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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
■重点01 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外 d＞r； ②点P在圆上 d＝r； ①点P在圆内 d＜r． （2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【典例1】　（2024秋 温州期中）已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点在　　
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
【典例2】　（2024秋 拱墅区期中）已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在　　
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【典例3】　（2024秋 闽清县期中）已知圆的直径为，若点与圆心的距离是，则　　
A．当时，点在外 B．当时，点在内
C．当时，点在内 D．当时，点在外
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧： （1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d）和半径（r）的数量关系． （2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断．
■重点02 圆的确定
1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 2．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【典例1】　（2024 上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例2】　（2023秋 桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】　（2023秋 遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
■重点03 直线与圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
【典例1】　（2024秋 南京期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则与的交点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】　（2024秋 渝中区校级月考）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是　　
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
【典例3】　（2024秋 邗江区校级月考）已知直线与相离，圆心到直线的距离为，则的半径可能为　　
A． B． C． D．
判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交 d＜r； ②直线l和⊙O相切 d＝r； ③直线l和⊙O相离 d＞r．
■重点04 切钱的性质与判定
切线的性质和判定 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【典例1】　（2024秋 梁溪区校级期中）如图，是△的外接圆，，平分，且交于点，过点作，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【典例2】　（2024秋 长沙县期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：．
【典例3】　（2024秋 西城区校级期中）如图，在△中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
1．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心； ②直线过切点； ③直线与圆的切线垂直． 2．在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
■重点05 切线长定理及简单应用
切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【典例1】　（2021 滨海县一模）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求：
（1）的长；
（2）的度数．
【典例2】　（2023秋 抚松县月考）如图，和是的两条切线，，是切点．是弧上任意一点，过点画的切线，分别交和于，两点，已知，求的周长．
【典例3】　（2017 北湖区校级模拟）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求：
（1）的度数；
（2）的长；
（3）的半径．
（1）切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据． （2）圆心、切点与切线上一点组成一个直角三角形，是解题时常用的条件．
■难点01 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含．
【典例1】　（2024 浦东新区校级三模）已知的半径为 3 ，的半径长，如果，那么与不可能存在的位置关系是　　
A ．两圆内含 B ．两圆内切 C ．两圆相交 D ．两圆外切
【典例2】　（2024 普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【典例3】　（2024 奉贤区三模）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是　　
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
圆与圆的位置关系属于拓展内容．判断两个圆的位置关系用数形结合的思想．设两圆的半径分别为和（），圆心距为，则 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含．
■难点02 三角形的外接圆与外心
三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）性质 ①三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆半径． ②一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形．
【典例1】　（2024秋 平潭县期中）如图所示，等边△内接于，为圆周上一点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长度．
【典例2】　（2023秋 阎良区期末）如图，内接于，是的直径，若，求的度数．
【典例3】　（2024秋 永嘉县期中）如图，为的直径，△内接于，，交于点．
（1）求的度数；
（2）若为的中点，，求直径的长．
1．“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． 2．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 3．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
■难点03 三角形的内切圆与内心
三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）性质： ①三角形的内心是三条角平分线的交点． ②三角形的内心到三角形三边的距离相等．
【典例1】　（2024秋 铜山区校级月考）如图，在△中，，，，是△的内切圆，则的半径为　　
A．1 B． C．2 D．
【典例2】　（2024秋 香坊区校级月考）如图，在△中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则的长为　　
A．2 B．4 C．5 D．3
【典例3】　（2024秋 兴化市月考）如图，△中，，，与△的三边分别相切于点，，，若的半径为2，求△的周长．
1．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 2．三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角．
■易错点 反证法
反证法 （1）概念：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，点从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． （2）反证法的步骤 ①假设命题的反面成立． ②从假设出发，经过逻辑推理，推出与基本事实、定理、概念或已知条件相矛盾． ③说明假设不成立，从而得出原命题成立．
【典例1】　（2022春 乐清市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设　　
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于
D．三角形的三个内角都大于
【典例2】　（2024春 揭西县校级月考）用反证法证明：中至少有两个角是锐角．
【典例3】　（2024秋 西城区校级期中）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
求证：点，，，在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一 利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹．
步骤二 用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
如图2，假设点在内．
延长交于点，连接，
（①）．（填推理依据）
是△的外角，
．
，
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立，即点不在内．
如图3，假设点在外．
设与交于点，连接，
②．
是△的外角，
③．
④．
⑤
这与已知条件矛盾．
假设不成立，即点不在外．
综上所述，点在上．
点，，，在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填写推理依据：①　　；
（3）填空：②　　 ，③　　 ，④　　 ，⑤　　 ．
应用：主要用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题．常用于证明： （1）结论是否定型的命题； （2）结论是无限型的命题； （3）结论是“至多”或“至少”型的命题．中小学教育资源及组卷应用平台
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
■重点01 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外 d＞r； ②点P在圆上 d＝r； ①点P在圆内 d＜r． （2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【典例1】　（2024秋 温州期中）已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点在　　
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
【答案】
【解答】解：的半径为2，点到圆心的距离为1，，
点在圆内．
故选：．
【典例2】　（2024秋 拱墅区期中）已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在　　
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】
【解答】解：的半径分别是4，点到圆心的距离为3.5，，
点点在圆内．
故选：．
【典例3】　（2024秋 闽清县期中）已知圆的直径为，若点与圆心的距离是，则　　
A．当时，点在外 B．当时，点在内
C．当时，点在内 D．当时，点在外
【答案】
【解答】解：圆的直径为，
圆的半径为，
、当时，
，
点在外，正确，符合题意；
、当时，点在上，原说法错误，不符合题意；
、当时，
，
点在外，原说法错误，不符合题意；
、当时，点在上，原说法错误，不符合题意，
故选：．
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧： （1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d）和半径（r）的数量关系． （2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断．
■重点02 圆的确定
1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 2．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【典例1】　（2024 上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过、、或、、或、、作圆，共3个圆，即，
③当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过、、或、、或、、或、、作圆，共4个圆，即此时，
即不能是2，
故选：．
【典例2】　（2023秋 桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解答】解：经过点、、；、、；、、可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：．
【典例3】　（2023秋 遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ．
【答案】能．
【解答】解：能．理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，
所以直线的解析式为，
当时，，
所以点不在直线上，
即点、、不共线，
所以过、、这三个点能确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
■重点03 直线与圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
【典例1】　（2024秋 南京期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则与的交点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解答】解：的半径为，圆心到直线的距离为，且，
圆心到直线的距离小于的半径，
直线与相交，
直线与有两个交点，
故选：．
【典例2】　（2024秋 渝中区校级月考）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是　　
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
【答案】
【解答】解：已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，
，
直线与圆的位置关系为相交．
故选：．
【典例3】　（2024秋 邗江区校级月考）已知直线与相离，圆心到直线的距离为，则的半径可能为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，
直线与相离，
，
又圆心到直线的距离为，
，
故选：．
判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交 d＜r； ②直线l和⊙O相切 d＝r； ③直线l和⊙O相离 d＞r．
■重点04 切钱的性质与判定
切线的性质和判定 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【典例1】　（2024秋 梁溪区校级期中）如图，是△的外接圆，，平分，且交于点，过点作，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接，如图：
，
是的直径，
，
平分，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：在直角三角形中，，，，
，
由（1）知：△是等腰直角三角形，
．
【典例2】　（2024秋 长沙县期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）线段是的直径，
，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
．
【典例3】　（2024秋 西城区校级期中）如图，在△中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）的长为．
【解答】（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：连接，延长交于点，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，，
，，
，
，
解得，
，
，
的长为．
1．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心； ②直线过切点； ③直线与圆的切线垂直． 2．在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
■重点05 切线长定理及简单应用
切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【典例1】　（2021 滨海县一模）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求：
（1）的长；
（2）的度数．
【解答】解：（1），都是圆的切线，
，
同理，，
三角形的周长，
即的长为6；
（2），
，
，
，是圆的切线，
；
同理：，
，
．
【典例2】　（2023秋 抚松县月考）如图，和是的两条切线，，是切点．是弧上任意一点，过点画的切线，分别交和于，两点，已知，求的周长．
【答案】．
【解答】解：和是的两条切线，
，
同理可得：，，
的周长
．
【典例3】　（2017 北湖区校级模拟）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求：
（1）的度数；
（2）的长；
（3）的半径．
【解答】解：（1）连接；根据切线长定理得：，，，；
，
，
，
；
（2）由（1）知，．
，，
由勾股定理得到：，
．
（3）与相切于点，
，
，即．
．
（1）切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据． （2）圆心、切点与切线上一点组成一个直角三角形，是解题时常用的条件．
■难点01 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含．
【典例1】　（2024 浦东新区校级三模）已知的半径为 3 ，的半径长，如果，那么与不可能存在的位置关系是　　
A ．两圆内含 B ．两圆内切 C ．两圆相交 D ．两圆外切
【解答】解：的半径为 3 ，的半径长，
，
即，
与不可能存在的位置关系是两圆外切 ．
故选：．
【典例2】　（2024 普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】
【解答】解：当与和一个外切一个内切时，如图所示，
．
当与和都外切时，如图所示，
．
当与和都内切时，如图所示，
．
综上所述，符合题意的最多有6个．
故选：．
【典例3】　（2024 奉贤区三模）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是　　
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【解答】解：，
，
解得：，，
两圆的半径分别是2，5，
，
这两个圆的位置关系是：内切．
故选：．
圆与圆的位置关系属于拓展内容．判断两个圆的位置关系用数形结合的思想．设两圆的半径分别为和（），圆心距为，则 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含．
■难点02 三角形的外接圆与外心
三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）性质 ①三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆半径． ②一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形．
【典例1】　（2024秋 平潭县期中）如图所示，等边△内接于，为圆周上一点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：△为等边三角形，
，
，，
，
平分；
（2）解：在截取，连接，如图，
，，
△为等边三角形，
，，
，，
，
和都对应，
，
△为等边三角形，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
【典例2】　（2023秋 阎良区期末）如图，内接于，是的直径，若，求的度数．
【答案】．
【解答】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
内接于，
，
．
【典例3】　（2024秋 永嘉县期中）如图，为的直径，△内接于，，交于点．
（1）求的度数；
（2）若为的中点，，求直径的长．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）连接，过点作于，如图所示：
，
，
，
△是等边三角形，
；
（2）设，
△是等边三角形，，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
为的中点，
，
，
在△中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，或（不符合题意，舍去）
，
．
1．“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． 2．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 3．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
■难点03 三角形的内切圆与内心
三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）性质： ①三角形的内心是三条角平分线的交点． ②三角形的内心到三角形三边的距离相等．
【典例1】　（2024秋 铜山区校级月考）如图，在△中，，，，是△的内切圆，则的半径为　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【解答】解：如图，，，，
，
设△三边内切于点、、，连接、、，
，，，且，
连接、、，
，
即，
，
解得．
△的内切圆的半径为1．
故选：．
【典例2】　（2024秋 香坊区校级月考）如图，在△中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则的长为　　
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】
【解答】解：△的内切圆分别与、、相切于点、、，
，，，
，
，
，
解得：（舍或2，
故选：．
【典例3】　（2024秋 兴化市月考）如图，△中，，，与△的三边分别相切于点，，，若的半径为2，求△的周长．
【答案】30．
【解答】解：连接、，设，
由切线长定理得，
与△的三边分别点、、，
，，
四边形为正方形，
的半径为2，，
，，
在△中，，
即，
解得，
△的周长为．
1．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 2．三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角．
■易错点 反证法
反证法 （1）概念：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，点从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． （2）反证法的步骤 ①假设命题的反面成立． ②从假设出发，经过逻辑推理，推出与基本事实、定理、概念或已知条件相矛盾． ③说明假设不成立，从而得出原命题成立．
【典例1】　（2022春 乐清市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设　　
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于
D．三角形的三个内角都大于
【答案】
【解答】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于，
故选：．
【典例2】　（2024春 揭西县校级月考）用反证法证明：中至少有两个角是锐角．
【解答】证明：假设同一三角形中最多有一个锐角，
则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即中至少有两个角是锐角．
【典例3】　（2024秋 西城区校级期中）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
求证：点，，，在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一 利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹．
步骤二 用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
如图2，假设点在内．
延长交于点，连接，
（①）．（填推理依据）
是△的外角，
．
，
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立，即点不在内．
如图3，假设点在外．
设与交于点，连接，
②．
是△的外角，
③．
④．
⑤
这与已知条件矛盾．
假设不成立，即点不在外．
综上所述，点在上．
点，，，在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填写推理依据：①　　；
（3）填空：②　　，③　　，④　　，⑤　　．
【答案】（1）作图见解析；（2）①圆的内接四边形的对角互补；②；③；④；⑤．
【解答】解：（1）1．分别作线段，的垂直平分线，它们交于点，
2．以点为圆心，为半径画圆，
则为过，，三点的圆．如图，
（2）①推论依据为：圆的内接四边形的对角互补．
故答案为：圆的内接四边形的对角互补；
（3）②设与交于点，连接，
．
故答案为：；
③是△的外角，
．
故答案为：；
④
．
故答案为：；
⑤，
．
故答案为：．
应用：主要用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题．常用于证明： （1）结论是否定型的命题； （2）结论是无限型的命题； （3）结论是“至多”或“至少”型的命题．

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