资源简介

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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 24.4.1解直角三角形
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.理解解直角三角形的意义，知道解直角三角形所需的条件； 2.知道解直角三角形的两种情况，会利用直角三角形中的角的关系、边的关系及边角关系解直角三角形.
课前学习任务
复习引入 解直角三角形的依据是什么？ （1）三边之间关系：勾股定理 （2）锐角之间关系：两个锐角互余 （3）边角之间关系：三角函数 ——解直角三角形的可解条件？ （1）已知两边 （2）已知一边及一锐角 探究：在RtΔABC中，若∠C =90°， 问题1.两锐角∠A、 ∠B的有什么关系？ 问题2.三边a、b、c的关系如何？ 问题3：∠A与边的关系是什么？
课上学习任务
【学习任务一】 思考：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 三条边之间的关系是什么？ 两个锐角之间的关系是什么？ 边与角之间的关系是什么？ 由此引出解直角三角形的概念：由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【学习任务二】 例1．如图所示，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，大树在折断之前高多少？ 【学习任务三】 例2 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米） 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°， ∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于(　　) A．3sin 40° B．3sin 50° C．3tan 40° D．3tan 50° 选做题： 2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14. 【综合拓展类作业】 3. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 选做题： 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，， 解这个直角三角形. 【综合拓展类作业】 3.如图,海面上B,C两岛分别位于A岛的正东和正北方向.一艘船从A岛出发,以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向上,求A,B两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里.参考数:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)
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分课时教学设计
第5课时《24.4.1解直角三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，能熟练运用这些关系解直角三角形.掌握解直角三角形的两种情况.
学习者分析 经历探索解直角三角形的两种情况的解决方法，培养学生数学构造与解决问题的能力.
教学目标 1.理解解直角三角形的意义，知道解直角三角形所需的条件； 2.知道解直角三角形的两种情况，会利用直角三角形中的角的关系、边的关系及边角关系解直角三角形.
教学重点 会利用直角三角形中的角的关系、边的关系及边角关系解直角三角形.
教学难点 将实际问题转化为解直角三角形的问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 解直角三角形的依据是什么？ （1）三边之间关系：勾股定理 （2）锐角之间关系：两个锐角互余 （3）边角之间关系：三角函数 ——解直角三角形的可解条件？ （1）已知两边 （2）已知一边及一锐角 探究：在RtΔABC中，若∠C =90°， 问题1.两锐角∠A、 ∠B的有什么关系？ 问题2.三边a、b、c的关系如何？ 问题3：∠A与边的关系是什么？学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结 ? 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题．理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，能熟练运用这些关系解直角三角形． 环节二：新知探究教师活动2： 思考：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 三条边之间的关系是什么？ 两个锐角之间的关系是什么？ 边与角之间的关系是什么？ 由此引出解直角三角形的概念：由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 引导学生掌握．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，学生思考，经历探索解直角三角形的两种情况的解决方法，体会数学分类，归纳的思想方法，以及严密的逻辑体系．环节三：典例精析 例1．如图所示，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，大树在折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26＋10=36（米） 答：大树在折断之高为36米。 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 例2 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米） 问1：此题所建立的数学模型是直角三角形吗？哪个角是直角？为什么？ 答案：B在A的正东方向，敌舰C在B的正南方向，得∠ABC=90°. 问2：此题所构造的直角三角形，已知条件是什么？ 答案：除了直角以外，还知道一个锐角和一条边. 问3：根据已知一个锐角和一条边，求其他两条边的依据是什么？或者说，我们以前学过的知识有什么是能把角和边联系在一起的？ 答案：锐角三角函数 问4：已知AB=2000米，∠BAC=50°，求BC.哪一个三角函数能把直角边AB，锐角∠BAC，另一条直角边BC联系起来？ 答案：正切函数 问5：已知AB=2000米，∠BAC=50°，求AC.哪一个三角函数能把直角边AB，锐角∠BAC，斜边AC联系起来？ 答案：余弦函数 下面我们一起来完成此题的书写过程 解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠DAC=50° 答：敌舰与A,B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 问6.此题还有其他解法吗？ 答案：有，选锐角C，此时解题要选正切函数和正弦函数. 问7：已知一条边和一个锐角，求其余未知元素的解决方法是什么？ 解决方法：运用三角函数求其他两边，运用两个锐角互余求另一个锐角. 问2：你是如何选择三角函数的？ 选择三角函数关系式遵循一个原则：有斜（斜边）用弦（正、余弦），无弦用切（正切），尽量使用原始数据. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用.?
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°， ∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于(　　) A．3sin 40° B．3sin 50° C．3tan 40° D．3tan 50° 选做题： 2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14. 【综合拓展类作业】 3. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 选做题 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，， 解这个直角三角形. 【综合拓展类作业】 3.如图,海面上B,C两岛分别位于A岛的正东和正北方向.一艘船从A岛出发,以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向上,求A,B两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里.参考数:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)
教学反思 1.本节课的学习目标你完成了吗？ 2.你学会了哪些知识？ 3.这些知识的运用中你有什么体会或者疑问？
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（华师大版）九年级
上
24.4.1解直角三角形
解直角三角形
第24章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 会运用勾股定理解直角三角形；（重点）
2. 会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；（重点）
3. 能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）
新知导入
A
C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
典例精析
例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处.大树在折断之前高多少？
5m
12m
新知讲解
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
新知讲解
已知两直角边：
1.应用勾股定理求斜边；
2.应用角的正切值求出一锐角；
3.利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知斜边和直角边：
1.利用勾股定理求出另一直角边；
2.再求一锐角的正弦或余弦值，即可求出一锐角；
3.利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
新知讲解
例2 如图,在相距2 000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰 C 在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C 在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
┐
2000 m
40°
A
B
C
D
新知讲解
┐
2000 m
40°
A
B
C
D
解：在Rt△ABC中，
∵ ∠CAB＝90°- ∠DAC=50°
∴
∵
∴
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
新知讲解
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边（邻边类似）a和一锐角A： ① ∠B=90 °-∠ A；
②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，
∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于(　　)
A．3sin 40° B．3sin 50°
C．3tan 40° D．3tan 50°
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14.
解：根据勾股定理得
A
B
C
b = 20
a = 30
c
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B
C
b
a
c = 14
解：
【综合拓展类作业】
课堂练习
3. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60°时，
答：梯子的长至少 4.62 米
C
A
B
课堂总结
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（勾股定理）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　)
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
解：
A
B
C
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ，
解这个直角三角形.
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图,海面上B,C两岛分别位于A岛的正东和正北方向.一艘船从A岛出发,以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向上,求A,B两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里.参考数:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,
tan43°≈0.93)
作业布置
【综合拓展类作业】
解:根据路程=速度×时间,可得AC=18×2=36(海里).
在Rt△ABC中,
利用正切函数的定义可得tan∠ACB= ,
由此可知AB=AC·tan∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里).
答:A,B两岛之间的距离约为33.5海里.
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2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十四章
课标要求 1.通过观察、测量等实践活动发现并总结直角三角形的性质.2.运用数形结合的思想理解并掌握锐角三角函数的概念及其应用.3.能运用三角函数知识解决直角三角形中的边、角问题.
内容分析 本章是华东师大版初中九年级数学上册中的核心内容之一，它不仅在初中数学体系中占据重要地位，更是连接初中几何与三角函数学习的桥梁，为后续数学学习铺设了坚实的基石.本章内容丰富，逻辑严密，主要分为测量、直角三角形的性质、锐角三角函数及解直角三角形这三个关键部分，每一部分都承载着独特的教学意义与学习价值.测量作为本章的开篇，不仅是对前面知识的回顾与应用，也是引入后续概念的基础.通过实践操作，学生能够学会如何使用测量工具准确获取数据，理解测量在解决实际问题中的重要性，培养动手能力和空间观念，为后续学习直角三角形的性质打下实践基础.
学情分析 学生将深入学习直角三角形的边与角之间的关系，如勾股定理、直角三角形的边角关系等，这些性质不仅是几何学的基础，也是解决各类直角三角形问题的关键.通过学习，学生能够更加深刻地理解直角三角形的结构特征，提升逻辑推理能力和问题解决能力.学生将学会如何利用直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数来求解各种直角三角形问题，包括边长计算、角度测量等.这一过程不仅锻炼了学生的计算技能，更重要的是培养了他们的数学建模思想和实际应用能力，让学生体验到数学理论如何转化为解决实际问题的工具.
单元目标 教学目标1.理解并掌握直角三角形的基本性质，如勾股定理等.2.掌握正弦、余弦、正切等锐角三角函数的概念及其性质.3.能够运用三角函数解决直角三角形中的边、角问题.4.掌握解直角三角形的基本方法，包括已知两边求第三边、已知一边一角求其他边和角等.（二）教学重点、难点教学重点：掌握勾股定理及其证明过程理解直角三角形中的特殊角的性质，及其性质理解并会运用三角函数解决实际问题.教学难点：在解决复杂问题时学生往往难以综合运用所学知识导致解题困难.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 教材特点：本章的新知内容主要围绕直角三角形的性质、锐角三角函数及其应用、解直角三角形的方法展开。这些内容不仅加深了学生对三角形性质的理解，还引入了三角函数这一重要的数学概念，为学生解决更复杂的几何问题提供了有力的工具。具体来说，学生将学习直角三角形中的特殊性质，如勾股定理、直角三角形的面积公式等；掌握锐角三角函数的定义、性质及其相互之间的关系；学会如何利用三角函数解直角三角形，包括求未知边长和角度。这些内容相对于学生已有的知识而言具有一定的抽象性和复杂性，要求学生在理解基本概念的基础上进行深入的思考和大量的练习。（三）教学设计思路：1.学生学习能力分析九年级学生已经具备了一定的数学思维和逻辑推理能力，能够独立完成一些基本的数学任务，如简单的计算、证明等。面对本章的新知内容，尤其是三角函数的引入和解直角三角形的复杂方法，部分学生可能会感到困难。一方面，三角函数的抽象性较高，学生需要时间来适应和理解；另一方面，解直角三角形的方法涉及多个步骤和公式的运用，对学生的计算能力和逻辑思维提出了较高的要求。在教学过程中，教师应注重启发式教学和差异化教学，鼓励学生主动思考，针对不同层次的学生提供有针对性的指导和帮助。2.学习障碍突破策略为了帮助学生突破学习过程中的障碍，教师可以采取以下策略：加强直观教学：通过实物展示、模型操作、动态软件演示等方式，增强学生对直角三角形的直观认识。例如，利用几何画板软件动态展示直角三角形的变化过程，帮助学生理解直角三角形中的边角关系。注重例题讲解：通过典型例题的讲解和分析，帮助学生理解基本概念和方法。教师应选择具有代表性的例题，逐步引导学生分析问题、建立数学模型、应用公式求解，并总结解题步骤和技巧。加强练习巩固：通过大量的练习和巩固训练，提高学生的解题能力和熟练度。练习题目应涵盖不同难度层次，既有基础题也有拓展题，以满足不同层次学生的需求。教师应及时批改作业，反馈学生的错误，并给予个性化的指导。差异化教学：针对不同层次的学生提供有针对性的指导和帮助。对于基础较弱的学生，教师应重点讲解基本概念和公式，加强基础训练；对于学有余力的学生，则可以提供一些挑战性更强的题目，鼓励他们进行深入的探究和学习。小组合作学习：鼓励学生组成学习小组，共同探讨问题、分享解题方法。小组合作学习可以促进学生之间的交流与合作，提高他们的团队合作能力，同时也能让他们在互助中共同进步。应用实际情境：将直角三角形的知识应用于实际情境中，如测量高度、计算距离等，让学生感受到数学的实用性，增强他们的学习兴趣和动力。
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数24.1测量124.2解直角三角形124.3.1 锐角三角函数124.3.2用计算器求锐角三角函数124.4解直角三角形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务224.1测量1.利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法,初步接触直角三角形的边角关系.2.使学生经历测量旗杆高度的方法探索、实际测量和计算，归纳、总结出测量高度的不同方法.1.使学生经历测量过程，从而获得成功的体验，懂得数学来源于实际并用之于实际的道理.2.掌握探索测量距离的几种方法.任务一：探究测量距离的几种方法.任务二：例题精讲，解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握.24.2解直角三角形1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.2.继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.1.经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法.2.培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力.任务一： 出示目标，让学生明确学习目标，了解学习内容.任务二：探究新知，探索直角三角形性质的过程.任务3：例题精讲，使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识.24.3.1 锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的概念，会运用锐角三角函数解决实际问题.2.能利用三角函数的定义求三角函数值.1.引导学生比较、分析，得出结论，进一步体会变化与对应的函数思想．2.使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动.任务1：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念.任务2：例题精讲，会运用锐角三角函数解决实际问题.24.3.2用计算器求锐角三角函数1.知道特殊角的三角函数值，并能根据这些特殊角的三角函数值说出相应的锐角；会使用计算器求锐角三角函数值或根据三角函数值求锐角.2.进一步体会三角函数的意义，学会应用方法．?1.能用计算器进行有关三角函数值的计算.2.体会三角函数在生产、生活中的应用价值.任务1：掌握用计算器求任意角的三角函数值.任务2：例题精讲，掌握用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序.24.4解直角三角形1.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.2.理解仰角、俯角的含义，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题．1.会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题．2.进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力．任务1：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识．任务2：巩固例题，能解与直角三角形有关的实际问题．
《解直角三角形》单元教学设计
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