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有理数
【第一部分 知识清单】
知识体系
一、有理数的基本概念：
1、有理数的定义：有理数是_________和_________的统称。
2、有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
3、数轴：
定义：规定了_______、_______和_______的直线叫做数轴（三要素）。
与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。在数轴上，右边的数比左边的数______。
4、相反数：
定义：只有_______不同的两个数称为互为相反数，_______的相反数是它本身。
性质：相反数的和为_______；多重符号的化简：“-”为奇数个，结果为______，偶数个，结果为______。
5、绝对值：
定义：数轴上表示数的点与原点的_______叫做数的绝对值，记作_______。
性质：一个正数的绝对值是_______；0 的绝对值是_______；一个负数的绝对值是它的_______。
倒数：
定义：___________________的两个数互为倒数（_______没有倒数）。
7、有理数的大小比较：
正数、0、负数比较：正数永远比0_______，负数永远比0_______，正数_______一切负数。
两个负数比较：两个负数比较大小，_______大的反而小。
利用数轴比较：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数_______。
二、有理数的运算：
1、加法：
法则：同号两数相加，取_______的符号，并把绝对值_______；绝对值不相等的异号两数相加，取______________的加数的符号，并用较大的绝对值_______较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得_______；一个数同0相加，仍得_______。
运算律：加法交换律，即______________；加法结合律，即______________。
2、减法：减去一个数，等于加上这个数的_______。
3、乘法：
法则：两数相乘，_______得正，_______得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得_______。
运算律：乘法交换律，即_______；乘法结合律，即_______；乘法分配律，即_______。
4、除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的_______。两数相除，_______得正，_______得负，并把绝对值相除。
5、乘方：
定义：求相同因数的积叫做乘方。乘方运算的结果叫_______。
性质：正数的任何次幂都是_______；负数的奇数次幂是_______，负数的偶数次幂是_______；0的任何非零次幂都是_______。
混合运算顺序：
①先______，再______，最后______；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按______括号、______括号、______括号依次进行。
科学记数法与近似数
1、科学记数法：把一个_______的数记成的形式（其中_______≤|a|≤_______，是正整数），这种记数法叫科学记数法
2、近似数：一般来说，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位。从左边第一个_______的数字起，到精确的位数止，所有数字都叫这个近似数的有效数字。
第二部分 常考题型
一、概念辨析题
【正负数的判断】
1、在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列说法中正确的有（ ）
① 0是最小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是偶数；⑤0表示没有温度。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【有理数的分类】
1、把下列各数填在相应的集合内：
－23, 0.25 ，－5.18， 18， -38， 10， ＋7， 0， +12
正数集合：{ ………} 整数集合：{ ………}
分数集合：{ ………}
2、把下列各数填在相应的大括号内：
整数集合：( )；
正数集合：( )；
负分数集合：( )；
非负整数集合：( )
【相反数的概念理解和相反意义】
1、如果零上记作，那么零下记作________。
2、下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
3、如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【绝对值的概念理解和非负性】
1、若︱a︱=a,则a的取值范围是 ；若 ︱a︱=-a,则a的取值范围是 。
2、若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= 。
3、已知x是整数,并且-3＜x＜4，|x|>0,那么在数轴上表示x的所有可能的数值有 。
4、如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、如果a ,b互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子+ m －cd 的值。
二、数轴相关题
【数轴上的点与数的对应】
1、如图，点A、B都在数轴上，O为原点
（1）点B表示的数是　 　。
（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　 　。
【利用数轴比较大小】
1、已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到排列正确的一组是（　　）
A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a
【数轴上的距离问题】
1、已知点A在数轴上表示的数是﹣3，则距离A点3个单位的点所表示的数是（　　）
A．0 B．1，0 C．0或﹣6 D．0，±1
2、数轴上点A表示的数是 3，点B与点A的距离是5，则点B表示的数可能是　 　。
三、有理数的运算题
【运用运算律简化运算】
(1)(－4)×(－0.99)×(－25) (2)(－)×(－15)×(－)× (3)(－＋)×(－24)
【混合运算】
(－98)×(－0．125)＋98×＋(－98)×: ](2) －14－（1－0×4）÷×[（－2）2－6]
－14－×[2－(－3)2] (4) (－3)2－1×－6÷|－|2；
2×[5＋(－2)3]－(－|－4|÷) (6) －23－[－3＋(－3)2÷(－)]
四、科学记数法与近似数
【科学记数法的表示】
1、数字98990000用科学记数法表示为（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．9.899×108 D．98.99×106
2、2020年1～10月份，全国规模以上工业企业实现营业收入83.78万亿元，其中83.78万亿用科学记数法可表示为（　　）
A．83.78×1012 B．8.378×1013 C．0.8378×1014 D．8.378×105
【近似数的取值】
1、近似数3.26×104精确到（　　）
A．百分位 B．千分位 C．十位 D．百位
2、圆周率π≈3.1415926……，用四舍五入法把π精确到万分位，得到的近似值是　 　。
3、小华和小丽最近都测量了自己的身高，小华量得自己的身高约1.6米，小丽量得自己的身高约1.60米，下列关于她俩身高的说法正确的是（　　）
A．小华和小丽一样高 B．小华比小丽高 C．小华比小丽矮 D．无法确定谁高
4、用四舍五入法按要求把2.0503分别取近似数，其中错误的是（　　）
A．2.1（精确到0.1） B．2.05（精确到0.001）
C．2.05（精确到百分位） D．2.050（精确到千分位）
五、实际应用问题
【温度变化问题】
1、一位病人发高烧进医院治疗，医生给他开了药、挂了水，同时护士每隔1小时为病人测体温，及时了解病人的好转情况．下表记载的是护士对病人测体温的变化数据：
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
+0.2 0
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃。
问：（1）把上升的体温记为正数，下降的体温记为负数，请填写上表；
（2）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（3）病人中午12点时体温多高？
（4）病人几点后体温稳定正常（正常体温是37℃）。
【行程问题】
2、出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14．
（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？
（2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
【海拔问题】
3、登山队员傅叔叔以二号营地为基准，向距二号营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风．记傅叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，行进过程记录如下：（单位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．
（1）傅叔叔最终有没有登上顶峰？若没有，距顶峰还有多少米？
（2）这次登山过程中，每上升或下降一米，平均消耗8千卡的能量．傅叔叔这天共消耗了多少能量？
（3）登山消耗的能量预估为：一千克身体重量（体重或负重），一天大约需要60～63千卡的能量，已知傅叔叔负重14千克，在（2）的条件下，请你计算傅叔叔的体重．
【盈利亏损问题】
4、某集团公司对所属甲、乙两分厂上半年经营情况记录如下：（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）
月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
甲厂 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3
乙厂 +1.0 ﹣0.7 ﹣1.5 +1.8 ﹣1.8 0
（1）计算二月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
（2）分别计算甲、乙两个工厂上半年平均每月盈利或亏损多少亿元？
【工程问题】
某玩具厂计划一周生产某种玩具700件，平均每天生产100件，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产玩具 　 　件；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具　 　件；
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际生产玩具 　 　件；
（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超过部分每件另奖5元；少生产一件扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
新定义题
1、现定义一种新运算：a※b＝b2－ab，如：1※2＝22－1×2＝2，则(－1※2)※3等于( )
A．－9 B．－6 C．6 D．9
2、定义运算，则 ．
七、程序框图计算
1、如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的数值的值为.
2、在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2 018次输出的结果为( )
A．6 B．3 C. D.＋3×1 009
八、规律探究题
【数列规律】
1、观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32；26＝64，…根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末尾数字是 。
2、某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）
A．253 B．255 C．257 D．259
3、(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
1﹣
1﹣
1﹣
1﹣
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)×(1-)
【图形规律】
1、如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
2、如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个

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