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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定2
学习目标：
1.了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.结合全等三角形的 SSS 和 SAS 的证明方法，会用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定理.
3.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
判定两个三角形的三边是否成比例应按照长边对长边，短边对短边，分别计算它们的比，最后由比值是否相等来确定三边是否成比例（即两个三角形是否相似）
在判定方法2中，注意夹角相等的条件，如果对应相等的角表示对应成比例的两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似。
一、知识点拨
知识点1 利用三边成比例证三角形相似
（1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
（2）利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、中间对中间的方法找对应边.另外要注意两个三角形的先后顺序.
【新知导学】
例1-1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例1-2．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　　）
A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA
C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA
例1-3．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在(　　)
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
【对应导练】
1．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　 　．
2．如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形△ABC和△DEF，试证这两个三角形相似．
3．如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（　　）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
知识点2 、利用两边及其夹角判断两个三角形相似的方法
（1）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法：
依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似，若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个三角形不相似。
【新知导学】
例2-1．如图已知：，求证：.
例2-2． （1）如图1，在中，，点分别在边上，且，若，则的值是　 　；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接和，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在中，，，点分别在边上，且，现将绕点A逆时针方向旋转到位置，连接和，若，请直接写出线段的长．
例2-3．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A．， B．
C．， D．，
【对应导练】
1．如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：．
3 .如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
知识点3 、利用相似三角形的判定求线段，角
【新知导学】
例3-1 .如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长.
例3-2. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1．
（1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC；
（2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为项点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；
（3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）
题型训练
利用判定定理证明相似
1．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
3 .在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
利用相似求线段长度
4．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝　 　．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝　 　．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
利用相似求角度
6．理解与应用
小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题：
如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP.
要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是____________，或_________.
请回答：
（1）小明补充的条件是____________________，或_________________.
（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数．
7. 如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，．
(1)求证：；
(2)如果 ，则=________度．
课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1 .如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　)

A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　　）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．（2019·珠海市期末）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　）
A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
5．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
7. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C．D．
8．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．
10 .如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（ ）
①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个．
12．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ．
13．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．

三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
15 .如图，在5×6的方格中，点A、B是两个格点，请按要求作图．
（1）在图1中，以AB为边作矩形ABEF（要求E、F两点均是格点）；
（2）在图2中，点C、D是两个格点，请在图中找出一个格点P，使△PAB和△PCD相似（找出一个即可）．
16 .如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
17 .如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE OC．
18 .如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
19 .如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定2
学习目标：
1.了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.结合全等三角形的 SSS 和 SAS 的证明方法，会用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定理.
3.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
判定两个三角形的三边是否成比例应按照长边对长边，短边对短边，分别计算它们的比，最后由比值是否相等来确定三边是否成比例（即两个三角形是否相似）
在判定方法2中，注意夹角相等的条件，如果对应相等的角表示对应成比例的两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似。
一、知识点拨
知识点1 利用三边成比例证三角形相似
（1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
（2）利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、中间对中间的方法找对应边.另外要注意两个三角形的先后顺序.
【新知导学】
例1-1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：AB=2，BC= ，AC= ，
对于图①，三角形三边为2，3 ，2 ，因为 = = ，所以图①的三角形与△ABC相似；
对于图②，三角形三边为2 ，2 ，10，因为 = = ，所以图②的三角形与△ABC相似；
对于图③，三角形三边为2 ， ，5，因为 ≠ = ，所以图③的三角形不与△ABC相似；
对于图④，三角形三边为 ，2 ，5 ，因为 = = ，所以图④的三角形与△ABC相似．
故选C．
【分析】先利用勾股定理计算出所有三角形的边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对四组图形矩形判断．
例1-2．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　　）
A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA
C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB= PA，AC= PA，AD= PA，BD=2PA，∴ = ，∴ ，∴△ABC∽△DBA，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判定即可得出答案.
例1-3．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在(　　)
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】从图中可知，要使△ABC与△PBD相似，根据勾股定理，得BC=，BD=，那么，因为AB=2，那么BP=4，故选择P3处 .
选C
【点评】该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。
【对应导练】
1．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　 　．
【答案】△PBA∽△PAC
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】如图，根据勾股定理求出各边长，根据三边对应成比例的两三角形相似的判定，可得△PBA∽△PAC.
【分析】根据勾股定理求出各边长，根据三边对应成比例的两三角形相似的判定即可得出答案。
2．如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形△ABC和△DEF，试证这两个三角形相似．
【答案】解：由图可知，AB=3， EF=2，由勾股定理得CB=，AC=，
DF=，DE=．
∵，
，
∴==
∴△ABC∽△DEF
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理分别计算△ABC与△DEF三边长，根据三角形三边的比值相等可以证明三角形相似，即可解题.
3．如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（　　）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理先求出△ABC各边的长，然后利用三组边对应成比例两三角形相似，进行分析判断．
【解答】应该为丙，因为当R在丙的位置时，若设每一个小正方形的边长为1，则△PQR的三边分别为4、、．
△ABC的各边分别为2、、．
各边对应成比例且比例相等均为2，则可以得到两三角形相似．
故选：B
【点评】考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的掌握情况．
知识点2 、利用两边及其夹角判断两个三角形相似的方法
（1）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法：
依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似，若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个三角形不相似。
【新知导学】
例2-1．如图已知：，求证：.
【答案】证明：∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ABC=∠ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由，可证得△ABD∽△ACE，继而可得∠DAE=∠BAC，即可证得△ABC∽△ADE，继而证得结论．
例2-2． （1）如图1，在中，，点分别在边上，且，若，则的值是　 　；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接和，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在中，，，点分别在边上，且，现将绕点A逆时针方向旋转到位置，连接和，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）解：不变，
由（1）可知，
，
，
旋转，
，
，
，
（3）解：，
，
，
由旋转可知：，
，
，
，
，
在中，，
，
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵DE//BC，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据平行线分线段成比例即可得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质得到，再证明，即可得到，即可求解；
（3）根据MN//BC得到∠ACB=∠ANM=90°，由旋转得到，进而证明AE//CD，得到，在中，根据勾股定理求出EC的长，根据，即可求出BD的长.
例2-3．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A．， B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判断△ABC∽△ADE，此选项符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断A选项；根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可判断B选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断两个三角形相似，但给定的条件是“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，这两个条件不能判断两个三角形相似，据此可判断C选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断D选项.
【对应导练】
1．如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：小正方形的边长均为1 ，根据图形可知：BC=2，AC=，∠ACB=135°，
由选项中图形可知：A、C、D中的三角形中都不含有135°，故A、C、D三个选项都不符合题意；
由B选项图形可知：含有135°，且135°角的两边分别为1和，
，且夹角相等，
B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察图像可得∠ACB=135°，再根据选项中的图形可知A、C、D中均不含135°，不符合题意，再验证B选项即可.
2．如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：．
【答案】【解答】
解：∵，，，，∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先求出，的长，再求出，又因为，根据相似三角形的判定可证得
3 .如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
【详解】当△ADP∽△ACB时，
需有，∴，解得AP＝9；
当△ADP∽△ABC时，
需有，∴，解得AP＝4．
∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
知识点3 、利用相似三角形的判定求线段，角
【新知导学】
例3-1 .如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长.
【详解】∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BC=4，
又∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴= ，
∵CE+AE=AC=6，
∴AE=4.
例3-2. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1．
（1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC；
（2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为项点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；
（3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，再由已知可推出，即可利用相似三角形的判定得出结论；（2）利用对称性或辅助圆解决问题即可；（3）根据交点个数分类讨论即可解决问题；
【详解】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，
∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，∴，∴AEF∽BFC；
解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；
连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求；
（3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个；
综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．
【点睛】本题考查了作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
题型训练
利用判定定理证明相似
1．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①当 = ，即 = 时，△PBQ∽△ABC，解得x= ；
②当 = ，即 = 时，△QBP∽△ABC，解得x= ．
∴经 或 秒时，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从当 = 与当 = 去分析，即可求得答案．
2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴
∵DF＝ DC，
∴
∴
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
又∵DF＝ DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，由AE=ED得
，由 DF＝DC得，进而得
，根据夹角相等，夹边比值相等可证明△ABE∽△DEF；
根据正方形性质可得ED∥BG，进而得，由DF＝DC，正方形的边长为4，求得ED＝2，CG＝6，再由BG＝BC+CG，代入数据即可求出BG长.
3 .在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【答案】解：设AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①当 = 时，△APQ∽△ABD，
∴ = ，
解得：t=3；
②当 = 时，△APQ∽△ADB，
∴ = ，
解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当 = 时，△APQ∽△ABD；与②当 = 时，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．
利用相似求线段长度
4．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝　 　．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝　 　．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是PR的中点，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中点，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案为：；
（3）解：∵E是AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案为：2．
【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明 △ADE∽△ABC ，即可证明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)连接AR，在△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线定义求DE，即可求EF.
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
利用相似求角度
6．理解与应用
小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题：
如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP.
要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是____________，或_________.
请回答：
（1）小明补充的条件是____________________，或_________________.
（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数．
【答案】解：（1）∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或；
（2）如图，延长AB到点D，使BD=BC，
∵∠A=∠A，AC2=AB(AB+BC)，
∴△ACB∽△ADC．
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D +∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°
∴∠B=80°.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】
（1）已知一个角相等，根据三角形相似的判定添加条件；
（2）通过延长AB到点D，使BD=BC，构造相似三角形，再由三角形内角和定理求角。
7. 如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，．
(1)求证：；
(2)如果 ，则=________度．
【答案】(1)见解析；
(2)70
【分析】（1）先证明，再证明即可；
（2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图：作交延长线于点G，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键．
课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1 .如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出。
【解答】原三角形的边长为：，2，．
A中三角形的边长为：1，，．
B中三角形的周长为：1，，．
因为，所以连个三角形相似；
C中三角形的边长为：，，3．
D中三角形的边长为：2，，．
故选B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形。
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　　）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答过程】解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
4．（2019·珠海市期末）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　）
A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】
∵∠B＝∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2＝BD BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
5．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可．
【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第二个三角形的三边的三边之比为：：：，
第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，
只有第一和第三个三角形的三边成比例，
所以只有第一和第三个三角形相似，
故选：A．
6．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．
【详解】
解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
7. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【详解】
解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵ = ，对应边 = =， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵ = = ，
= ， ≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误.
故选B．
8．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】
由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB．
【详解】
①补充∠ADE=∠C，理由是：
∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C．
②补充∠AED=∠B，理由是：
∵A是公共角，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB．
③补充，理由是：
∵∠A是公共角，，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
10 .如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（ ）
①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可．
【详解】∵，，
∴，
所以①符合题意；
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
所以④符合题意，②不符合题意；
∵，
∴．
∵，
∴，
所以③符合题意；
∵，，
∴，
所以⑤符合题意．
则符合题意的有4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
11．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个．
【答案】5
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．
【详解】解：则，，．
连接，
，，．
，
．
同理可找到，，，和相似，共5个．
故答案为：5．
12．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可．
【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x，
当2为最长边时，，
解得，
当为最长边时，，
解得，，
当和对应时，，，，即此种情况不存在，
综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或，
故答案为：或
13．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可．
【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，
，，
∴，，
∴，
同理可得，，
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】解：相似，理由如下：
∵．
∴，
又∵，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
又∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
15 .如图，在5×6的方格中，点A、B是两个格点，请按要求作图．
（1）在图1中，以AB为边作矩形ABEF（要求E、F两点均是格点）；
（2）在图2中，点C、D是两个格点，请在图中找出一个格点P，使△PAB和△PCD相似（找出一个即可）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据矩形的定义作出图形即可．
（2）连接BD，AC，延长BD交AC的延长线于点P，点P即为所求．
【详解】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，矩形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
16 .如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见解析
【分析】
先由已知条件得到：，∠BAC=∠DAE；根据两边及其夹角的三角形相似的判定定理求解即可.
【详解】
证明：如图，∵AB AE=AD AC，
∴．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
17 .如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE OC．
【答案】见解析
【分析】
（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】
证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，
,
又∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．
∴∠DCO=∠EDO．
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD,
∴ ,
18 .如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出∠B＝∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽∠ACD，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠ODF，
∴∠B＝∠ODF，
∵∠DOF＝∠BOD，
∴△DOF∽△DOB
19 .如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．
【解答过程】证明：∵EF DF＝CF BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
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