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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题三 整式运算新题型
类型1 数形结合型
根据图形提供的信息转化成整式运算
【例1-1】．有两类正方形，，其边长分别为，．现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【例1-2】．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用．
【问题探究】
探究：如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．
方法1：__________________
方法2：__________________
【得出结论】
观察上图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______；
【应用结论】
根据以上等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；
针对训练1
1．综合实践．
活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系
初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）．
问题探究过程
提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
2．阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
类比探究：
(1)若满足，求的值；
(2)若满足，求的值；
(3)解决问题：如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形，其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值）
3．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求（阴影部分）面积；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，计算：已知，，求的值．
4．已知某工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸．
(1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含代数式来表示）
(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽，试用含的代数式表示和，并求的值．
类型2 纠错答疑型
纠错答疑型问题就是给出错误的解题过程，由错题中反应出来的运算确定字母或者代数式，再求正确的结果。
【例2-1】在化简求的值时，亮亮把a的值看错后代入得结果为10，而小莉代入正确的a的值得到正确的结果也是10，经探究后，发现所求代数式的值与b无关，则他们俩代入的a的值的和为 ．
【例2-2】．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ．
【例2-3】某同学在计算时，误将“÷”看成“+”结果是-12，则的正确结果是
针对训练2
1．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，变成了加上，得到的结果为-2x2-2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
2．小明在计算一个多项式乘﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为4x2﹣2x﹣1，那么正确的计算结果为多少？
3．已知、为多项式，，小明同学在计算时，把看成，所得结果是，请你求出的正确答案，并求当时，的值．
4．小明在进行两个多项式的乘法运算时（其中的一个多项式是），把“乘以”错看成“除以”，结果得到，请你帮小明算算，另一个多项式是多少？
类型3代数推理型
代数推理就是通过数学证明、等式变换等方式将复杂问题简单化，最终达到想要的结果。
【例3-1】观察下列等式，并回答问题．
，
，
，
……
(1)将36写成两个正整数平方差的形式：
______=____________；
(2)观察、归纳，得出猜想：
用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______；
并用已学的知识验证这一规律．
【例3-2】已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”．
(1)请判断与是否是“幸福数对”，并说明理由；
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请问，，，应满足怎样的数量关系，并说明理由；
【例3-3】．我们知道：．
类似的有：①；②；……
(1)验证上述②式成立；
(2)再写出一个类似的等式；
(3)计算：（结果用含3的幂表示）．
针对训练3
1．如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
(1)______；
(2)若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明．
(3)小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明．
2．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
3．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
类型4规律探究型
规律探究型就是根据给出的数式特征，找出它反应的一般规律，用代数式表示出来。
【例4-1】1．观察下列各式：
；
；
．
（1）根据以上规律，则 ；
（2）你能否由此归纳出一般规律 ；
（3）根据以上规律计算：．
（4）根据以上规律计算：= ．
【例4-2】．观察下列各式：；
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律填空：
① ；
②＝ ；
(2)利用②的结论求的值；
(3)若，求 的值．
针对训练4
1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……
(1)写出的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．
(2)的展开式共有__________项，系数和为__________．
(3)展开式共有__________项，系数和为__________．
2．在日历上，我们可以发现其中某些满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“”字型框位置、上的数相乘，位置、上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15．
如图②，设日历中所示图形中位置的数字为．
(1)图②框中其余四个数用含的代数式可以表示为A：_________，B：________，D：________，E： ________．
(2)用含的式子表示发现的规律___________________．
(3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
(4)如图②，在某月历中，“”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为57，则中间位置上的数为________．
3．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
，
，
，……
(1)根据上述格式反映出的规律：求
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理．
(3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果．
类型5新定义型
新定义型就是根据所给出的定义，法则进行计算，得出结果
【例5-1】若定义，则（　　）
A． B．
C．-x2+10x D．
【例5-2】定义一种新运算：，已知，则 ．
【例5-3】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是 ．
针对训练5
1．若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点．
例如，若整式，则，，，，故的相关点为．
(1)若，则的相关点坐标为______；
(2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式．
2．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”．
(1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由；
(2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数．
①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____；
②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值．
3．【定义新知】
如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
【尝试应用】
（1）_______；
【拓展提升】
（2）若均为整数，且，求证：．
类型6作出判断型
判断型就是按照规定运算，通过计算作出判断
【例6-1】．探索题：
根据以上规律，判断的值的个位数是几 ．
【例6-2】．．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”．
(1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”）
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数．
②心心发现：2032是“连偶数”．
【例6-3】．．已知a，b，c是的三边长，其中a，b满足，c满足，试判断的形状．
针对训练6
1．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
2．阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状．
解：∵，　　　　　①
∴． ②
∴． ③
∴是直角三角形． ④
请根据上述解题过程回答下列问题：
(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请你将正确的解题过程写下来．
3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”．
(1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；
(2)若是“共生有理数对”，且，求的值；
(3)若是“共生有理数对”，且，求的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题三 整式运算新题型
类型1 数形结合型
根据图形提供的信息转化成整式运算
【例1-1】．有两类正方形，，其边长分别为，．现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案．
【详解】解：由图1得：，即，
由图2得：，整理得，
∴，
∴．
即正方形A、B的面积之和为13．
故选C．
【例1-2】．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用．
【问题探究】
探究：如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．
方法1：__________________
方法2：__________________
【得出结论】
观察上图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______；
【应用结论】
根据以上等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；
【答案】问题探究：方法1：；方法2：；得出结论：；应用结论：
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键．
问题探究：根据小正方形的面积为小正方形边长的平方，也可以表示为大正方形和几个小长方形的面积之差，由此即可得出答案；
得出结论：结合（1）中的公式进行求解即可；
应用结论：根据即可求解．
【详解】解：问题探究：
方法1：，
方法2：；
得出结论：
；
应用结论：，，
针对训练1
1．综合实践．
活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系
初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）．
问题探究过程
提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）①用两种方法表示出大长方形的面积求解即可；②用两种方法表示出正方形的面积求解即可；
（2）用两种方法表示出正方形的面积求解即可；
（3）利用（2）中的公式得出，两边同时平方可得，再将式子变形为，代入计算即可得解．
【详解】解：（1）①大长方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
②大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
（2）如图：已知大正方形的边长为，
，
大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
2．阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
类比探究：
(1)若满足，求的值；
(2)若满足，求的值；
(3)解决问题：如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形，其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值）
【答案】(1)；
(2)；
(3)正方形的面积为．
【分析】（）根据题中的解题思路即可求解；
（）先把转化为，设，，则，然后代入即可求解；
（）由，，，，则，，又长方形面积是，即，由题意得，，则，通过，设，，最后利用完全平方公式即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，则，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，
∴，，
∴
，
∴；
（3）解：∵，，，，
∴，，
∵长方形面积是，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
3．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求（阴影部分）面积；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，计算：已知，，求的值．
【答案】(1)方法①：；方法②：
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义和代数意义，理解完全平方公式是解题的关键．
（1）根据长方形和正方形面积的公式即可求出结果；
（2）根据完全平方和、完全平方差公式可得结论；
（3）根据完全平方和、完全平方差公式之间的关系即可求出结果．
【详解】（1）解： ①∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，
∴四个长方形的面积：；
∴阴影部分的面积为：；
②∵阴影部分的边长为：，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
4．已知某工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸．
(1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含代数式来表示）
(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽，试用含的代数式表示和，并求的值．
【答案】(1)①；②边长分别为和；
(2)，，9
【分析】本题主要考查了列代数式以及整式运算的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）①根据大正方形和小正方形的面积差可得答案；②根据题意，结合图形可以得出答案；
（2）设盒子底部长方形的宽，则盒子底部长方形的长，根据阴影部分的面积等于长方形面积减去两个正方形的面积再加上两个正方形重叠部分面积，即可表示出和，然后计算的值即可．
【详解】（1）解：①，
即裁剪正方形后剩余部分的面积为；
②如下图，
拼成的长方形的长是，宽是；
（2）设盒子底部长方形的宽，则盒子底部长方形的长，
∴，
，
∴．
类型2 纠错答疑型
纠错答疑型问题就是给出错误的解题过程，由错题中反应出来的运算确定字母或者代数式，再求正确的结果。
【例2-1】在化简求的值时，亮亮把a的值看错后代入得结果为10，而小莉代入正确的a的值得到正确的结果也是10，经探究后，发现所求代数式的值与b无关，则他们俩代入的a的值的和为 ．
【答案】0
【分析】先将该代数式按照整式乘法和加减法运算进行化简，得到结果后令其等于10，解出的值再求两人代入的的值的和即可.
【详解】解：
由题意得，解得，
两个值一对一错，故两人代入的的值的和为0.
故答案为：0.
【点睛】本题主要还是考查代数式的值与某字母无关或者为某固定值的题型，其原理关键在于对系数的理解.
【例2-2】．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ．
【答案】(x+2)(x－6)
【分析】小明看错了a的值，将分解结果（x+4）（x-3）展开，则可确定b；小红看错了b的值，将分解结果（x+1）（x-5）展开，则可确定a；然后将a、b代入因式分解即可．
【详解】解：∵小明看错了a的值，分解的结果为（x+4）（x-3）=x2+x-12，
∴b=-12
∵小红看错了b的值，分解的结果是（x+1）（x-5）=x2-4x-5
∴a=-4
∴x2+ax+b=x2-4x-12=（x+2）（x-6）．
【点睛】本题主要考查了二次三项式的分解因式，解题的关键在于根据题意确定正确的a和b．
【例2-3】某同学在计算时，误将“÷”看成“+”结果是-12，则的正确结果是
【答案】.
【分析】本题先按错误的运算符号来列式，可得列式，求得，再按正确的运算符号来重新计算，可得解.
【详解】解：，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了代数式的运算，这里还应用一种假设法的思维方法来解题，假设错误正确逆向推导原式的系数，解得后再代入原式重新计算.
针对训练2
1．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，变成了加上，得到的结果为-2x2-2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
【答案】
【分析】根据整式的加减混合运算求出原多项式，根据多项式乘多项式法则求出正确的结果．
【详解】解：原多项式为：（-2x2-2x+1）-（-2x2+x-1）
=-2x2-2x+1+2x2-x+1
=-3x+2，
∴（-3x+2）（-2x2+x-1）
．
所以正确的计算结果是．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，整式的加减混合运算．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．小明在计算一个多项式乘﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为4x2﹣2x﹣1，那么正确的计算结果为多少？
【答案】
【分析】先求出前面的那个多项式，再乘以即可.
【详解】=，原多项式为，=
【点睛】本题考查学生对多项式运算能力，仔细读题理解题意并准确计算是解题关键.
3．已知、为多项式，，小明同学在计算时，把看成，所得结果是，请你求出的正确答案，并求当时，的值．
【答案】，-66
【分析】根据题意利用多项式乘以多项式得出，进而求出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
即的正确答案是；
当时，原式
，
当时，的值为-66．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，整式的加减，熟知其运算法则是解题的关键．
4．小明在进行两个多项式的乘法运算时（其中的一个多项式是），把“乘以”错看成“除以”，结果得到，请你帮小明算算，另一个多项式是多少？
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
根据被除式=商×除式，所求多项式是，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】解：设所求的多项式是M，则
．
答： 另一个多项式是．
类型3代数推理型
代数推理就是通过数学证明、等式变换等方式将复杂问题简单化，最终达到想要的结果。
【例3-1】观察下列等式，并回答问题．
，
，
，
……
(1)将36写成两个正整数平方差的形式：
______=____________；
(2)观察、归纳，得出猜想：
用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______；
并用已学的知识验证这一规律．
【答案】(1)；；
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律．
（1）利用题意得到即可解题；
（2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证．
【详解】（1）解：∵，
，
，
……
∴；
（2）解：；
证明：等式右边
，
等式左边右边，
．
【例3-2】已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”．
(1)请判断与是否是“幸福数对”，并说明理由；
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请问，，，应满足怎样的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)与是“幸福数对”，理由见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键；
（1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可；
（2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可；
【详解】（1）解：与是“幸福数对”，理由如下：
∵，，
∴，
与是“幸福数对”；
（2）解：，理由如下：
由题意得，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【例3-3】．我们知道：．
类似的有：①；②；……
(1)验证上述②式成立；
(2)再写出一个类似的等式；
(3)计算：（结果用含3的幂表示）．
【答案】(1)验证过程见解析部分
(2)
(3)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键．
（1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果；
（2）对照示例写出；
（3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果．
【详解】（1）解：
，
成立．
（2）解：；
（3）解：∵，
．
针对训练3
1．如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
(1)______；
(2)若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明．
(3)小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明．
【答案】(1)3
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据，根据定义，得，解答即可；
（2）根据，，，得，，，
根据，得，解答即可．
（3）利用定义证明即可．
【详解】（1）解：∵，根据定义，得，
故答案为：3．
（2）解：m、n、p之间满足的等量关系为：．理由如下：
根据题意，，，，
得，，，
又，
故，
故．
（3）解：设，则，，则，
故，
∴，
∴，
∵n是正整数，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的性质，熟练掌握定义，幂的乘方是解题的关键．
2．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
【答案】(1)是；不是
(2)由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由见解析
(3)①见解析；②该长方形的面积不是神秘数，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，整式加减计算：
（1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案；
（2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论；
（3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论；②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
∴是神秘数；
∵偶数的平方一定是偶数，
∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，
∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025，
∴2025不是神秘数，
故答案为：是；不是；
（2）解：由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由如下：
，
又∵是非负整数，
∴是正整数，
∴由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
（3）解：①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的周长为，
由（2）可知神秘数一定可以用（k为非负整数），
∴是神秘数，即该长方形的周长是神秘数；
②该长方形的面积不是，理由如下：
设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的面积为，
∵k是非负整数，
∴是奇数，
∵m是正整数，
∴是偶数，
∴不存在非负整数k，使得，
∴该长方形的面积不是神秘数．
3．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
【答案】(1)图（1）：，图（2）：，图（3）：
(2)见解析
(3)见解析
(4)十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析
【分析】本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解．
（1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
（3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案；
（4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证．
【详解】（1）解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：，
图（2）所表示的代数恒等式：
图（3）所表示的代数恒等式：；
（2）解：根据题意，几何图形如图所示：
（3）解：示意图如下：
用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即；
（4）解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和
则这两个数为分别为：，
∴这两个数的乘积为：；
即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，
故速算方法正确．
类型4规律探究型
规律探究型就是根据给出的数式特征，找出它反应的一般规律，用代数式表示出来。
【例4-1】1．观察下列各式：
；
；
．
（1）根据以上规律，则 ；
（2）你能否由此归纳出一般规律 ；
（3）根据以上规律计算：．
（4）根据以上规律计算：= ．
【答案】（）；（）；（）；（）．
【分析】（）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值；
（）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值；
此题考查了平方差公式，数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
【详解】（）解：∵；
；
；
；
∴，
故答案为：；
（）解：∵；
；
；
∴，
故答案为：；
（）解：
；
（）解：
故答案为：．
【例4-2】．观察下列各式：；
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律填空：
① ；
②＝ ；
(2)利用②的结论求的值；
(3)若，求 的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律．
（1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；
②根据上面各式的规律，可直接得到答案；
（2）根据（1）总结出的规律，可得：，据此即可求出算式的值；
（3）根据（1）总结出的规律，可得：，又由已知，即可求解．
【详解】（1）解：①由题意可得，；
②由题意可得；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴
∴，
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
针对训练4
1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……
(1)写出的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．
(2)的展开式共有__________项，系数和为__________．
(3)展开式共有__________项，系数和为__________．
【答案】(1)；
(2)7，64；
(3)，．
【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法运算；解题的关键是找出杨辉三角的排列规律．
（1）根据完全平方公式进行计算即可得出结果；
（2）根据杨辉三角的规律得出展开式的系数，然后求出其系数和即可；
（3）根据规律得出中展开式中项数，令，，即可求出各项系数的和．
【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，；
用整式乘法验证：
；
故答案为：；
（2）解：根据杨辉三角可知，
，
故有7项，
∴的展开式的系数分别为，6，15，20，15，6，1，
∴系数和为：，
故答案为：7，64；
（3）解：，共有2项，系数分别为1，1，
，共有3项，系数分别为1，2，1，
，共有4项，系数分别为1，3，3，1，
，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，
…
∴展开式中共有项，
令中，，则的展开式中的每一项正好是每一项的系数，
∴的展开式中各项的系数和为．
故答案为：；．
2．在日历上，我们可以发现其中某些满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“”字型框位置、上的数相乘，位置、上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15．
如图②，设日历中所示图形中位置的数字为．
(1)图②框中其余四个数用含的代数式可以表示为A：_________，B：________，D：________，E： ________．
(2)用含的式子表示发现的规律___________________．
(3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
(4)如图②，在某月历中，“”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为57，则中间位置上的数为________．
【答案】(1)，，，；
(2)
(3)15
(4)11
【分析】（1）由日历可发现：位置的数字比位置的数字少7，位置的数字比位置的数字少8，位置的数字比位置的数字多7，位置的数字比位置的数字多8，据此即可解答；
（2）根据题意列出式子即可；
（3）运用平方差公式展开后，合并同类项即可得证；
（4）由题意可得方程，求解后根据的取值进行取舍即可解答．
本题考查列代数式，整数的混合运算，列代数式的应用，读懂题意是关键．
【详解】（1）解：依题意，位置的数字为，
结合日历的特征，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为．
故答案为：，，，；
（2）解：结合日历的特征，规律为：；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：最小的数和最大的数的乘积为57，
，
为正整数，为正整数，且，
则，
，
即中间位置上的数为11．
故答案为：11．
3．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
，
，
，……
(1)根据上述格式反映出的规律：求
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理．
(3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，分解因式：
（1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可；
（2）根据题意这个两位数可以表示为，再利用完全平方公式求出的结果，再分解因式即可得到答案；
（3）把1和9看做一个整体，利用（1）（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
……，
以此类推，可知（表示一个两位数），
∴；
（2）解：∵，
∴．
（3）解：由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有．
类型5新定义型
新定义型就是根据所给出的定义，法则进行计算，得出结果
【例5-1】若定义，则（　　）
A． B．
C．-x2+10x D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的新定义运算．根据新定义运算直接计算即可求解．
【详解】解：根据题意，得
．
故选：D．
【例5-2】定义一种新运算：，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了定义新运算，涉及到平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据新运算的含义，利用平方差公式化简再次利用新定义及化简的结果展开，求出，然后再次利用新定义即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【例5-3】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查数字类规律探究、因式分解的应用，理解题意，利用平方差公式求解是解答的关键．先根据已知
【详解】解：∵两个正整数m，n满足，
∴或或或或，……，
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为8，12，16，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为15，21，27，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为24，32，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为35，45，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为48，60，……；
……，
把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……，
故第2个智慧优数是12，
故答案为：12．
针对训练5
1．若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点．
例如，若整式，则，，，，故的相关点为．
(1)若，则的相关点坐标为______；
(2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式．
【答案】(1)；
(2)整式的表达式为．
【分析】（）根据相关点的定义即可求解；
（）设 ，则整式，又整式的相关点为，然后代入解方程组即可；
本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
则，，，，
∴，，
∴的相关点坐标为，
故答案为：；
（2）解：设 ，
由，
∵整式是与的乘积，
∴
，
∵整式的相关点为，
∴，
解得：，
∴整式的表达式为．
2．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”．
(1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由；
(2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数．
①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____；
②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①或；②的值为
【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则．
（1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可．
（2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可．
②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解．
【详解】（1）解：是，理由如下：
根据题意可得：，
的项数正好比的项数多1，
是的“相邻增项式”．
（2）解：①当时，，
∵是的“相邻增项式”，
∴或，
解得：或．
②根据题意可得，
∴，
由于关于的整式中不含的二次项，，
∴，解得：，
，
∵，
∴，
，
当时，为关于的二项式，而为四项式，
此时不合题意，舍去；
当时，则为关于的三项式，
又是的“相邻增项式”且，
，
综上所述，的值为．
3．【定义新知】
如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
【尝试应用】
（1）_______；
【拓展提升】
（2）若均为整数，且，求证：．
【答案】（1）3；（2）证明见解析
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
类型6作出判断型
判断型就是按照规定运算，通过计算作出判断
【例6-1】．探索题：
根据以上规律，判断的值的个位数是几 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案．
【详解】解：，
，，，，，，
．
故的尾数是4.．
故的值的个位数是3．
【例6-2】．．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”．
(1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”）
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数．
②心心发现：2032是“连偶数”．
【答案】(1)是
(2)①明明的发现正确，理由见解析；②心心的发现不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式，新定义：
（1）看52能否可以用两个连续偶数的平方差表示即可得到结论；
（2）①利用平方差公式求出，据此可得结论；②令，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【详解】（1）解：，
∴52是“连偶数”；
故答案为：是；
（2）解：①明明的发现正确，理由如下：
，
∵k是正整数，
∴是正整数，
∴是4的倍数，
∴两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数；
②心心的发现不正确，理由如下：
由（1）可知“连偶数”是4的倍数，
那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数k满足，
解得，这与k是正整数矛盾，
∴2032不是“连偶数”
∴心心的发现不正确．
【例6-3】．．已知a，b，c是的三边长，其中a，b满足，c满足，试判断的形状．
【答案】是等腰三角形．
【分析】本题主要考查因式分解及三角形的分类，熟练掌握因式分解及三角形的分类是解题的关键；由题意易得，然后非负数性质和绝对值求出，，有三角形三边关系确定，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵
∴或，
当时，，不能构成三角形，
当时，，，是等腰三角形．
综上所述：是等腰三角形．
针对训练6
1．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；2；
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键．
（1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可；
（2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
故答案为：5；2；；
（2）解：，理由如下：
由题意得，
，
∴
∵，
∴，
∴，即．
2．阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状．
解：∵，　　　　　①
∴． ②
∴． ③
∴是直角三角形． ④
请根据上述解题过程回答下列问题：
(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请你将正确的解题过程写下来．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了分解因式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义：
（1）上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③；
（2）从第②步分解因式得到，进而得到，，据此可得答案．
【详解】（1）解：上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③；
（2）解：∵，
∴．
∴，
∴或，
∴或，
∴是直角三角形或等腰三角形．
3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”．
(1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；
(2)若是“共生有理数对”，且，求的值；
(3)若是“共生有理数对”，且，求的值．
【答案】(1)不是，理由见详解
(2)64
(3)16
【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”；
（2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值；
（3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值；
本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
【详解】（1）解：不是“共生有理数对”，
理由：，，
不是“共生有理数对”；
（2）是“共生有理数对”，且，
，
解得，
；
（3）解：∵是“共生有理数对”，且，
∴，
∴，
则．
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