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22.1二次函数的图象和性质+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第22章二次函数.
【教学目标】
1.能熟练地用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质.
3．在教学中渗透数形结合的数学思想方法，会用数学的语言表达现实世界.
【重点难点】
用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式.
【新课导入】
教师提问，引入新课
问题1：一次函数与的图象的位置关系
学生独立思考，得出答案是平行
问题2：你能由此推测二次函数与的图象之间有什么关系吗？
二次函数与的图象之间又有什么关系？
问题2在问题1的基础上学生可能得到以下结论：平行；后一个可以由前一个平移得到；答案不确定等.由此引出新课题
【新课讲解】
1.解析新知 二次函数y＝x2－6x＋21的图象特点总结： 学生根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，教师利用几何画板来引导，由学生交流、讨论，归纳出二次函数的增减性． 总结：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝6，顶点坐标是(6，3)．当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大． 练习：结合图象，说出抛物线y＝－(x＋3)2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性． 师生活动：学生口答，教师点评． 2．拓展新知、加深理解 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标． 师生活动：教师利用多媒体展示详细的求解过程，学生解析过程步骤及做法，得到公式.
【典型例题】 例1　(广西中考)将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的函数解析式为(D) A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5 C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3 例2　对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是(B) A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3 C．顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小 例3　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，有下列4个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③a＋＋＞0；④6a－b＋c＞0.其中正确的结论有①③． 【变式训练】 1．若A(－4，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)为二次函数y＝－(x＋2)2＋k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(C) A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 2．(枣庄中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点(2，0)．下列说法：①abc＜0；②－2b＋c＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＋c＞m(am＋b)＋c(其中m≠)．正确的结论有(B) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【课堂小结】
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)本节课还有哪些疑惑？
教学说明：教师鼓励学生自己列出表格，指导学生比较5个函数图象之间的区别和联系．
2．布置作业：
【布置作业】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，则线段BC的长为__________.
答案：
解析：抛物线与y轴交于点A，
则点A的坐标为，
过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，
则，解得，，
则线段BC的长为；
故答案为：.
2.二次函数的图象开口向_____,顶点坐标为_________,对称轴为_________轴.当时,y随x的增大而________；当时,y随x的增大而________.因为，所以y有最________值，当________时，y的最______值是________.
答案：上；(0,)；y；增大；减小；小；0；小；
解析：二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,),对称轴为y轴,当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.因为,所以y有最小值,当时,y的最小值是.故答案为上,(0,),y,增大,减小,小,0,小，.
3.已知抛物线 与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标.
(2)点D是抛物线上一点,在直线上是否存在一点P,使得以A,B,P,D为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
解析：(1) 令, 即,解得或-2 ,
，
(2)设，,可分两种情况讨论.
①若AB为平行四边形的一条边,则，，
，或.
当时, , 解得 或 3 ;
当时, ,解得.
②若 AB为平行四边形的一条对角线,
则 ，，
解得.
综上, 点的P坐标为,，，，，或
【板书设计】
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式：
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c
＝a[(x＋)2－]＋c
＝a(x＋)2＋
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
(1)开口方向
(2)对称轴：直线x＝－
(3)顶点坐标：(－，)
(4)增减性：
a>0，当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大．
a<0，当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小．
(5)最值
a>0，当x＝－时，有最小值.
a<0，当x＝－时，有最大值.
【教学反思】
本课时主要是理解并掌握一般形式的二次函数的图象和性质.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等）.

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