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24.4 弧长和扇形面积
教学目标：
1、经历弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算.
2、通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题及计算的能力.
3、通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力．
重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用．
难点：对图形的分析
教学过程：
活动一：创设情境，引入课题
问题1 如图，在运动会的400米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
,.
设计意图：从现实生活中创设情境，有助于激发学生的求知欲，提高学生的学习兴趣。
问题2：你还记得圆周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？
设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长.
教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．
师生活动：教师提出问题后，学生认真思考，学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；
∴的圆心角所对的弧长为.
∴弧长公式为：
注：不写度，和180表示的是倍、分关系.教师关注学生对公式的理解程度.
设计意图：在教师的引导下，教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法．
活动二：例题精讲，公式应用：
1、制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图1中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．
(
图1
)
师生活动：教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？由弧长公式，就可以得出弧AB的长：
因此所要求的展直长度
2×700+1570=2970
∴所要求的展直长度约为2970mm.
设计意图：数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．
活动2：比一比，看谁算得快？
练习：
1.半径为4，80°的圆心角所对的弧长为 ；
2.扇形的弧长为，半径为3，则其面积为 ；
3.扇形的半径为24，面积为240，则这个扇形的圆心角
师生活动： 教师提出问题后，学生认真思考，独立完成，看谁最先做好．
设计意图： 迅速、正确的运用所学公式解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度．
概念学习: 扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
师生活动：强调扇形的特征，由两条半径和一条弧围成的图形。
用来判断扇形。
问题3：你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？
设：已知⊙O半径为，求的圆心角所对的扇形面积.
（2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的面积？
（3）1°的圆心角所对的面积是多少？2°呢？
3°呢？…n°呢？
师生活动：教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面
积公式：
（1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=．
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
∴扇形面积公式为
设计意图：让学生模仿弧长的推导过程，再次体会部分和整体之间的关系，同时也培养了学生动手、动脑以及与他人合作交流的能力
问题4：比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系
师生活动：经过观察，学生能够看出：
，其中，是扇形的弧长，为半径．
活动五：例题分析
如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.012m）
师生活动：经过分析，学生知道了水面高即弧AB中点到弦AB的距离．
因此想到做辅助线的方法：连接OA、AB，过O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C． 教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．
设计意图：培养学生综合运用知识解题的能力．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．
（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
师生活动：发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.
活动六：例题分析
正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形，求树叶图案的面积：
设计意图：检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。
继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.
活动六：理一理
学生小结
师生活动：由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确．
知识：弧长公式；
扇形面积公式：．
能力：灵活运用公式解决实际问题．
活动七：课后作业：
1、课本p59：1，2。
师生活动：学生课下独立完成,教师对学生的作业在批改后及时反馈．
设计意图：检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.
板书设计
弧长公式： 例题分析
扇形面积公式：

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