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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题一 活用乘法公式的八种题型
老师告诉你
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用，在使用公式时，要注意以下几点：
公式中的字母a,b 可以是任意一个数或式子；
公式可以连续使用；
要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；
在运用公式时要学会一些变形技巧。
题型一、巧用乘法公式变形求式子的值
【例1】．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．

(1)图②中的阴影部分的边长为______；
(2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式；
(3)若，，求的值．
【变式1-2】．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求（阴影部分）面积；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，计算：已知，，求的值．．
【变式1-3】．观察下列各式：
;
；
；
…
(1)根据以上规律，则 ；
(2)你能否由此归纳出一般性规律：= ．
(3)根据（2）求出：的结果．
【变式1-4】．阅读解答：
(1)填空：________；________；________；
(2)类推：________（其中为正整数，且）；
(3)利用（）的结论计算：
；
．
题型二、巧用乘法公式进行简便运算
【例2】．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2-1】．计算： ．
【变式2-2】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式2-3】．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
【变式2-4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A．
B．
C．
(2)应用所得的公式计算：；
(3)应用所得的公式计算：．
题型三、巧用乘法公式解决整除问题
【例3】．．利用因式分解可以知道，能够被（ ）整除.
A．18 B．28 C．36 D．64
【变式3-1】．．下列各数能整除的是（ ）
A．62 B．63 C．64 D．66
【变式3-2】．观察：；．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的______倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
题型四、巧用乘法公式求个位数字
【例4】．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-1】．若，则的个位数字为（ ）
A．2 B．1 C．6 D．8
【变式4-2】．观察：，
．
，
据此规律，求的个位数字是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．3
【变式4-3】．的个位数字是 ．
【变式4-4】如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
题型五、巧用乘法公式解决复杂的计算
【例5】计算： ．
【变式5-1】．计算： ．
【变式5-2】计算： .
【变式5-3】．计算： = ．
【变式5-4】．计算 = ．
题型六、巧用乘法公式解决规律问题
【例6】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为______；
(2)利用上面的规律计算：；
(3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程）
【变式6-1】观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
．．．．．．．．．．
按照以上规律，猜想第个等式为： ．
【变式6-2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
【变式6-3】．阅读材料，解答下列问题：
【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在贾宪三角中，第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数．类似的，通过计算可以发现：第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广．
【问题解决】
(1)根据上面的规律，可得的展开式中共有________项，其中项的系数为________：
(2)请结合图②中的展开式计算下面的式子：________．
(3)利用上面的规律计算：．
题型七、巧用乘法公式解决实际问题
【例7】【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ．
【例7-1】．综合实践．
活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系
初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）．
问题探究过程
提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）．
【变式7-2】．小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：如图，开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上，同时小明的屏幕上的数就会减去，且均显示化简后
的结果．如下表，就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
开始数 按一次后 按两次后 按三次后 按四次后
小林 9
小明 4
根据以上的信息回答问题：
(1)从开始起按三次后，两人屏幕上显示的结果分别是：
①小林： ； ②小明： ；
(2)几轮游戏之后，小林对小明说：“我发现，不管a的值是多少，从开始起按四次后，我们两个人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【变式7-3】．问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环．
安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全．
假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全．
实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为．
解决问题：
(1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？
(2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？
(3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？
(4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件．
题型八、巧用乘法公式解决探究问题
【例8】 综合与实践
【问题情境】
（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_______．
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_______；
（3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（2）中等式；
（4）利用（2） 中得到的结论，解决下面的问题：
若，， 求；
【拓展应用】
（5）用图3中1张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，求m的值．
【变式8-1】．八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答．
【变式8-2】．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
（2）若，，求的值．
【解决问题】如图④，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
【变式8-3】（1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空：
当， 时 ， ，
当， 时 ， ，
当， 时 ， ；
（2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】已知，求 的最大值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题一 活用乘法公式的八种题型
老师告诉你
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用，在使用公式时，要注意以下几点：
公式中的字母a,b 可以是任意一个数或式子；
公式可以连续使用；
要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；
在运用公式时要学会一些变形技巧。
题型一、巧用乘法公式变形求式子的值
【例1】．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求整式的值，由完全平方公式得，代值计算，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：原式，
当，时，
原式，
．
故选：C．
【变式1-1】．如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．

(1)图②中的阴影部分的边长为______；
(2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．
（1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论；
（2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式；
（3）根据（2）的结论，代入求值即可．
【详解】（1）解：由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长，
故答案为：；
（2）解：观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积，
即：；
（3）解：由（2）得：；
∵，，
∴，
∴．
【变式1-2】．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求（阴影部分）面积；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，计算：已知，，求的值．
【答案】．(1)方法①：；方法②：
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义和代数意义，理解完全平方公式是解题的关键．
（1）根据长方形和正方形面积的公式即可求出结果；
（2）根据完全平方和、完全平方差公式可得结论；
（3）根据完全平方和、完全平方差公式之间的关系即可求出结果．
【详解】（1）解： ①∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，
∴四个长方形的面积：；
∴阴影部分的面积为：；
②∵阴影部分的边长为：，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
【变式1-3】．观察下列各式：
;
；
；
…
(1)根据以上规律，则 ；
(2)你能否由此归纳出一般性规律：= ．
(3)根据（2）求出：的结果．
【答案】．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
．
【变式1-4】．阅读解答：
(1)填空：________；________；________；
(2)类推：________（其中为正整数，且）；
(3)利用（）的结论计算：
；
．
【答案】．．(1)，，；
(2)；
(3)；．
【分析】（）按照多项式乘多项式即可完成；
（）根据（）中的结果，可以猜想得到结论；
（）根据（）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；
根据（）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：；
；
，
故答案为：，，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解： ，
；
．
题型二、巧用乘法公式进行简便运算
【例2】．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案．
【详解】解：
，
故选：D．
【变式2-1】．计算： ．
【答案】2037
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，应用平方差公式和完全平方公式进行简便运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：2037．
【变式2-2】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)90000
(2)10000
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键．
（1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解；
（2）将原式写成，利用平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2-3】．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)9996
(2)4
【分析】本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方和公式等知识，熟记乘法公式，恒等变形是解决问题的关键．
（1）利用平方差公式变形求解即可得到答案；
（2）利用完全平方和公式变形求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2-4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A．
B．
C．
(2)应用所得的公式计算：；
(3)应用所得的公式计算：．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键．
（1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可．
（2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可；
（2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，
拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为，
∴，
故选：B；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
题型三、巧用乘法公式解决整除问题
【例3】．．利用因式分解可以知道，能够被（ ）整除.
A．18 B．28 C．36 D．64
【答案】D
【分析】根据平方差公式，进行多次分解，即可得出答案．
【详解】解：178-158
=（174-154）（174+154）
=（172-152）（172+152）（174+154），
=（17-15）（17+15）（172+152）（174+154），
=64（172+152）（174+154），
∴178-158能够被64整除．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式因式分解的应用，根据题意分别进行因式分解是解决问题的关键．
【变式3-1】．．下列各数能整除的是（ ）
A．62 B．63 C．64 D．66
【答案】B
【分析】把用平方差公式分解因数可求解．
【详解】解：224-1=（212+1）（212-1）=（212+1）（26+1）（26-1）=（212+1）×65×63，
∴所给的各数中能整除224-1的是63．
故选B．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意灵活应用平方差公式．
【变式3-2】．观察：；．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的______倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）3
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用；
（1）计算出92-62的结果，即可；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可；
（3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可．
【详解】（1），
∴是3的15倍；
故答案为：；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，
∴
∵为整数，
∴能被3整除；
（3）余数为3，理由如下：
设这个数为，比大3的数为，
所以被6整除余3，余数为3．
题型四、巧用乘法公式求个位数字
【例4】．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【详解】解：，，，，，，，，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
．
由规律可得的个位数字是6，
∴的结果的个位数字是6．
故选：C．
【变式4-1】．若，则的个位数字为（ ）
A．2 B．1 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以，凑出平方差公式的形式是解题的关键．
将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：
，
又∵，，，，，，，，，，
∴指数每4个个位数字重复一次，
∴个位数字为，
故选C．
【变式4-2】．观察：，
．
，
据此规律，求的个位数字是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．根据题目规律得出计算结果为，然后确定个位数字的规律解答即可．
【详解】解：根据题意可得规律：，
∴，
∵的个位数字是；
的个位数字是；
的个位数字是；
的个位数字是；
的个位数字是；
的个位数字是；
而
∴的个位数字是；
故选：A．
【变式4-3】．的个位数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字类规律问题，先根据平方差公式求得原式为，进而找规律得出的个位数为，即可求解．
【详解】原式
，
∵，
的个位数为，，
四次一循环，的个位数为，
则的个位数为．
故答案为：．
【变式4-4】如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
【答案】(1)，
(2)B
(3)①3，②，6
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字所呈现的规律是得出正确答案的关键．
（1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积，图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可；
（2）由图2、图3面积相等可得答案；
（3）①根据平方差公式进行计算即可；
②将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为2的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案．
【详解】（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
（2）由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
（3）①，即，而，
，
故答案为：3；
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
题型五、巧用乘法公式解决复杂的计算
【例5】计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
故答案为：．
【变式5-1】．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了平方差的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为：1．
【变式5-2】计算： .
【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
【变式5-3】．计算： = ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.
【详解】解：
=
=
=
=1.
【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.
【变式5-4】．计算 = ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式把式子中的数据变形，再约分计算.
【详解】解：x4+4=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)=[(x+1)2+1][(x﹣1)2+1]，
∴原式=== ．
故答案为．
【点睛】本题考查了乘法公式，熟练掌握（1）完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,移项变形可得，+=(a+b)2-2ab，（2）平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)是解答本题的关键．
题型六、巧用乘法公式解决规律问题
【例6】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为______；
(2)利用上面的规律计算：；
(3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程）
【答案】(1)6
(2)32
(3)四
【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键．
（1）根据表中数据特点解题即可；
（2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值；
（3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解．
【详解】（1）解：根据表中数据得，
故答案为：．
（2）解：
∴当，时，，
．
（3）解：∵
（、、、、是一列常数），
∴，刚好是的整数倍，
∴除以结果的余数为，
∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四．
【变式6-1】观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
．．．．．．．．．．
按照以上规律，猜想第个等式为： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】解：猜想：第个等式是，
证明：∵
，
，
故答案为：．
【变式6-2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：由
可知，展开式中第二项为，
展开式中含项的系数是，
故答案为：．
【变式6-3】．阅读材料，解答下列问题：
【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在贾宪三角中，第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数．类似的，通过计算可以发现：第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广．
【问题解决】
(1)根据上面的规律，可得的展开式中共有________项，其中项的系数为________：
(2)请结合图②中的展开式计算下面的式子：________．
(3)利用上面的规律计算：．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．
（1）根据规律能得出，，，的值，即可推出的值；
（2）根据计算即可得解；
（3）根据规律得出原式，求出即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴，
∴的展开式中共有项，其中项的系数为，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴
．
题型七、巧用乘法公式解决实际问题
【例7】【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，，
，
，
，
；
故答案：．
【例7-1】．综合实践．
活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系
初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）．
问题探究过程
提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）①用两种方法表示出大长方形的面积求解即可；②用两种方法表示出正方形的面积求解即可；
（2）用两种方法表示出正方形的面积求解即可；
（3）利用（2）中的公式得出，两边同时平方可得，再将式子变形为，代入计算即可得解．
【详解】解：（1）①大长方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
②大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
（2）如图：已知大正方形的边长为，
，
大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【变式7-2】．小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：如图，开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上，同时小明的屏幕上的数就会减去，且均显示化简后
的结果．如下表，就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
开始数 按一次后 按两次后 按三次后 按四次后
小林 9
小明 4
根据以上的信息回答问题：
(1)从开始起按三次后，两人屏幕上显示的结果分别是：
①小林： ； ②小明： ；
(2)几轮游戏之后，小林对小明说：“我发现，不管a的值是多少，从开始起按四次后，我们两个人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)小林的说法正确，理由见解析
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、列代数式等知识点．能用完全平方公式给代数式适当变形是解题关键．
（1）根据题干所述规律即可解答；
（2）先表示出从开始起按四次后小林和小明的结果，然后求和，再化成含完全平方的形式判断即可．
【详解】（1）解：按4次，小林的屏幕上的数等于9加4个为，小明的屏幕上的数等于4减4个为，
故答案为：，．
（2）解：小林的说法正确，理由如下：
由题意可得：开始起按四次后，小林的屏幕上的数等于，小明的屏幕上的数等于，
他们两个人的屏幕上显示的结果的和为：
．
∵，，，
∴，
∴小林的说法正确．
【变式7-3】．问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环．
安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全．
假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全．
实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为．
解决问题：
(1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？
(2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？
(3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？
(4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件．
【答案】(1)
(2)
(3)能保证安全，见解析
(4)
【分析】本题主要考查代数式和整数的混合运算，有理数的混合运算，解不等式，
（1）由十字路口长为m米，宽为n米，得，则；
（2）由机动车B到达EF一线时，自行车A要想安全，故应到GF一线．
（3）当自行车A到GF一线时，求得距离和对应时间，当机动车B到达EF一线时，求得时间，比较长短即可；
（4）由A过GF比B过EF早一点就行，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵十字路口长为m米，宽为n米，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵机动车B到达一线时，
∴自行车A要想安全，故应到一线，
故答案为：．
（3）解：当自行车A到一线时，
距离为：米，
∴时间为：秒，
当机动车B到达一线时，
时间为：秒，
而，
故能保证交通安全．
（4）解：∵A过比B过早一点就行，
∴，
∴．
题型八、巧用乘法公式解决探究问题
【例8】 综合与实践
【问题情境】
（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_______．
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_______；
（3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（2）中等式；
（4）利用（2） 中得到的结论，解决下面的问题：
若，， 求；
【拓展应用】
（5）用图3中1张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）30；（4）4
【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解题的关键．
（）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等即可求解；
（）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等即可求解；
（）根据多项式乘法法则展开运算即可；
（）由（）中得到的结论得到，代入已知条件计算即可；
（）所拼成的长方形或正方形的面积为：，从因式分解的角度看，可分解为或展开计算即可得的值
【详解】解：（）由题意得：，
故答案为：；
（）由题意得：，
故答案为：；
（）
；
（）∵，，
∴
；
（）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为，
从因式分解的角度看，可分解为，
所以，
所以．
【变式8-1】．八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)10
【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题的关键．
（1）根据图形用两种方法表示面积即可；
（2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可；
（3）根据图形的拼接得到等式即可；
（4）先化简得到，然后设，则有，代入配方得到，根据完全平方式的非负性得到，解题即可．
【详解】（1）解：；
（2）如图，
式子为：；
故答案为：，；
（3）如图，根据面积可得，
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴
∴，即，
设，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：，
∴的最大值为．
【变式8-2】．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
（2）若，，求的值．
【解决问题】如图④，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
【答案】【知识回顾】；
【拓展探究】（1）；（2）
【解决问题】8
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积或两个小正方形的面积加两个长方形的面积，由此求解即可；图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，也可以看成大正方形与两个长方形和一个小正方形的面积差，由此求解即可；
（2）分别表示出大正方形的面积，小长方形的面积，阴影部分的面积，由此求解即可；
（3）由（1）得：，代值求解即可；
（4）设正方形和的边长分别为，根据即可求解．
【详解】（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即，
∴图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为；也可以看成大正方形与两个长方形和一个小正方形的面积差，所以面积为，所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
（2）大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为，
∴；
（3）由（1）得：
∵，，
∴
∴；
（4）设正方形和的边长分别为
由题意得：，
∴
∴
∴
【变式8-3】（1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空：
当， 时 ， ，
当， 时 ， ，
当， 时 ， ；
（2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】已知，求 的最大值．
【答案】（1）；； ；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．
（1）根据有理数的运算法则求解；
（2）根据作差法求解；
（3）根据（2）的结论求解．
【详解】解：（1）当，时，，，
，
当，时，，，
，
当，时，，，
；
故答案为：，，；
（2）；
理由：，
；
（3），，
，
，
的最大值为．
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