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24.1 圆的有关性质
■重点01 与圆有关的概念
1．圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作圆的半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． （2）集合性定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．定点称为圆心，定长称为半径． 2．与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB，AC是弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径．如图，AB是直径． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧． 其中大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等． （6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
【典例1】　（2024秋 晋安区期中）下列说法中，正确的是　　
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】
【解答】解：、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意；
、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意；
、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；
、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意．
故选：．
【典例2】　（2024秋 河东区期中）下列说法中正确的是　　
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【解答】解：、错误．弦不一定是直径．
、错误．弧是圆上两点间的部分．
、错误．优弧大于半圆．
、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：．
【典例3】　（2024秋 海门区校级月考）已知的半径是，则中最长弦长是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的半径是，
中最长弦长是．
故选：．
圆的特征： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
■重点02 圆的对称性
1．轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴（圆的对称轴有无数条）． 2．中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
【典例1】　（2024秋 东台市期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征　　
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦
【解答】解：因为圆上各点到圆心的距离相等，
所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，
所以自行车车轮要做成圆形．
故选：．
【典例2】　（2022 金沙县一模）下列说法中，不正确的是　　
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【答案】
【解答】解：．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
．圆有无数条对称轴，正确；
．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：．
【典例3】　（2021秋 卢龙县期末）下列说法正确的是　　
A．长度相等的弧是等弧
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．弧是半圆
D．三点确定一个圆
【解答】解：、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以选项错误；
、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项正确；
、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以选项错误；
、不共线的三点确定一个圆，所以选项错误．
故选：．
1．圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线． 2．圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．
■重点03 垂径定理及应用
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【典例1】　（2024秋 密云区期中）如图，是的直径，是的一条弦，垂足为．若，，则弦长为 　　．
【答案】8．
【解答】解：如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
，
在△中，，
，
（负值已舍），
，
故答案为：8．
【典例2】　（2024秋 武汉期中）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：，于点，
，
又是的半径，，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，为的弦，
，，
，
设的半径是，
，
解得，
的半径是．
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆的半径为多少米？
【答案】1.5．
【解答】解：如图，连接．
设圆的半径为米，则米，
，米，
米，
米，米，
米，
在△中利用勾股定理，得，
，解得．
答：月亮门所在圆的半径为1.5米．
垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形．
■难点01 弧、弦、圆心角的综合应用
1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．弧、弦、圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
【典例1】　（2024秋 江阴市期中）如图，点、、、在上，且，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：如图，连接．
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【典例2】　（2024秋 江都区校级月考）如图，是直径，，，的度数是 　　．
【答案】．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
【典例3】　（2024秋 越秀区期中）如图，中，弦，相交于点，．
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：．
【解答】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
．
（2）证明：在△和△中，
，
△△，
．
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线． （2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
■难点02 圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD 的外接圆．
【典例1】　（2024秋 金坛区期中）如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：经过圆心．
是的直径，
，
，
，
故选：．
【典例2】　（2024秋 钱塘区期中）如图，点，，，在上，若，，则 　　度．
【答案】100．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：100．
【典例3】　（2024秋 东台市月考）如图，四边形内接于，是弧的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析
（2）5
【解答】（1）证明：是弧的中点，
，
即，
四边形内接于，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：连接并延长交于，连接，
则，
是弧的中点，
，
，，
，
，
，
，
的半径．
注意： （1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆； （2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径； （3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共圆）．
■易错点 圆周角、圆周角定理及应用
1．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 2．圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
【典例1】　（2024秋 南宁期中）如图，在中，，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由题意可知：，
故选：．
【典例2】　（2024秋 长沙县期中）如图，，，是上的三点，则，则 　　度．
【答案】78．
【解答】解：、、是上三点，，
的度数是：．
故答案为：78．
【典例3】　（2024秋 钱塘区期中）如图，是的直径，弦于点，连结，，．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）；
（2）10．
【解答】解：（1）是的直径，弦，
，
，
．
（2）设的半径为，则．
是的直径，弦，，
，
，
，
在△中利用勾股定理，得，
，
，
的半径是10．
注意： （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．中小学教育资源及组卷应用平台
24.1 圆的有关性质
■重点01 与圆有关的概念
1．圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作圆的半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． （2）集合性定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．定点称为圆心，定长称为半径． 2．与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB，AC是弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径．如图，AB是直径． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧． 其中大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等． （6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
【典例1】　（2024秋 晋安区期中）下列说法中，正确的是　　
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．在一个圆中，直径是最长的弦
【典例2】　（2024秋 河东区期中）下列说法中正确的是　　
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【典例3】　（2024秋 海门区校级月考）已知的半径是，则中最长弦长是　　
A． B． C． D．
圆的特征： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
■重点02 圆的对称性
1．轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴（圆的对称轴有无数条）． 2．中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
【典例1】　（2024秋 东台市期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征　　
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦
【典例2】　（2022 金沙县一模）下列说法中，不正确的是　　
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【典例3】　（2021秋 卢龙县期末）下列说法正确的是　　
A．长度相等的弧是等弧
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．弧是半圆
D．三点确定一个圆
1．圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线． 2．圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．
■重点03 垂径定理及应用
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【典例1】　（2024秋 密云区期中）如图，是的直径，是的一条弦，垂足为．若，，则弦长为 　　．
【典例2】　（2024秋 武汉期中）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆的半径为多少米？
垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形．
■难点01 弧、弦、圆心角的综合应用
1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．弧、弦、圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
【典例1】　（2024秋 江阴市期中）如图，点、、、在上，且，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 江都区校级月考）如图，是直径，，，的度数是 　　．
【典例3】　（2024秋 越秀区期中）如图，中，弦，相交于点，．
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：．
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线． （2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
■难点02 圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD 的外接圆．
【典例1】　（2024秋 金坛区期中）如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 钱塘区期中）如图，点，，，在上，若，，则 　　度．
【典例3】　（2024秋 东台市月考）如图，四边形内接于，是弧的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
注意： （1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆； （2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径； （3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共圆）．
■易错点 圆周角、圆周角定理及应用
1．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 2．圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
【典例1】　（2024秋 南宁期中）如图，在中，，则等于　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 长沙县期中）如图，，，是上的三点，则，则 　　度．
【典例3】　（2024秋 钱塘区期中）如图，是的直径，弦于点，连结，，．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的半径．
注意： （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

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