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专题 实际问题与一元一次方程—积分问题和数字问题
一、积分问题
积分问题的常见类型
在体育比赛、游戏竞赛等场景中，常常会涉及到积分问题。一般来说，积分规则会根据比赛的胜负平情况来设定。
例如：在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。
在篮球比赛中，胜一场得2分，负一场得0分（有的联赛会有更复杂的积分规则，如胜场加分、输场扣分等）。
解决积分问题的步骤
步骤一：分析积分规则
仔细阅读题目，确定比赛的积分规则，即胜、负、平分别对应的积分。
步骤二：设未知数
根据题目要求，设出合适的未知数。通常可以设比赛的场数、胜场数、负场数等为未知数。
步骤三：列方程
根据积分规则和题目中的已知条件列出方程。
步骤四：解方程并检验
解出方程得到未知数的值，然后将结果代入原问题进行检验，确保答案符合题意。
例题解析
例题1：简单积分问题
题目：某篮球联赛中，一支球队共进行了20场比赛，胜一场得2分，负一场得0分，该队总积分为32分，求该队胜了多少场？
解析：设该队胜了场，则负了场。
根据积分规则可列方程，即，解得场。
检验：胜场数为16场，负场数为场，总积分分，符合题意。
例题2：复杂积分问题
题目：在一次足球联赛中，有甲、乙两支球队。甲队比赛了15场，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，甲队总积分为30分，且甲队胜场数比平场数多2场，求甲队胜、平、负各多少场？
解析：设甲队平了场，则胜了场，负了场。
根据积分规则列方程：
展开方程得，，解得场。
所以甲队胜了场，负了场。
检验：胜8场得分，平6场得分，负1场得0分，总积分分，符合题意。
二、数字问题
数字问题的常见类型
数字问题通常涉及到数字的组成、数字的变换等。常见的有：
两位数、三位数等数字的表示。例如，一个两位数，十位数字是，个位数字是，则这个两位数表示为。
数字的对调问题，如将一个两位数的个位数字与十位数字对调后，比较原数与新数的大小关系等。
数字在运算中的应用，如一些算式中数字的关系等。
解决数字问题的步骤
步骤一：正确表示数字
根据数字的数位关系，正确地用代数式表示数字。例如，对于三位数（为百位数字，为十位数字，为个位数字），其表示为。
步骤二：分析数字关系
根据题目中的条件，分析数字之间的关系，如和、差、积、商等关系。
步骤三：列方程
根据数字关系列出方程。
例如，如果一个两位数，个位数字与十位数字之和为，且这个两位数比个位数字与十位数字之积的倍多，设十位数字为，个位数字为，则可列方程。
步骤四：解方程并检验
解出方程得到未知数的值，然后将结果还原成数字进行检验，确保答案符合题意。
例题解析
例题1：数字表示问题
题目：一个三位数，百位数字是，十位数字是，个位数字是，用代数式表示这个三位数。
解析：根据数字的数位关系，这个三位数表示为。
例题2：数字对调问题
题目：一个两位数，个位数字是，十位数字是，将个位数字与十位数字对调后得到新的两位数，新数比原数大36，求原数。
解析：原数表示为，对调后的新数表示为。
根据题意可列方程
展开方程得，，化简得。
因为、是数字，且不能为0，所以可以通过列举法求解。
当时，，原数为；当时，，原数为；当时，，原数为；当时，，原数为；当时，，原数为。
例题3：数字在算式中的问题
题目：在算式中，、、是不同的数字，求、、的值。
解析：因为表示一个三位数，所以，。
根据题意可列方程
展开方程得
移项整理得，进一步化简得。
通过试值法，因为是百位数字，且，所以只能是1或2。
当时，，，通过试值发现，满足方程。
当时，，，无合适的数字解。
所以，，。
练习：
1.学校组织七年级7个班开展篮球赛。规定本班和其他班每班只打一场，赢一场积3分，输一场扣1分（无平局），已知四班同学获得积分为14分，那么他们赢了___场。
2.爸爸和小明共下12局棋（未出现和棋），记分规则：爸爸赢一局记1分，小明赢一局记2分。若爸爸和小明得分相同，则爸爸赢了___局。
3.某学校围棋社组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分。在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人。比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分。
(1)共进行了多少场比赛？
(2)男选手的总得分是多少分？
(3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？
(4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？
4.2023年5月，贵州省榕江县足球超级联赛在该县城北新区体育馆开幕，现场观众最多时达到5万人，平均每场比赛超5000万人次在线围观，全网流量突破300亿次……这场“村超”的火爆“出圈”提升了贵州乡村人民对自己文化、生活的自豪和自信。下表呈现的是各村足球队中部分参赛队根据积分规则得到的不完整积分表。
参赛队 局次 胜 和 负 积分
朗洞镇平松村 9 6 2 1 20
小瑞村 9 5 2 2 17
三江四格队 9 0 0 9 0
平永村队 9 1 14
观察表格，解决下列问题：
(1)本次比赛：“胜”一局得___分，“和”一局得___分，“负”一局得___分；
(2)请在表格中将“平永村队”的积分补充完整；
(3)在积分规则不变的前提下，若此系列赛每个队共对弈21局，“美乡村队”最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为“美乡村队”的最终得分可以是40分吗？请说明理由。
5.下表是某次篮球联赛部分球队的积分表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 16 10 6 36
光明 16 9 7 34
远大 16 12 4 40
卫星 16 6 10 28
备注：积分=胜场积分+负场积分
(1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分；
(2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？
6.三个连续的偶数的和是3a，其中最大的偶数是（）
A. 2a
B. a + 1
C. a + 2
D. a + 4
7.已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足bd - ac = 412，则这四个偶数是____.
8.一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x，把1与x对调，新的两位数比原两位数小18，则x的值是（）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9.在算式中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字，则表示的数为____.
10.已知一个两位数，个位上的数字和十位上的数字和为8，将其个位上的数字与十位上的数字对调后组成一个新的两位数。若原两位数与18的和不大于新两位数，则满足条件的两位数可能是____.
参考答案：
1.设四班赢了场，则输了场，根据积分可列方程，
展开得，
合并同类项得，解得，所以他们赢了场。
2.设爸爸赢了局，则小明赢了局，根据得分相同可列方程，
展开得，
移项得，解得，所以爸爸赢了局。
3.(1)比赛总场数场。
(2)设男选手总得分是分，则女选手总得分是分，
根据比赛场数可列方程，
展开得，
移项得，解得，所以男选手总得分是分。
(3)男选手与女选手比赛场数为场，因为男选手在这些比赛中输的场数等于女选手赢的场数，女选手总得分比男选手多分，所以男选手在与女选手比赛中得了分。
(4)因为女选手总得分比男选手多分，且所有选手得分都是通过胜负获得（没有平局），所以得分最高的选手一定是女选手。
4.(1)从朗洞镇平松村数据可得，胜一局得分，和一局得分，负一局得分。
(2)平永村队胜场，负场。
(3)设美乡村队负局，则胜局，和局，
得分，
当时，，解得，此时胜局，和局，符合题意，所以可以是分。
5.(1)设胜一场得分，则负一场得分
列方程： ，
展开得，
移项得，解得，则，所以胜一场得分，负一场得分。
(2)设胜场，负场，总积分，
当时，，解得不是整数，所以不可能。
(3)设胜场，负场（为正整数），则，，
奖金，
当时，，元；
当时，，元；
当时，，元；
当时，，元。
6.设中间的偶数为，则三个连续偶数为，，，和为，最大的偶数是，选C。
7.设这四个连续偶数为，，，，则，
展开得，
合并同类项得，解得，所以这四个偶数是，，，。
8.原两位数为，新两位数为，根据题意，展开得，合并同类项得，解得，选C。
9.设，则，
展开得，
移项得，解得。
10.设原两位数个位数字为，则十位数字为，原数为，新数为，
根据题意，
移项得，解得，
当时，原数为；当时，原数为；当时，原数为。

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