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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.2 完全平方公式（2）
学习目标
1.类比去括号掌握添括号法则;
2.会用添括号法则，进行多项式的变形计算.
重点：添括号法则及法则的应用.
难点：括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号.
老师告诉你
在乘法公式中，添括号的“两个技巧”
1.当两个三项式相乘，且它们只含相同项和互为相反数的项时，常常需通过添括号把相同项、互为相反数的项分别结合，一个化为“和”的形式，另一个化为‘差’的形式，然后利用平方差公式计算。
2.当一个三项式进行平方时，常常需要添括号把其中的两项看成整体，然后利用完全平方公式计算。
知识点拨
知识点1 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 不变 符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 改变 符号.
(1)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的. 添括号是否正确可用去括号检验.
(2)不论怎样添括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多.
【新知导学】
例1-1 .在下列去括号或添括号的变形中，错误的是( )
A. a-(b-c)=a-b+c B. a-(-b+c)=a-b-c
C. a-b-c=a-(b+c) D. a-b+c-d=a-(b-c+d)
例1-2 ..3ab-4bc+1=3ab-( )， 括号中所填入的整式应是( )
A. -4bc+1 B.4bc+1 C.4bc-1 D. -4bc-1
例1-3. 已知a-b=6,c-b=5,求a-c的值.
【对应导练】
1.运用乘法公式计算:
(1) (x-3y+1)2 (2) (3a+b-c) (3a-b+c) (3) 29×31×(302+1)
2..不改变a2-(2a+b+c)的值，把它括号前面的符号变为相反的符号为( )
A.a2+(-2a+b+c) B.a2+(-2a-b-c)
C.a2+(-2a)+b+c D.a2-(-2a-b-c)
3 .将多项式3x3-2x2+4x-5添括号后正确的是( )
A.3x3-(2x2+4x-5) B.(3x3+4x)-(2x2+5)
C.(3x3-5)+(-2x2-4x) D.2x2+(3x3+4x-5)
知识点2 添括号在乘法公式中的应用
a+b-c=a+(_b-c)，a+b-c=a-(_c-b)；(2) a-b+c=a+(c-b)，a-b+c=a-( b+c).
【新知导学】
例2-1 .运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2
例2-2 .先化简，再求值：，其中x，y满足．
例2-3.如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．
【对应导练】
1.运用乘法公式计算：
(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)
2 .如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
3 .求证：无论x,y取何值，x2+4y2+4x+4y+6的值恒大于零.
4 .先化简，再求值：(x-y-1)(x-y+1)-(x-y-1)2，其中x=2，y=5.
二、题型训练
1. 利用添括号法则进行式子变形
1．不改变多项式的值，按下列要求，给多项式添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面是“+”号；
（2）把多项式的前两项括起来，括号前面是“-”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面是“-”号；
（4）把多项式中间的两项括起来，括号前面是“-”号.
2．在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等：
（1）（_________）；
（2）（_________）；
（3）（_________）；
（4）（_________）.
3．在下列各式的括号里，填上适当的项：
（1）[a+__________][a-_________]；
（2）[a-__________][a+__________]；
（3）[b-__________][b+__________]；
（4）[（a___________）+（b________）][（a_________）-（b_________）].
2.利用添括号法则进行乘法公式运算
4 .如果多项式，则的最小值是 ．
5 .已知 ， ， ，那么 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6 .已知实数m，n满足 ， ，则 　 　.
3.利用添括号法则求值
7．若则代数式的值为（ ）
A．2024 B． C．2025 D．
8 .若，则
9 .已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．下列添括号正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列添括号正确的是（　　）
A．a＋b－c＝a－（b－c） B．a＋b－c＝a＋（b－c）
C．a－b－c＝a－（b－c） D．a－b＋c＝a＋（b－c）
3．下列添括号错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在用平方差公式计算时，第一步正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．平方差公式、完全平方式是最常见的乘法公式．下列变形中，运用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各式中，与的值不相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（　 　）
10．在括号内填上恰当的项：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（　 　）．
11 .实数，满足，则分式的值是 ．
12．　 　．
13 .已知，，则 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .运用乘法公式计算：
（1）（x－y＋z）2
（2）（x＋2y－3z）（x－2y＋3z）
（3）（1－x）（1＋x）（1＋x2）（1－x4）
（4）
15．在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
16 .若，求的值．
17 .计算：．
18 .我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)图中所表示的数学等式为 　 　；
(2)利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
19 .用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.2 完全平方公式（2）
学习目标
1.类比去括号掌握添括号法则;
2.会用添括号法则，进行多项式的变形计算.
重点：添括号法则及法则的应用.
难点：括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号.
老师告诉你
在乘法公式中，添括号的“两个技巧”
1.当两个三项式相乘，且它们只含相同项和互为相反数的项时，常常需通过添括号把相同项、互为相反数的项分别结合，一个化为“和”的形式，另一个化为‘差’的形式，然后利用平方差公式计算。
2.当一个三项式进行平方时，常常需要添括号把其中的两项看成整体，然后利用完全平方公式计算。
知识点拨
知识点1 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 不变 符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 改变 符号.
(1)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的. 添括号是否正确可用去括号检验.
(2)不论怎样添括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多.
【新知导学】
例1-1 .在下列去括号或添括号的变形中，错误的是( )
A. a-(b-c)=a-b+c B. a-(-b+c)=a-b-c
C. a-b-c=a-(b+c) D. a-b+c-d=a-(b-c+d)
【答案】B
【分析】本题考查去括号，添括号法则，根据法则正确去括号、添括号，由此逐项判断即可得出答案。
【解析】A. a-(b-c) 去括号得：a-b+c正确，
a-(-b+c)去括号得：a+b-c，所以B错误；
a-b-c添括号得a-(b+c) ，所以C正确；
a-b+c-d=a-(b-c+d)正确；
所以选B
例1-2 ..3ab-4bc+1=3ab-( )， 括号中所填入的整式应是( )
A. -4bc+1 B.4bc+1 C.4bc-1 D. -4bc-1
【答案】C
【分析】本题考查添括号法则，根据法则正确添括号
【解析】.3ab-4bc+1=3ab-（4bc-1）
故选C
例1-3. 已知a-b=6,c-b=5,求a-c的值.
【答案】a-c=1
【分析】本题考查添括号去括号、法则，根据法则正确添括号、去括号
解：∵a-b=6,c-b=5,
∴a-c=（a-b）-（c-b）
=6-5=1.
【对应导练】
1.运用乘法公式计算:
(1) (x-3y+1)2 (2) (3a+b-c) (3a-b+c) (3) 29×31×(302+1)
.解：（1）原式=[(x-3y) +1]2=(x-3y)2+2(x-3y) + 12=x2- 6xy+9y2+2x-6y+1
(2)原式=[3a+(b-c)][(3a-(b-c)]=9a2-(b-c)2=9a2- (b2-2bc+c2)=9a2- b2+ 2bc-c2
(3)原式=(30-1) × (30+1) × (302+1)= (302-1) × (302+1)= (302)2-12=9002-1=810000-1
=809999
2..不改变a2-(2a+b+c)的值，把它括号前面的符号变为相反的符号为( )
A.a2+(-2a+b+c) B.a2+(-2a-b-c)
C.a2+(-2a)+b+c D.a2-(-2a-b-c)
【答案】B
【分析】本题考查去括号，添括号法则，根据法则正确去括号、添括号，由此逐项判断即可得出答案。
【解析】a2-(2a+b+c)
=a2 -2a -b -c
=a2+(-2a -b -c)
故选B
3 .将多项式3x3-2x2+4x-5添括号后正确的是( )
A.3x3-(2x2+4x-5) B.(3x3+4x)-(2x2+5)
C.(3x3-5)+(-2x2-4x) D.2x2+(3x3+4x-5)
【答案】B
【分析】本题考查添括号法则，根据法则正确添括号，由此逐项判断即可得出答案。
【解析】A ：3x3-2x2+4x-5=3x3 -(2x2 -4x+5) 故A错误
：3x3-2x2+4x-5= (3x3+4x) -(2x2+5) ；故B正确
：3x3-2x2+4x-5=(3x3-5)+(-2x2+4x) ；故C错误
D：3x3-2x2+4x-5= -2x2+(3x3+4x-5) ；故D错误；
故选B
知识点2 添括号在乘法公式中的应用
a+b-c=a+(_b-c)，a+b-c=a-(_c-b)；(2) a-b+c=a+(c-b)，a-b+c=a-( b+c).
【新知导学】
例2-1 .运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2
【答案】（1）x2-4y2+12y-9
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【分析】本题考查添括号法则，根据法则正确添括号，再利用乘法公式计算。
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9
(2) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.
【点睛】第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
例2-2 .先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】，
解原式：
，
∵，
∴，，
∴，，
当，时，
原式
．
例2-3.如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．
【答案】．
解：
，
∵，，
原式．
【对应导练】
1.运用乘法公式计算：
(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)
解：(1)原式=[a+(2b-1)]2
=a2+2a(2b-1)+(2b-1)2
=a2+4ab-2a+4b2-4b+1
=a2+4b2+4ab-2a-4b+1
(2)原式=[2x+(y+z)][(2x-(y+z)]
=4x2-(y+z)2
=4x2-(y2+2yz+z2)
=4x2-y2-z2-2yz
2 .如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a ﹣﹣
＝（a ﹣ab+b ）
＝[（a+b） ﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
3 .求证：无论x,y取何值，x2+4y2+4x+4y+6的值恒大于零.
证明：∵x2+4y2+4x+4y+6
=(x2+4x+4)+(4y2+4y+1)+1
=(x+2)2+(2y+1)2+1,
且(x+2)2≥0，(2y+1)2≥0，
∴x2+4y2+4x+4y+6
=(x+2)2+(2y+1)2+1≥1>0.
4 .先化简，再求值：(x-y-1)(x-y+1)-(x-y-1)2，其中x=2，y=5.
解：原式=［(x-y)-1］［(x-y)+1］-［(x-y)-1］2
=(x-y)2-1-［(x-y)2-2(x-y)+1］
=2(x-y)-2
=2x-y-2.
当x=2，y=5时，原式=-3.
二、题型训练
1. 利用添括号法则进行式子变形
1．不改变多项式的值，按下列要求，给多项式添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面是“+”号；
（2）把多项式的前两项括起来，括号前面是“-”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面是“-”号；
（4）把多项式中间的两项括起来，括号前面是“-”号.
答案：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
2．在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等：
（1）（_________）；
（2）（_________）；
（3）（_________）；
（4）（_________）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3．在下列各式的括号里，填上适当的项：
（1）[a+__________][a-_________]；
（2）[a-__________][a+__________]；
（3）[b-__________][b+__________]；
（4）[（a___________）+（b________）][（a_________）-（b_________）].
答案：（1），
（2），
（3），
（4）-c，-d，+c，+d
2.利用添括号法则进行乘法公式运算
4 .如果多项式，则的最小值是 ．
【答案】2015
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
=
=
的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
5 .已知 ， ， ，那么 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
6 .已知实数m，n满足 ， ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴m=1，n=2，
∵ ，
∴ ，
∴k=-1，
故答案为：-1.
【分析】已知条件可变形为[(m-1)2+4]·[(n-2)2+4]=16，进而求得m、n的值，结合已知条件可得2=k+3，求解可得k的值.
3.利用添括号法则求值
7．若则代数式的值为（ ）
A．2024 B． C．2025 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选B．
8 .若，则
【答案】4039
【分析】根据完全平方公式，即可求出答案．
【详解】解：设，，
，
，
，
．
故答案为：4039．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
9 .已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)58
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）解：当，时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．下列添括号正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】 添括号时，如果括号前面是加号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号．根据法则分别判断，即可解答．
2．下列添括号正确的是（　　）
A．a＋b－c＝a－（b－c） B．a＋b－c＝a＋（b－c）
C．a－b－c＝a－（b－c） D．a－b＋c＝a＋（b－c）
【答案】B
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、a+b﹣c＝a-（-b+c），故A选项错误；
B、a+b﹣c＝a+（b﹣c），故B选项正确；
C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），故C选项错误；
D、a﹣b+c＝a+（﹣b+c），故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】在括号前添上“-”，括到括号内的每一项都要变号；在括号前添上“+”，括到括号内的每一项都不变号，据此再对各选项逐一判断.
3．下列添括号错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可．
【详解】解∶A．，故选项A正确，不符合题意；
B． ，故选项B正确，不符合题意；
C．，故选项C正确，不符合题意；
D．，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4．在用平方差公式计算时，第一步正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据添括号法则确定a、b，再根据平方差公式进行判断即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的应用、添括号法则，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．平方差公式、完全平方式是最常见的乘法公式．下列变形中，运用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对后两项添括号时，变为．
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】此题考查平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确．
6．下列各式中，与的值不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据去括号和添括号法则进行判断即可．
【详解】解：A．，故A符合要求；
B、C、D三项去掉小括号后，均与相等，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是去括号和添括号法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．
7．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可进行解答．
【详解】解：运用平方差公式计算，
应变形为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
8．已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（　 　）
【答案】a-b
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：原式=3（a-b）2-（a-b）.
故答案为：a-b.
【分析】利用添括号法则，可得答案.
10．在括号内填上恰当的项：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（　 　）．
【答案】x2﹣3xy+2y2
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（x2﹣3xy+2y2）．
故答案是：x2﹣3xy+2y2．
【分析】根据添括号的法则解答即可。
11 .实数，满足，则分式的值是 ．
【答案】
【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．
【详解】解：，
．
．
，．
，．
原式
．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．
12．　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】把（2x+3y）看成一个整体，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式将原式展开即可.
13 .已知，，则 ．
【答案】
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
【详解】，
即
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .运用乘法公式计算：
（1）（x－y＋z）2
（2）（x＋2y－3z）（x－2y＋3z）
（3）（1－x）（1＋x）（1＋x2）（1－x4）
（4）
【答案】（1）解：（x－y＋z）2
=(x-y)2+2(x-y)z+z2
=x2-2xy+y2+2xz-2yz +z2
=x2+y2+z2-2xy +2xz-2yz；
（2）解：（x＋2y－3z）（x－2y＋3z）
=
=
=x2-(4y2-12yz+9z2)
=x2-4y2+12yz-9z2；
（3）解：（1－x）（1＋x）（1＋x2）（1－x4）
=(1-x2)( 1+x2)( 1-x4)
=(1-x4) ( 1-x4)
=(1-x4)2
=1-2x4+ x8；
（4）解：
=20002-(2000-4)(2000+4)
=20002-(20002-16)
=20002-20002+16
=16.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行计算；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算；
（3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算；
（4）将原式变形为20002-(2000-4)(2000+4) ，再利用平方差公式计算.
15．在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，，，
【分析】本题考查了平方差公式、添括号法则，解题的关键是：
（1）根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可；
（2）先变形，然后根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可
【详解】（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：，，，．
16 .若，求的值．
【答案】10
【分析】先把原代数式化为：，再整体代入求值即可.
【详解】解：
原式＝
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键.
17 .计算：．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握多项式乘以多项式以及平方差公式是解题的关键．
18 .我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)图中所表示的数学等式为 　 　；
(2)利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)①2；②-12
【分析】第1问运用等面积理解完成平方公式的几何意义，第2问变形出完全平方公式解题
【解析】（1）解：（1）由图形可得大正方形的面积为，还可以表示为
，
故答案为：
（2）解：①已知，则．

②，
故答案为：①2，②-12
【点睛】本题主要考查完全平方公式几何理解及应用，掌握等面积法及完全平方公式是解题的关键．
19 .用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案；
（2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案；
（3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论；
（4）分别求出，，，再根据又得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案．
【解析】（1）依题意得：；
故答案为：．
（2）依题意得：；
故答案为：．
（3）由（2）可知：，
∴，
即：，
又∵
∴；
（4）
．
当，时，
原式．
【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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