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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
学习目标：
1 理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质.
2 理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质.
3 会用相似三角形的性质解决相关问题.
老师告诉你
应用相似三角形的性质前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相似三角形性质，由相似比求面积必须要平方，反过来，由面积比求相似比必须要开平方，
一、知识点拨
知识点1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
图一
由比例性质可得：
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【新知导学】
例1-1．如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
例1-2．已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
例1-3．在阳光下，嘉琪身高，自己影子的长是，同一时刻测得工厂的国旗旗杆比企业旗的旗杆影子长，则该旗杆的高度差是（ ）．
A． B． C． D．
例1-4．如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么 ．
2．如图，已知，，，，则 ．
3．如图，将腰长为的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的 ，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
5．如图，将平移到的位置，点A的对应点为点分别交于点，若，则 ．
知识点2 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边
【新知导学】
例2-1．阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：
①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵是斜边上的高，∴．∵，，
∴．∴（依据）．∴．即．
(1)材料中的“依据”是指　　　　；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
【对应导练】
1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．
2．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④

(1)自主探究：请证明结论③
已知：在中，是斜边上的高，求证：
(2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长．
二、题型训练
1.利用相似三角形性质求线段长度
1．的三边、、的长分别是6、7、8，边上有一点M，，过点M的直线截其它边的交点是点N，如果截得的相似于，那么的长为 ．
2．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则 ．
2.利用相似三角形性质求比值
3．如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 ．
4．已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为
3.利用相似三角形性质求周长面积
5．已知：如图，、是的两条高．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
6．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求四边形的周长．
4.利用相似三角形性质证明线段相等角相等
7．已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
8．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接．
(1)求的面积；
(2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标；
(3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标．
5.利用相似三角形性质证明线段成比例
9．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，求证：．
10．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知，且相似比为，则与面积的比是（ ）
A． B．1：3 C． D．
2．如图，在中，，，下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的定义和性质，
先根据题意可知是的中位线，可知，再根据正方形的性质可知,进而得出，然后根据相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
4．将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
5．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ）
A．21 B．28 C．36 D．42
7．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是等腰三角形，．将绕点C逆时针方向旋转得到，点D落在边上．若的延长线恰好经过点A，则下列线段的比不等于的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则 ．
10．如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过 秒后，与相似．
11．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ．
12．如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，点E是上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F．若，，，则的长度是 ，的长度是 ．

13．如图，四边形是菱形，，，点E是边上一点，连接，，点F是的中点，连接交于点G．若，则的长为 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)已知，的面积为6，求的面积．
15．已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
16．如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长．
17．如图，在中，为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．如图，点，在线段上，是等边三角形，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
19．在中，，点是上一点，过点作于点．
(1)如图1，证明：；
(2)已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
学习目标：
1 理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质.
2 理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质.
3 会用相似三角形的性质解决相关问题.
老师告诉你
应用相似三角形的性质前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相似三角形性质，由相似比求面积必须要平方，反过来，由面积比求相似比必须要开平方，
一、知识点拨
知识点1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
图一
由比例性质可得：
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【新知导学】
例1-1．如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，，结合，得到，列式，结合，解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选B．
例1-2．已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
故选C
例1-3．在阳光下，嘉琪身高，自己影子的长是，同一时刻测得工厂的国旗旗杆比企业旗的旗杆影子长，则该旗杆的高度差是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形相似的应用，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等列比例式求解即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意得，，解得．即该旗杆的高度是．
故答案为：C．
例1-4．如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，先根据已知条件得到，即可求得角度．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
即，
∴，
故选：A．
【对应导练】
1．已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的性质分类进行求解即可．
【详解】解：由题意可分：
当为的最长边，为最短边时，则有：，所以这种情况不符合题意；
当为最短边时，为最长边时，则有：，解得：；
当为最短边时，则有，解得：；
故答案为或．
2．如图，已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先得到，然后根据对应边成比例解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如图，将腰长为的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的 ，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 ．
【答案】/4厘米
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：由题可知剪去三角形纸片面积是原三角形面积的，
∴两个三角形的对应边的比为，
∴剪去等腰三角形纸片的腰长为，
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标．
【详解】解：，
，
轴轴，
，
，
，
，
，
点，点，
，，
，
，
点在轴的负半轴，
点的坐标是，
故答案为：．
5．如图，将平移到的位置，点A的对应点为点分别交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平移的性质得出，，于是可证得，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：由平移的性质得，，，
∴，，
，
，
即，
∵，
，
，
故答案为：．
知识点2 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边
【新知导学】
例2-1．阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：
①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵是斜边上的高，∴．∵，，
∴．∴（依据）．∴．即．
(1)材料中的“依据”是指　　　　；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似
(2)见解析
(3)顶点A的坐标为或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算．
（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答；
（2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明；
（3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标．
【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似，
故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）证明：②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
③，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴顶点A的坐标为或．
【对应导练】
1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由AA证明，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；
（2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO BD，BC2＝BF BE，再运用SAS证明△BOF∽△BED即可．
【详解】证明：（1）如图1，
（2）如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，即，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED．
【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④

(1)自主探究：请证明结论③
已知：在中，是斜边上的高，求证：
(2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用三角形相似证明结论；
（2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设长为x，则，
根据射影定理可知，
即，
解得：，（舍去），
∴，
又∵，
∴．
二、题型训练
1.利用相似三角形性质求线段长度
1．的三边、、的长分别是6、7、8，边上有一点M，，过点M的直线截其它边的交点是点N，如果截得的相似于，那么的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了相似三角形的性质，当点在上时，不可能相似于，故只需分两种情况：①，②，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【详解】解：当点在上时，不可能相似于；
当点在上时，
①如图1，，
，
，，，
，
解得，
∴．
②如图2，，
，
，，，
，
解得，
∴
综上所述，为或．
故答案为：或．
2．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换，相似三角形的判定与性质．首先根据等边对等角及翻折的性质、平行线的性质得出，从而判断出，根据相似三角形对应边成比例得出，再进一步求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.利用相似三角形性质求比值
3．如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 ．
【答案】
【分析】此题主要了相似三角形的性质和梯形的定义．根据题意可得，则，即可求出答案．
【详解】解：有题意可知，，
∴，
∵两腰之比为，
∴，
∴，
即上底和下底之比为，
故答案为：．
4．已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得答案．
【详解】解：两个等边三角形的面积比为，
这两个等边三角形的相似比为：，
这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为．
故答案为：．
3.利用相似三角形性质求周长面积
5．已知：如图，、是的两条高．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论；
（2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
，
，
，
即：，
由（1）可得：，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键．
6．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行得出，，再利用得出的度数，再利用平行结合角平分线得出，即可证明；
（2）先利用等边三角形和证明四边形是菱形，再利用三角函数求出，即可求出四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴,
又∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
4.利用相似三角形性质证明线段相等角相等
7．已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．
（1）由平行四边形的性质得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由得，则，由相似三角形的性质得，则，所以，则．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，垂足为，，垂足为，
，
；
（2）证明：∵，，，
，
，
，
，
，
，
与相等或互为相反数，
，，
．
8．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接．
(1)求的面积；
(2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标；
(3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，分两种情况：点在轴上方，点在轴下方，分别求解即可；
（3）过点作轴于点，根据在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论：当∽时，当∽时，分别列式计算求出的值，即可求点的坐标．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则，
，
，
令，，则，
，
，
点的坐标是，
，
，
的面积；
（2）设直线的解析式为，
，点的坐标是，
，解得，
直线的解析式为，
，分两种情况：
当点在轴上方时，如图，设与轴交于点，
，，
又，
≌，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得，
点的坐标为；
当点在轴下方时，如图，设与轴交于点，
同理得，，直线的解析式为，
联立，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）如图，过点作轴于点，
，
，
，
在直线上，
设，
，
，
当∽时，
，
，
，
，
，
；
当∽时，
，
，
，
，
，
综上所述：点的坐标为或
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形性质，待定系数法，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
5.利用相似三角形性质证明线段成比例
9．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论和已知证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图所示，延长和相交于点F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
10．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明；
（2）由得到，得到，进而得到，即可得到．
【详解】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知，且相似比为，则与面积的比是（ ）
A． B．1：3 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴与面积的比是，
故选：C
2．如图，在中，，，下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，，可判断①②；先判定，根据相似三角形的性质即可得出③正确，判定四边形是平行四边形，得出，根据两个三角形的周长之比等于相似比，为，得出④正确．
【详解】解：∵，
∴，，
∴①正确，
∵，
∴，
∴②正确，
∵，
∴③正确，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴两个三角形的周长之比等于相似比，为，
∴④正确，
∴正确的个数为4个，
故选：D．
3．如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的定义和性质，
先根据题意可知是的中位线，可知，再根据正方形的性质可知,进而得出，然后根据相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
4．将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据平移的性质得到，从而可得到，利用相似三角形周长于相似比可得答案．
【详解】解：∵沿方向平移至，
∴，即，
∴,,
∴，
∴与的周长之比，
故选：C．
5．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵相似三角形的相似比是，
∴面积比为，
故选：C．
6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ）
A．21 B．28 C．36 D．42
【答案】C
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形得性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
7．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．设，则可表示；由矩形及点D在反比例函数图象上，；再由，可证明，由相似三角形的性质即可求得的值，从而求得k的值．
【详解】解：设，则；
在矩形中，，轴；
∵点D在反比例函数图象上，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∴；
∵的面积是8，
∴，
即，
∴，
即
∴；
故选：C．
8．如图，是等腰三角形，．将绕点C逆时针方向旋转得到，点D落在边上．若的延长线恰好经过点A，则下列线段的比不等于的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，根据旋转得到，，即可得到，再证明得到，推出，当时，几个判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，，
∴，
∴，，，
∴，故A、C选项不符合题意；
∵的延长线恰好经过点A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B选项不符合题意，
当时，故D选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：10．
10．如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过 秒后，与相似．
【答案】或
【详解】分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过x秒后，得，代入用x表示的线段计算即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
【解答】解：①设经过x秒后，
∵，
∴
∴
解得；
②设经过x秒后，
∵，
∴
∴
解得，
∴经过或秒，与相似．
故答案为：或．
11．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据正方形的性质可知，可证，根据相似三角形对应边成比例可以得到，从而求出的长度，然后于根据三角形的面积公式计算求出结果．
【详解】解：如下图所示，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
故答案为： ．
12．如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，点E是上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F．若，，，则的长度是 ，的长度是 ．

【答案】
【分析】先证明，得出，则，求出，再由勾股定理求得，即可由勾股定理求得的长；然后连接，证明，得出，再由求解．
【详解】解：是的直径，
，
∵是的直径，是的切线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即，
解得：或(不符合题意，舍去)，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得：；
如图所示，连接，
，
，
，，
，
，
；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键．
13．如图，四边形是菱形，，，点E是边上一点，连接，，点F是的中点，连接交于点G．若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】延长、交于点，过作交直线于，由菱形得到，，，再证明，得到，，然后由勾股定理和直角三角形求出，再证明，得到，代入即可得到，解方程即可求解．
【详解】解：延长、交于点，过作交直线于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，利用倍长中线的思路去做辅助线是解题的关键．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)已知，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面积为．
15．已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质：
（1）根据，，即可求得答案．
（2）根据，即可求得答案．
【详解】（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
16．如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长．
【答案】1.5
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，则，
∴，
∴．
17．如图，在中，为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．
（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1），，
（2），
，
，，．
18．如图，点，在线段上，是等边三角形，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
．
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：，
，
为等边三角形，
设，
，
解得（负值舍去），
．
19．在中，，点是上一点，过点作于点．
(1)如图1，证明：；
(2)已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证，由此即可求证；
（2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
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