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第四章　图形的相似
1　成比例线段
1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比．
2．理解和掌握成比例线段的定义和性质．
3．能应用比例的性质解决相关的问题．
重点
掌握成比例线段的定义和性质．
难点
会运用比例的基本性质解决问题．
一、情境导入
课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
学生：这些图片都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．
二、探究新知
1．两条线段的比的概念
教师：请同学们回忆，什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两条线段的长短？
学生：两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作a∶b；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小．
教师：由比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
学生：两条线段的比就是两条线段长度的比．
教师：线段a的长度为3 cm，线段b的长度为6 m，所以线段a，b的比为3∶6＝1∶2，对吗？请说明理由．
学生：因为a，b的长度单位不一致，所以不对．
教师：那么，应怎样定义两条线段的比，以及求线段的比时应注意什么问题呢？
学生思考后举手回答，教师点评，并讲解：
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成＝.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，则＝k，或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．
强调：在量线段时要选用同一个长度单位．
2．比例线段的概念
课件出示教材第77页图4－3，提出问题：
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EF，EH的长度分别是多少？
分别计算，，，的值，你发现了什么？
学生独立完成，教师引导学生得出比例线段的概念：
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质
教师：如果a，b，c，d四个数成比例，即＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？
学生小组讨论交流得出比例的基本性质：
如果＝，那么ad＝bc.
如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
4．等比性质
(1)课件出示：
①如图，已知＝＝3，求和；
②如果＝＝k(k为常数)，那么＝成立吗？为什么？
学生完成后给出答案，教师点评．
(2)课件出示：
①如果＝，那么＝成立吗？为什么？
②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝成立吗？为什么？
③如果＝，那么＝成立吗？为什么？
学生分小组讨论后举手回答，教师讲评．
解：①如果＝，那么＝.
∵＝，
∴－1＝－1.
∴＝.
②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝.
设＝＝＝k，
∴a＝bk，c＝dk，e＝fk.
∴＝＝＝k＝.
引导学生归纳：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
③如果＝，那么＝.
∵＝，
∴＋1＝＋1.
∴＝.
由①得＝，
∴＝.
三、举例分析
例1　(课件出示教材第78页例1)
学生独立完成后汇报答案，教师点评．
例2　(课件出示教材第80页例2)
学生独立完成后汇报答案，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第79页“随堂练习”第1～3题．
2．教材第80页“随堂练习”．
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．比例线段的概念是什么？
3．比例的性质有哪些？
六、课外作业
1．教材第79页习题4.1第1，2题．
2．教材第81页习题4.2第1，2题.
本节课主要学习比例线段的概念及性质．成比例线段的概念，在后续学习中需要用到，是学生后续学习的基础，也是本节课研究比例性质的一个基础性概念．对学生而言，这个概念基于图形背景中，比较直观，学生比较容易理解．比例的性质，则是后续研究相似图形性质的基础，同时也可以为分式运算提供一些便捷，而且比例性质的寻求与说理过程中，蕴含着一些基本的数学方法，可以迁移运用到后续知识的学习中，是本节课重要的教学任务．
2　平行线分线段成比例
1．理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．
2．会用平行线分线段成比例解决问题．
3．培养学生认识事物从一般到特殊的认知过程．
重点
掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．
难点
灵活运用平行线分线段成比例解决问题．
一、复习导入
1．什么叫比例线段？
学生：四条线段 a，b，c，d 中，如果 ＝，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例线段有哪些性质？
学生：如果＝，那么ad ＝bc.
如果 ad ＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
如果 ＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
二、探究新知
1．平行线分线段成比例的基本事实
课件出示教材第82页图4－6，图4－7及相关问题．
学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2．平行线分线段成比例的推论
课件出示：
(1)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上(如图②)所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
(2)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上(如图②)，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
学生分小组讨论，教师引导学生得出结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例．
三、举例分析
例　(课件出示教材第83页例题)
学生独完成后给出答案，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第84页“随堂练习”．
2．如图，点D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．平行线分线段成比例的基本事实及其推论分别是什么？
六、课外作业
教材第84～85页习题4.3第1～4题．
“平行线分线段成比例”是平面几何的一个重要基本事实，它是研究相似图形的最重要和最基本的理论，一方面它可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个基本事实把两条线段的比“转移”成另两条线段的比．把平行线分线段成比例应用在三角形上，就得到了一个重要的推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．
3　相似多边形
1．了解相似多边形和相似比的定义，会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似．
2．能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
重点
了解相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似．
难点
能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
一、情境导入
教师：在生活中，我们常会看到这样一些图片(课件出示下图)．观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？
二、探究新知
1．课件出示形状相同的正三角形ABC与正三角形A1B1C1，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1，提出问题：
(1)在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．
(2)在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？
学生思考后给出答案，教师点评．
2．课件出示形状相同的六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1，提出问题：
(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．
(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
学生分组讨论后给出答案，教师点评，并讲解：
图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．
教师：回忆一下，我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？
引导学生总结相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．例如，在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”．相似多边形对应边的比叫做相似比．
教师强调以下几点：
(1)在记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．
(2)相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定两个多边形相似的方法，也是最本质、最重要的性质．
(3)相似比有顺序性．例如，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，对应边的比为＝＝＝＝＝.因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比k1＝，五边形 A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比k2＝.
(4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相似图形的特殊情况．
三、举例分析
例1　(1)观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？
(2)图②中的两个图形相似吗？为什么？你从中得到什么启发？
引导学生得出：如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等；如果两个多边形不相似，对应边也可能成比例．但如果两个多边形不相似，那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例．
例2　一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
学生思考后给出答案，教师点评并提问：
如果镶的纵向边框宽7.5 cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？
学生分组讨论后举手回答，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第87～88页“随堂练习”第1，2题．
2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．相似多边形的概念是什么？
3．相似比的概念是什么？
六、课外作业
教材第88页习题4.4第1～4题．
本节课在探索相似多边形定义的过程中，我刻意地回避了“两个图形的形状相同吗”的问题，而是直接明确指出两个图形相似，然后探索相似的本质特征．因为我认为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似)，只是一种感性的认识，这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断．从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误．
4　探索三角形相似的条件
第1课时　相似三角形和判定定理1
1．理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理1.
2．初步掌握相似三角形判定定理1的应用．
重点
理解相似三角形的定义和相似三角形的判定定理1.
难点
相似三角形判定定理1的理解及应用．
一、情境导入
教师：请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们与老师手中的木制三角板有什么关系？
学生：它们对应角相等，对应边成比例．
二、探究新知
1．相似三角形的定义
教师：根据上面的关系，以及相似多边形的定义，你能说出相似三角形的定义吗？
引导学生得出：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定定理1
教师：若给定两个三角形，你有什么办法来判定它们是否相似？能否类比两个三角形全等的条件，来寻找判定两个三角形相似的条件呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？
(1)教师：任意画一个△ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一．与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
①使∠ABC＝60°；
②使∠ABC＝90°；
③使∠ABC＝120°；
④使∠ABC＝∠α.
学生合作交流，引导得出结论：如果两个三角形只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似．
(2)教师：如果有两个角对应相等的两个三角形，能否判定这两个三角形相似？与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′ ，使△ABC和△A′B′C′满足下列条件之一．比较你们所画的三角形，∠C 与∠ C′相等吗？对应边的比相等吗？三角形相似吗？
①使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于60°；
②使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于90°；
③使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于120°；
④使得∠A，∠A′都等于α， ∠B 和∠ B′都等于β.
引导学生得出相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
三、举例分析
例1　判断下列说法是否正确．
(1)所有的等腰三角形都相似；
(2)所有的等腰直角三角形都相似；
(3)所有的等边三角形都相似；
(4)所有的直角三角形都相似；
(5)有一个角是120°的两个等腰三角形相似；
(6)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
学生举手回答，教师点评．
例2　(课件出示教材第89页例1)
学生独立完成，指名汇报，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第90页“随堂练习”第1，2题．
2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(　　)
A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．什么是相似三角形？
3．相似三角形的判定定理1的内容是什么？
六、课外作业
教材第90页习题4.5第1～3题．
本节课是探索三角形相似的条件的第一课时——相似三角形和判定定理1，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，通过类比、观察等方式，让学生自行总结相似三角形的定义，再通过合作交流、画图等方式，让学生探讨出相似三角形的判定定理1，并且学会运用定理，培养学生分析观察能力和总结能力．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．
第2课时　相似三角形的判定定理2和3
1．掌握三角形相似的判定定理2和3.
2．能利用相似三角形的判定定理2和3解决问题．
重点
掌握三角形相似的判定定理2和3.
难点
相似三角形的判定定理2和3的应用．
一、复习导入
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC.
(1)△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
(2)如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的长吗？
(学生认真读题，观察图形，运用学过的判定相似的方法以及相似性质，讨论得出结果)
分析：△ABD∽△DCB.因为∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠DBC，故而这两个三角形相似；由＝，故BD＝6.
教师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定定理1，除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．
二、探究新知
1．相似三角形的判定定理2
教师：我们知道，相似三角形的各边成比例，如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流．
学生：两边成比例的两个三角形不一定相似．
教师：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
学生思考后给出答案，教师点评．
教师：我们先来考虑增加一角相等的情况．
课件出示：
画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′(或 ∠C与∠C′)的大小．
(1) △ABC和△A′B′C′相似吗？
(2)改变k值的大小，再试一试．
学生完成后给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教师：想一想，如果△ABC和△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
要求学生先画出图形，教师展示学生的图形，并提出问题：由此你能得到什么结论？
2．相似三角形的判定定理3
教师：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？
学生小组内讨论，教师巡视．
课件出示：
画△ABC和△A′B′C′，使，和都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小．
(1)△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由．
(2)改变k值的大小，再试一试．
学生分小组讨论并给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
3．总结
教师：在这两节课中我们已经学完了三角形相似的判定方法，下面请大家总结判定三角形相似有几种方法？
第一种：对应角相等，对边成比例的两个三角形相似．即定义法．
第二种：两角对应相等的两个三角形相似．
第三种：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
第四种：三边对应成比例的两个三角形相似．
强调：从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第三种方法判断；如果已知条件只涉及边，就用第四种判定方法．(教师最好用实例引导)
三、举例分析
例1　图①中是否有相似的三角形？图②中的两个三角形是否相似？
学生思考后给出答案，教师点评．
例2　(课件出示教材第91页例2)
例3　(课件出示教材第94页例3)
学生独立完成后汇报答案，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第92页“随堂练习”．
2．教材第94页“随堂练习”．
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．相似三角形的判定定理2和3分别是什么？
六、课外作业
1．教材第93页习题4.6第1，3题．
2．教材第95页习题4.7第1，2题．
本节课是探索三角形相似的条件的第二课时——相似三角形的判定定理2和3，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，让学生动手实践，合作交流，总结出相似三角形的判定定理2和3，培养学生分析观察能力和总结能力．通过讲练结合，学会运用定理，加深学生对新知的认识．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．
第3课时　黄金分割
1．理解和掌握黄金分割的定义．
2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点．
3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
重点
黄金分割的意义和简单应用．
难点
掌握寻找黄金分割点的方法．
一、情境导入
课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：
(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
(2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？
(3)为什么世界第三高塔的上海东方明珠塔那么璀璨壮观？
学生小组讨论后给出答案，教师点评．
教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”．
二、探究新知
1．黄金分割的定义
课件出示一个五角星：
教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，然后计算，，它们之间有什么关系？
学生：＝.
引导学生得出：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
2．计算黄金比
教师：那么AC与AB的比是多少呢？
学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程：
由＝ ，得AC2＝AB·BC.
设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x.
∴x2＝1×(1－x)，
即x2＋x－1＝0.
解这个方程，得
x1＝，x2＝(不合题意，舍去)．
所以，＝≈0.618.
教师：AC与AB的比叫做黄金比．其中≈0.618.
3．找黄金分割点的方法
(1)课件出示：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB.
②连接DA，在DA上截取DE＝DB.
③在AB上截取AC＝AE.则点C为线段AB的黄金分割点．
教师：能说说其中的道理吗？
教师：若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC，BC间需满足＝.下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB＝1.
学生独立完成后给出答案，教师点评．
(2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点．
①如图，设AB是已知线段．
②以AB为边作正方形ABCD.
③取AD的中点E，连接EB.
④延长DA至点F，使EF＝EB.
⑤以线段AF为边作正方形AFGH.
⑥点H就是AB的黄金分割点．
教师：你能说说这种作法的道理吗？
学生分小组讨论后给出答案，教师讲解．
解：设AB＝1，那么在Rt△BAE中，
BE＝＝＝.
EF＝BE＝，
AH＝AF＝BE－AE＝－＝.
BH＝AB－AH＝1－＝.
因此＝，点H是AB的黄金分割点．
三、练习巩固
当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m)
四、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？
3．说一说找黄金分割点的方法．
五、课外作业
教材第98页习题4.8第1～3题．
“黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道．
5　相似三角形判定定理的证明
1．能够熟练地掌握证明相似三角形的判定定理．
2．经历探索相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的合情推理能力．
重点
相似三角形判定定理的证明．
难点
合理添加辅助线．
一、复习导入
教师：相似三角形的判定定理有哪些？
学生：两角分别相等的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
三边成比例的两个三角形相似．
教师：在前面，我们探索了三角形相似的条件，今天我们将对这些定理进行证明．
二、探究新知
1．证明三角形的判定定理1
课件出示：
如图，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B＝∠B′. 求证：△ABC ∽△A′B′C′.
学生思考完成后，教师板书证明过程．
证明：在 △ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD ＝A′B′，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则∠1＝∠B，∠2 ＝∠C，＝.
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则
＝.
∴＝.
∵ DE∥BC, DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE ＝ CF.
∴＝.
∴＝＝.
而∠1＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠2＝∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．证明三角形的判定定理2
课件出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝.求证：△ABC∽△A′B′C′.
指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．
3．证明三角形的判定定理3
课件出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，＝＝.求证：△ABC∽△A′B′C′.
指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．
强调：证明两个三角形相似，可以通过画辅助线来帮助解决．
三、举例分析
例　如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的长．
学生分小组讨论后举手回答，教师点评并板书解答过程．
解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB.
∴AB：AC＝AD：AB.
∴AB2＝AD·AC.
∵AD＝2，AC＝8，
∴AB＝4.
四、练习巩固
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，求AD的长．
五、小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课外作业
教材第102页习题4.9第1～4题．
本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的．它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸．本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用．课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的综合语言能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性．积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣．
6　利用相似三角形测高
1．在测量旗杆高度的具体问题情境中，通过构建数学模型，进一步理解相似三角形的概念．
2．了解平行投影的意义和平行投影在生活中的运用，增强用数学的意识．
重点
综合运用相似三角形的有关知识求物体的高度．
难点
从实际问题中，建立数学模型．
一、复习导入
教师：判定三角形相似的定理有哪些呢？
学生：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．
教师：今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．
二、探究新知
1．分析原理
教师：请同学们自学教材第103～104页的内容，小组讨论交流三种测量方法的数学原理．
甲组：利用阳光下的影子．
出示下图：
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形(如图①)，即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据＝可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
乙组：利用标杆．
出示下图：
如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于点G，交标杆EF于点H，于是得到△DHF∽△DGC.
因为可以测量AE，AB，观测者身高AD，标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB.
由＝，得GC＝.
∴旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD.
丙组：利用镜子的反射．
出示下图：
这里涉及物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC.测出AE，EB与观测者的身高AD，根据＝，可求得BC＝.
2．实践活动
教师：同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，每组分出三个小组分别实施这三种方法，测量我校操场上的旗杆高度．要求每小组中有观测员、测量员、记录员、运算员、复查员．
学生实际测量，教师巡视指导．
结合各组实际操作中遇到的问题，综合学生讨论情况做出如下结论：
(1)测量中允许有正常的误差．
(2)方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．
(3)大家一致认为方法一简单易行，是个好办法．
(4)方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．
教师：现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：
(1)你还有哪些测量旗杆高度的方法？
(2)今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？
三、练习巩固
1．教材第104～105页“读一读”．
2．高4 m的旗杆在水平地面上的影长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，求该建筑物的高度．
四、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．测量旗杆的高度有哪些方法？
3．这几种测量方法各有哪些优缺点？
五、课外作业
教材第105页习题4.10第2～4题．
本节课的内容是利用相似三角形测高．它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决．通过对此问题的解决方法的探究，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识．学生在本章前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步了解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决实际生活中的具体问题的基本知识．本节课在探究环节采用小组合作的形式，提高学生的动手能力与合作能力．调动学生的学习积极性．
7　相似三角形的性质
1．理解相似三角形的性质定理．
2．利用相似三角形的性质定理解决问题．
重点
理解相似三角形的性质定理．
难点
利用相似三角形的性质定理解决问题．
一、复习导入
1．什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？
2．当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？
3．全等三角形有哪些性质？三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？
教师：相似三角形又有哪些性质呢？本节课我们将共同探讨．
二、探究新知
1．相似三角形的性质定理1
课件出示：
如图，小王依据图纸上的△ABC，以3：4的比例制作了三角形零件△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高．
(1)，，各等于多少？
(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比．
(3)请你在图中再找出一对相似三角形．
(4)等于多少？你是怎么做的？与同伴交流．
解：(1)＝＝＝.
(2)△ABC∽△A′B′C′.理由：
∵＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
(3)△BCD∽△B′C′D′.(△ADC∽△A′D′C′)
∵由△ABC∽△A′B′C′，得∠B＝∠B′.
∵∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，
∴△BCD∽△B′C′D′(同理△ADC∽△A′D′C′)．
(4)∵△BDC∽△B′D′C′，
∴＝ ＝.
课件出示：
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
(1)如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
(2)如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
学生互相交流后写出过程．教师点评，并引导学生得出相似三角形的性质定理1：
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比对应中线的比都等于相似比．
2．相似三角形的性质定理2
课件出示：
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？
(2)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求出△ABC与△A′B′C′的周长和面积比吗？
解：(1)周长比为2，面积比为4.
(2)由已知，得＝＝＝k.
∴＝＝k.
分别作△ABC和△A′B′C′的高CD和C′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝＝k(相似三角形对应高的比等于相似比)
∴＝＝·＝k2.
引导学生得出相似三角形的性质定理2：
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
课件出示：
如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
(1)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
(2)连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？
(3)设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1，S△A2B2C2，S△A2C2D2，那么，各是多少？
(4)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？
(5)如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？两个相似的n边形呢？
学生讨论后给出答案，教师点评并引导学生得出：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
三、举例分析
例1　(课件出示教材第107页例1)
例2　(课件出示教材第110页例2)
学生独立完成，指名板演，教师点评．
四、练习巩固
1．教材第107～108页“随堂练习”第1，2题．
2．教材第110页“随堂练习”．
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．相似三角形的性质定理有哪些？
六、课外作业
1．教材第108页习题4.11第1，2题．
2．教材第111页习题4.12第3题．
相似三角形的性质定理是解决有关实际问题的重要基础，根据课标要求将理解相似三角形的性质定理作为本节课重点而将探究推导性质定理作为本节课难点．本节课对学生的评价，更多地应关注对学生学习的过程性评价．在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平，发展学生的语言表达能力．
8　图形的位似
1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用画位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
重点
掌握位似多边形的有关概念、性质与画图．
难点
在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质．
一、情境导入
课件出示教材第113页图4－35，提出问题：
(1)它们是相似图形吗？
(2)图形位置间有什么关系？你能找出一些规律吗？
引导学生得出：它们的形状相同，大小不同，是相似图形，图形上各组对应点的连线通过同一点．
二、探究新知
1．位似多边形的相关概念
课件出示下图，提出问题：图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
学生观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，引导学生自己归纳出位似图形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 这个点叫做位似中心．
注意：每组对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
教师：位似多边形与相似多边形有什么区别与联系？
学生：位似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一点，位似多边形是特殊的相似变换．
2．位似多边形的画法
课件出示：
把图①中的四边形ABCD缩小到原来的.
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 .
画法一：
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图②.
画法二：
画法三：
课件出示：
利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
(1)将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点．
(2)选取一个图形，在图形外取一个定点．
(3)将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端．
(4)拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形．
这个新图形与已知图形形状相同．
教师：请你用这种方法把一个已知图形放大．
学生独立操作完成，教师巡视指导．
3．在直角坐标系中位似多边形的性质
课件出示：
(1)如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比．
如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘－2呢？
(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(5，3)，C(2，4)，将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比．
学生思考后给出答案，教师点评并引导学生得出：
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是|k|.
三、举例分析
例1　(课件出示教材第113页例1)
学生独立完成，指名不同画法的学生板演，教师点评．
例2　(课件出示教材第117页例2)
引导学生用不同画法完成，教师巡视指导．
四、练习巩固
1．教材第114页“随堂练习”．
2．教材第117页“随堂练习”．
五、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．说说位似多边形的有关概念及其性质．
3．位似多边形的画图方法有哪些？
4．在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是什么？
六、课外作业
1．教材第115页习题4.13第1，2题．
2．教材第118页习题4.14第3题．
图形的位似是图形相似的延伸，位似图形在实际生活中有着广泛的应用．本节课的教学，我力争面向每一位学生，营造良好的学习氛围，激发每一个学生的学习热情．从精美的图片开始吸引学生的注意力，不仅引入自然、贴切，而且激发了学生学习的积极性．不足之处在于学生动手实践图形位似的画法时，练习的时间较少，学生掌握得不够熟练，应继续加强练习．

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