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一元一次方程及其解法
【知识梳理】
1、方程：
含未知数的等式，叫方程。使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
2、等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
3、一元一次方程：
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
4、一元一次方程解法的一般步骤：
去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 两边同除以未知数的系数。
注意：移项是把方程中的某一项从方程的一边移到另一边，同时改变符号。这种变形本质是利用了等式的性质1，同时简化了步骤。
【课堂练习】
选择题
1.下列变形中，不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知下列方程：；；；其中一元一次方程的个数是( )
A. B. C. D.
3.已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于( )
A. B. C. D.
4.下列方程变形正确的是( )
A. 方程，移项，得
B. 方程，去括号，得
C. 方程，未知数系数化为，得
D. 方程化成
5.已知关于的方程的解是，则的值是 ( )
A. B. C. D.
6.已知关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为( )
A. B. C. D.
7.若关于的方程无解，则( )
A. B. C. D.
8.下列结论：若，且，则方程的解是若有唯一的解，则若，则关于的方程的解为；若，且，则一定是方程的解；其中结论正确个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9.把方程改写成用含的式子表示的形式为____________．
10.若是关于的方程的解，则代数式的值为______．
11.设，，，为实数，现规定一种新的运算：，则满足等式的的值为 ．
12.如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如：方程和为“和谐方程”若关于的两个方程与是和谐方程，则的值为______．
13.方程的解是 ．
三、计算题
14.解方程：； ．
四、解答题
15.已知关于的方程与的解互为相反数，求的值．
16.在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的没有乘以，从而求得的方程的解为，试求的值，并解出原方程正确的解．
17.综合与实践：
定义：我们称关于的方程与方程、均为不等于的常数互为“轮换方程”，如：方程与方程互为“轮换方程”．
判断：与；与；与；其中互为“轮换方程”的有______；填写序号
若关于的方程与方程互为“轮换方程”，求的值；
若关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，对于多项式和，不论取多少，与的和始终等于整数，求常数的值．
【课后巩固】
1.已知关于的方程无解，那么的值是( )
A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数
2.关于的方程有解，则的值是( )
A. B. C. D.
3.关于的方程有无穷多个解，则．
A. B. C. D.
4.已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为( )
A. B. C. D.
5.已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，，记第一个数为，第二个数为，，第个数为，若是方程的解，则__________．
6.在九章算术方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中“”代表按规律不断求和，设则有，解得，故类似地的结果为 ．
7.解方程：
； ．
8.先阅读下面的解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当，即时，原方程可化为，解得；
当，即时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
解方程：．
当为何值时，关于的方程，无解？只有一个解？有两个解？
9.若是关于的方程的解，是关于的方程的解，且，是满足，则称方程与方程的解接近．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程的解接近．
请直接判断方程与方程的解是否接近；
若关于的方程与关于的方程的解接近，请你求出的最大值和最小值；
请判断关于的方程与关于的方程的解是否接近，并说明理由．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】本题主要考查有关等式性质的知识，关键是知道等式性质．
解：若，则，时，不成立，错误；
B.若，则，正确；
C.若，则，正确；
D.若，则 ，正确．
2.【答案】
【解析】解：是一元一次方程；
中的指数是，不是一元一次方程；
是一元一次方程；；
中含有两个未知数，不是一元一次方程．
根据一元一次方程的定义进行判断即可．
3.【答案】
【解析】解：根据一元一次方程的定义可知，且，
解得：，原方程为：，解得：，
根据一元一次方程的定义，即含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可．
4.【答案】
【解析】解：、方程，移项可得，不符合题意；
B、方程去括号，得，不符合题意；
C、方程，未知数系数化为，得，不符合题意；
D、方程可化为，符合题意．
各方程整理得到结果，即可作出判断．
5.【答案】
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
方程的解为正整数，
，，
解得或，
符合条件的所有整数的和为：．
求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可．
7.【答案】
【解析】根据一元一次方程无解，可得一次项的系数为，可得答案．
解：若关于的方程无解，
则，
8.【答案】
【解析】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键，根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
解：当时，代入方程即可得到，成立，故正确；
，去括号得：，即，方程有唯一的解，则，故正确；
方程，移项得：，则，，，则，故错误；
把代入方程，得到，则一定是方程的解，故正确．
9.【答案】
【解析】本题考查二元一次方程的变形，解题的关键是掌握等式的基本性质，直接移项变形即可．
解：，．
10.【答案】
【解析】解：将代入，
得，
，
，
，
将代入，得到，即可求解．
11.【答案】
12.【答案】
【解析】解：方程的解是，
方程的解是，
由题意得，，
解得，
分别求出两个方程的解，再根据两个方程为“和谐方程”得出，求出的值即可．
13.【答案】
【解析】本题考查解一元一次方程，将方程正确变形是解题的关键．
解：因为，，，，，
所以
，
即，
解得．
14.【答案】解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为，得：；
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为，得：．
【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，把未知数系数化为，求出解．
15.【答案】解：方程，
解得：，
与的解互为相反数，
把代入第一个方程得：，
解得：．
【解析】求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16.【答案】解：去分母时，只有方程左边的没有乘以，
，
把代入上式，解得，
原方程可化为：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
故，．
【解析】先根据错误的做法：“方程左边的没有乘以”而得到，代入错误方程，求出的值，再把的值代入原方程，求出正确的解．
17.【答案】
【解析】解：由题可知，关于的方程与方程、均为不等于的常数称互为“轮换方程”，
方程与方程互为“轮换方程”，故正确；
方程与互为“轮换方程”，故正确；
方程与不互为“轮换方程”，故错误．
故答案为：．
关于的方程与方程互为“轮换方程”，
，
解得：，
．
关于的方程的“轮换方程”为：，
由方程得：，
由方程得：，
关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，
或，
，
多项式和，不论取多少，与的和始终等于整数，
，解得：，
综上分析可知，常数的值为．
根据“轮换方程”的定义直接可得答案；
根据“轮换方程”得出，求出，即可得出答案；
关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，求出或，再根据不论取多少，与的和始终等于整数，求出答案即可．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：关于的方程无解，则．
有或者、异号．
的值为非正数．
根据一元一次方程无解，则，，依此可以得出关于的方程中，从而得出的取值范围．
2.【答案】
【解析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零．
解：，
，
要使有解，
则解得．
3.【答案】
【解析】本题考查一元一次方程的解的知识，关键是掌握方程有无穷多解的条件方程，则，，将方程化为标准形式后可得出答案．
解：整理原方程得
要使该方程有无穷多解，只当且，
当时，．
所以当时，原方程有无穷多个解．
4.【答案】
【解析】此题考查一元一次方程的解，整体思想的应用，将看作然后比较即可得到的值为，然后解之即可求出的值．
解：解：关于的一元一次方程的解为，
即，关于的一元一次方程，可得，解得．
5.【答案】或
【解析】先求出方程的解，得出为组，再给数列分组，从中找出规律每组的个数为，然后即可求解．
解：将方程，
去分母得，
移项，并合并同类项得，
解得，
因为是方程的解，
所以，则为组，
观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，，
可发现规律：为组，，，为组，
每组的个数为，则第组有，则第组共有个数．
这组数的最后一位数为：，
这组数的第一位数为：．
故答案为或．
6.【答案】
【解析】本题考查了一元一次方程的解和规律型：数字的变化类，通过变形得到是解题的关键．
设，变形得到，从而得到，解方程即可得出答案．
解：设，
则，，．
7.【答案】解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：；
去分母，得：
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：．
8.【答案】【小题】解：整理，得．
当，即时，原方程可化为，解得；
当，即时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
【小题】因为，
所以当，即时，方程无解；
当，即时，方程只有一个解；
当，即时，方程有两个解．
9.【答案】解：解方程得，，
解方程得，，
，
方程与方程的解不接近；
关于的方程的解为，关于的方程的解为，
关于的方程与关于的方程的解接近，
，解得或，即，
的最大值是，最小值；
解方程得，
解方程得，
方程与方程的解接近．
【解析】解出两个一元一次方程的解分别是和，根据题意则两个方程得解接近，否则不接近．本题中
由题意可知，分别求出两个方程的解都用的式子来表示，求出的取值范围，再从中确定的最大值和最小值．
分别解出两个一元一次方程的解都用的式子来表示，求出两个解的绝对值与比大小即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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