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用样本估计总体
【教学目标】
1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.
2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.
3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.
【教学重难点】
1．频率分布表、频率分布直方图.
2．用样本估计总体.
3．总体百分位数的估计.
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？
2．频率分布直方图有哪些特征？
3．如何求n个数据的第p百分位数？
二、基础知识
1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
2．百分位数
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
三、合作探究
1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制
角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制
为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
【解】以4为组距，列表如下：
分组 频率累计 频数 频率
[41.5，45.5) 2 0.045 5
[45.5，49.5) 7 0.159 1
[49.5，53.5) 8 0.181 8
[53.5，57.5) 16 0.363 6
[57.5，61.5) 5 0.113 6
[61.5，65.5) 4 0.090 9
[65.5，69.5) 2 0.045 5
频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若为整数，则＝组数；
②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．
角度二：频率分布直方图的应用
为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？
（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
（3）样本中不达标的学生人数是多少？
（4）第三组的频数是多少？
【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
（4）第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三组的频数为150×0.34＝51．
频率分布直方图的应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数．
2．条形统计图
为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）求抽取的学生数；
（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【解】（1）从统计图上可以看出，
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，
由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．
（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%.
（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．
实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．
（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．
3．折线统计图
小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？
（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．
（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．
（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．
（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．
（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．
（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．
4．扇形统计图
下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：
（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？
（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？
【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．
（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则解得即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件．
（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．
（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．
5．百分位数的计算
现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；
甲组数的75%分位数为＝＝9.5．
乙组数的25%分位数为＝＝1，乙组的75%分位数为＝＝12．
求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
【课堂检测】
1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )
解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．
2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．
3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是( )
A．甲校女生比乙校女生多
B．乙校男生比甲校男生少
C．乙校女生比甲校男生少
D．甲、乙两校女生人数无法比较
解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．

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