3.三个意识：（求美意识，求简意识，猜想意识） 小结时引导学生归纳，突出重点，巩固新知，形成知识网络.
1.写出适合下列条件的椭圆标准方程： （1） =4, =1,焦点在轴上.（2） =4, =3,焦点在轴上. 2.教材P42页 3,4题. 3．研究性题： 思考：反思画图，观察椭圆上的点到焦点的距离最大最小的点是哪个点？并用数学方法加以证明. 体现分层教学，因材施教
八、板书设计
椭圆及其标准方程
椭圆的定义 椭圆的标准方程 求椭圆标准方程的方法 椭圆标准方程的推导 例1

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