资源简介

教学设计
课题 正弦定理
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个环节： （一）教师通过情景问题的引入，在对特殊三角形中边角关系的探讨之后，大胆提出猜想； （二）由猜想入手，带着疑问，运用初中解直角三角形的方法得出正弦定理的内容，并验证猜想的正确性； （三）探讨正弦定理的实际应用，并揭示正弦定理的适用条件以及在解三角形过程中需要注意相关知识的密切联系。 三个环节自然、递进、渐入高潮，且教学过程符合学生“由特殊到一般，又由一般回到特殊”的基本认知规律。本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用，使学生明确本节教学内容的实用性。
学情分析 知识层面：在初中学生已了解三角形的定性关系以及解直角三角形的相关工具，在高中学生又学习了三角函数的定义、运算以及平面向量的有关知识。 能力层面：高中生思维活跃,求知欲旺盛,已经具有较强的概括能力,逻辑思维能力也日趋严密。但对“类比—猜想—证明”的科学研究方法掌握不够，还需老师作一定的引导。 情感层面：学生对数学新内容的学习在设置适当情境的情况下会产生相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面的发展还不够均衡。
学习目标 1．掌握并记忆正弦定理, 会运用正弦定理及三角形的基本性质解斜三角形中的两类问题：（1）已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和另一角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其它两角。 2．利用所学知识引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般地归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。通过对任意三角形的边、角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。 3．通过学生自主探究、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生的创新品质，增强学习的成功信心，激发学习数学的兴趣。 教学重点：正弦定理的发现、证明以及应用。 教学难点：用正弦定理对已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数及相关数学思想和方法的渗透
重难点 掌握并记忆正弦定理, 会运用正弦定理及三角形的基本性质解斜三角形中的两类问题：（1）已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和另一角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其它两角。
教学评活动过程 教学环节教师活动学生活动设计理念 创 设 情 景 引 入 问 题 情境问题：青海玉树发生地震之后，全国开展了紧急救援行动。由于灾区地处高原，救援物资运送出现困难。已知物资集散地A处距离可直达的受灾B乡，而受灾很严重的C乡在只了解其方位的情况下无法直接测量它与A,B两地的距离，时间就是生命，为了使救援物资提早送抵灾区，我们需尽快计算出AC与BC两个距离，为制定快速救援方案提供保证。 教师引导提问： 1.这是哪类数学问题？ 2.用已学过的解直角三角形的知识是否可以顺利解决该问？ 教师板书：正弦定理建立数学模型： 在△ABC中，已知c边长和∠A、∠B的值,求a边、b边的长。 （图1） 学生回答： 1.该问题需要解三角形的一条边。 2.用以前所学解直角三角形的方法此题不能得到答案。 设计一个敏感的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！由实际问题步步深入，引导学生思考：用直角三角形解决实际问题还存在着特殊性，从而提出求解一般斜三角形的必要性，提起学生探索新知识的兴趣，与此同时让学生感受到数学来源于生活，服务于生活，并适时进行博爱教育。 紧扣课题教师指明探究方向： 在三角形中找出边与角的正弦值的关系。 在直角△ABC中， 探索∠A，∠B， ∠C的正弦值与 对应的边长a，b， c之间的关系。 （图2） 教师问： 学生回答： 在直角△ABC中， 以学生已有知识为前提，以本节课题为线索，以学生对问题的探究兴趣为保障，让学生运用已有知识解决问题，引发学生积极的思维，激发学生的探索精神!师生共同发现: 教师提示:在直角△ABC中,有成立 教师说明：此为本节课研究的正弦定理，同时鼓励学生质疑。 对于任意的三角形是否同样存在 这个性质呢？ 这样由特殊到一般地提出问题，符合学生的认知规律，也是探究问题的必经之路。 逐 步 探 究 推 导 证 明 大屏幕展示下列图形，安排学生合作探究以下两种情况： 锐角△ABC（图3） （图3） 钝角△ABC（图4） （图4） 教师边分析边引导，同时采用多媒体演示辅助学生探究、证明。 教师揭示课题，引入正弦定理。 教师板书：在任意三角形中， 即。在锐角△ABC（图3）中， 过点C作CD⊥AB交AB于点D,有 由 即有 同理可得 在锐角三角形中正弦定理成立。 钝角△ABC（图4）中， 同理可得：过点C作CD⊥AB交BC延长线于D, 有 ∵ ∴ 即有 在钝角三角形中，正弦定理成立。 学生通过小组讨论，共同探究、证明以上猜想的正确性。 爱因斯坦说：发现问题比解决问题更重要。这样设计是为了让学生体验发现的过程、合作的过程、探究的过程。即从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后产生猜想，进而完成一般性证明，逐步培养学生探求真理的科学方法。 剖 析 定 理 深 化 理 解教师说明： 三角形的元素即为三角形的三个角和它的对边。 解三角形：已知三角形的几个元素求其它元素的过程。 教师提问1：正弦定理揭示的三角形元素之间的关系可以解决三角形的哪类问题？ 教师提问2：为了更好更快地运用正弦定理解决求角求边的问题，我们还可以将正弦定理变型成何种形式？ 教师板书： 求角： 求边： 边角的比例关系： 学生回答： 1.正弦定理揭示解决三角形的问题类型： （1）已知两角和一边，求其它角和边， （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，和其它的边和角. 2．正弦定理揭示解决三角形元素的 问题类型： 求角： 求边： 边角的比例关系： 锻炼学生分析、总结、归纳的能力，为学生增强自信、勇于探索，大胆尝试、正确类比提供了广阔的空间。 例如: 等用正弦定理解决课首所提问题。 例1：在△中，已知 ，求的边长。（结果保留一位小数） 教师板书： 解：在△中，由已知得 根据三角形内角和定理： 答：的边长约为。 教师小结： 该问题是“已知三角形中两角及一边，求其它元素” 这种类型的题目。同时马上接着过渡下去，用例2揭示 “已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其它元素”这种类型的题目。 例2：在△中，已知解该三角形。（角度精确到，边长精确到）由学生说出解决此问题的办法，同时练习书写解题格式。 解法1：根据正弦定理： 故， 再根据正弦定理： 答：解该三角形所得其它的元素为： ，，。 解法2：根据正弦定理： 或 当时， 当时， 答：解该三角形所得其它的元素为： ，， 或 ，，。给出用正弦定理解三角形的各类问题，在锻炼学生探究问题、解决问题的过程中，明确正弦定理的实质。 教师可借此机会鼓励学生独自探究解决问题，请学生口述解题过程，以此增强学生的自信。在学生口述解题过程中会出现如下两种情况： 解法1，待教师鼓励学生之后，教师需提问：（1）的取值范围是什么？ （2）在的范围内，相同的正弦值会对应几个角？（3）既然有两个角存在，那为什么舍去钝角呢？（4）对角进行取舍的依据是什么？ 解法2，教师需特别表扬同学数学知识清楚，推理严密，灵活应变、学以致用。为小结对于解“已知三角形中两角及一边，求其它 元素”这类问题，可能会出现两种情况进行铺垫。 师生共同小结：对于解“已知三角形中两角及一边，求其它元素”这类问题，可能会出现两种情况： （一）求出，而，舍去； （二）求出或，。 对于具体取值的正确判断要依据同一三角形中大角对大边的基本性质来决定。 教师板书： 解“已知三角形中两角及一边，求其它元素”这类问题，会出现两种情况： （1）若所求角的对边是较大的边，则该角有两解且它们互补； （2）若所求角的对边是较小的边，则该角有唯一解且是锐角。 通过师生共同小结不仅可以使课堂的探究气氛更为浓厚、增进师生的感情，同时还为广大学生营造了轻松的学习环境有利于孩子们身心健康地发展，从而更好地提高课堂教学效果。课堂练习： 练习1：①在中，三个内角之比，那么 等于___ 。 答案： ②在中，，则的度数为 。 答案：或 练习2：在中，求。 答案：，， 练习3：在。 答案：， 练习4：在。 答案：通过以上练习，可以使学生对例1和例2所涉及的两类解三角形问题的解决方法加以巩固，对正弦定理加以深入理解，逐步锻炼学生通过多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。由此充分体现出《新课程标准》的基本理念。 总结提高 明确要点 师生共同课堂小结： 1．正弦定理具有对称和谐的美，它适用于任意三角形。 2．“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的科学研究问题的思路和方法。 3．正弦定理可以解两角一边，两边一对角类型的三角形。 4．在解两边一对角类型的三角形时可能出现解的不同情况。此环节可由学生总结归纳，总结概括一节课的心得，一方面检验学生的知识掌握；另一方面在课堂总结的过程中，使学生感受到获得新知的快乐。
板书设计 课题：正弦定理 一、正弦定理 三、用正弦定理解三角形的问题类型 在任意三角形中， 1、已知两角和一边，求其他角和边 2、已知两边和其中一边的对角，求另一 答：的边长约为。 二、正弦定理的变形 边的对角，进而可求其他的边和角. 四、解“已知两边和一对角，求其它 求角： 解例1：在△中，由已知得到 元素”这类问题会出现两种情况 求边： 1、若所求角的对边是较小的边， 边角的比例关系： 则该角有唯一解且它是锐角； 2、若所求角的对边是较大的边，则该角有两解且它们互补
作业与拓展学习设计 必做题：优化设计习题册A部分。 选做题：优化设计习题册B部分。
特色学习资源分析、技术手段应用说明 （1）有效总结，把握重难点。 （2）检测和作业，加深理解，巩固所学。检测是有效地反馈这节课内容，学生当堂掌握的情况的一个重要的手段，为下一节课的调整提供最直接的依据，同时，也为教师思考本节课的设计提供了一个重要依据。作业的布置可以加深学生课上对知识的理解，进一步熟练应用正弦定理的技能。本节课的作业设计了针对重难点的题目、覆盖课堂内容的题目和开放拓展的题目，层次分明，针对性强，利于学生巩固所学和发展思维。
教学反思与改进 本节课是一节探究课，为了通过课堂的一切活动达到本节课的教学目的，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了他们学习数学的兴趣。 （一）本节课成功地创设了教学情境，吸引了学生的注意力，调动了学生的学习热情，激活了学生思维，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计问题环节，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 （二）本节课尊重教材但又不拘泥于教材，教学过程中充分体现了数学教学的核心是学生的“再创造”。从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。 （三）数学实验走进了课堂。教学过程中教师启发引导，学生独立思考、合作交流，以“正弦定理的发现”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨过程中。这一科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。 遗憾的是：（1）由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。（2）讲解例1之后与本节课初的情境问题再联系到位效果会更佳。（3）如果课堂小结全部由学生总结那会最完美。但是相信随着课改实验的深入，以上状况会逐步改善的。 感悟的是：恰当的情境引入是一节好课的前提，轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。教师恰当准确的提问会成为学生探究过程中的领航路标，新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！

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